Ejercicios: Proyecciones y mínimos cuadrados

Proyecta ortogonalmente $b=(2,1)$ sobre $W=\langle(1,0)\rangle$ en $\mathbb R^2$. Calcula también el residual $r=b-p$ y la distancia de $b$ a $W$.

La proyección es el pie de la perpendicular sobre el subespacio indicado.

Calcula la proyección euclídea de $b=(3,1)$ sobre la recta vectorial generada por $u=(1,1)$.

Halla el punto del plano $z=0$ más próximo a $P=(2,-1,3)$ y la distancia mínima. Justifica geométricamente.

Sea $W$ generado por los vectores ortonormales $q_1=(1,1,0)/\sqrt2$, $q_2=(0,0,1)$. Proyecta $b=(2,0,1)$ sobre $W$.

Tres mediciones de una misma constante son $1,2,6$. Plantea el ajuste por mínimos cuadrados como proyección sobre la recta generada por $(1,1,1)$ y encuentra la constante ajustada.

Resuelve por mínimos cuadrados el sistema $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}x=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$. Calcula el residual y comprueba su ortogonalidad a la columna.

Ajusta por mínimos cuadrados la recta $y=a+bx$ a los datos $(0,1),(1,2),(2,2)$. Calcula los residuos con la convención observado menos ajustado.

La nube de puntos muestra por qué el ajuste requiere aproximación.

Proyecta $b=(1,2,3)$ sobre $W=\{(x,y,z):x+y+z=0\}$ y calcula la distancia al plano.

Resuelve por mínimos cuadrados $Ax=b$ para $A=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\\0&1\end{pmatrix}$, $b=(1,2,2)$. Calcula el error cuadrático mínimo.

Obtén la matriz de la proyección ortogonal sobre $W=\langle(1,2)\rangle$ y verifica que es simétrica e idempotente.

Dos mediciones de una constante son $1$ y $3$, con pesos de confianza $1$ y $3$. Minimiza $(c-1)^2+3(c-3)^2$ mediante un producto escalar ponderado y calcula el mínimo.

Encuentra todos los minimizadores de $\left\|\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}x-\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\right\|^2$. Explica por qué la predicción ajustada es única aunque los coeficientes no lo sean.

Aproxima $f(x)=x^2$ por un polinomio de grado a lo sumo $1$ en la norma $\|g\|^2=\int_{-1}^1g(x)^2\,dx$. Usa los momentos $\int1=2$, $\int x^2=2/3$, $\int x^4=2/5$ y la anulación de momentos impares en ese intervalo.

Halla el punto de la recta afín $L=(1,0)+t(1,1)$ más próximo a $b=(0,2)$. Calcula la distancia y verifica la perpendicularidad del residual.

Demuestra sin derivadas que $x_*$ minimiza $\|Ax-b\|^2$ si y solo si satisface $A^{\mathsf T}(Ax_*-b)=0$, para una matriz real cualquiera.

Sea $A$ real de rango menor que su número de columnas. Demuestra que siempre existe solución de mínimos cuadrados; describe todos los minimizadores a partir de uno y justifica la unicidad de $Ax_*$.

Para $A_a=\begin{pmatrix}1&0\\0&a\\1&0\end{pmatrix}$ y $b=(1,1,3)$, clasifica todos los minimizadores de $\|A_ax-b\|^2$ según $a\in\mathbb R$ y calcula el error mínimo.

Sea $G$ real simétrica definida positiva y $A$ con columnas independientes. Obtén las ecuaciones normales para minimizar $(Ax-b)^{\mathsf T}G(Ax-b)$ y demuestra que tienen solución única.

Sea $P$ real simétrica con $P^2=P$. Demuestra que es la proyección ortogonal sobre su imagen y que $\operatorname{tr}P=\operatorname{rango}P$.

Ajusta por mínimos cuadrados $y=a+bx$ a tres mediciones en abscisas $-1,0,1$, con ordenadas $y_{-1},y_0,y_1$. Obtén fórmulas generales para $a,b$ y caracteriza cuándo el error mínimo es cero.