Ejercicios: Gram-Schmidt y factorización QR

Aplica Gram-Schmidt, en ese orden, a $v_1=(1,0)$ y $v_2=(1,1)$ con el producto usual. Obtén una base ortonormal y explica qué componente se resta al segundo vector.

La figura destaca la componente de segundo vector que debe separarse de la dirección del primero.

Ortonormaliza $v_1=(1,1)$ y $v_2=(1,-1)$ con el producto euclídeo. ¿Es necesario restar alguna proyección no nula?

Aplica Gram-Schmidt a $v_1=(1,0,0)$ y $v_2=(1,2,0)$ para obtener una base ortonormal de su subespacio generado.

Sea $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$. Da una factorización $A=QR$ con $Q$ ortogonal y $R$ triangular superior de diagonal positiva.

Comprueba que $Q=\frac15\begin{pmatrix}3&-4\\4&3\end{pmatrix}$ es ortogonal. Si $R=\begin{pmatrix}2&1\\0&5\end{pmatrix}$, calcula $A=QR$.

Intenta aplicar Gram-Schmidt a $v_1=(1,2)$ y $v_2=(2,4)$. Identifica el paso en que aparece un vector nulo y explica su significado.

Aplica Gram-Schmidt a $(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)$, en ese orden, y obtén una base ortonormal de $\mathbb R^3$.

Los tres vectores iniciales se muestran antes de aplicar la ortogonalización.

Factoriza $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\\0&1\end{pmatrix}$ como $QR$ reducido, con $Q^{\mathsf T}Q=I_2$ y diagonal positiva en $R$.

Para $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$, calcula $Q,R$ con diagonal positiva y usa la factorización para resolver $Ax=(4,2)$.

En $\mathbb R^2$ usa $\langle x,y\rangle_G=2x_1y_1+x_2y_2$. Aplica Gram-Schmidt a $v_1=(1,1)$, $v_2=(1,0)$, obteniendo una base ortonormal para este producto.

En $\mathbb R_1[x]$ con $\langle p,q\rangle=\int_0^1p(x)q(x)\,dx$, ortonormaliza $1,x$. Puedes usar $\int_0^1x\,dx=1/2$ y $\int_0^1x^2\,dx=1/3$.

En $\mathbb C^2$ con $\langle u,v\rangle=\overline u^{\mathsf T}v$, aplica Gram-Schmidt a $v_1=(1,i)$, $v_2=(1,0)$, usando $q_1\langle q_1,v_2\rangle$ para la proyección.

Sea $A=QR$ una QR reducida real con columnas independientes y $Q^{\mathsf T}Q=I$. Demuestra $A^{\mathsf T}A=R^{\mathsf T}R$ y deduce una relación entre sus determinantes cuando $A$ es cuadrada.

Completa $q_1=(1,1,0)/\sqrt2$ y $q_2=(1,-1,0)/\sqrt2$ hasta una base ortonormal de $\mathbb R^3$. Indica cuál de las dos elecciones del tercer vector hace positiva la orientación.

Demuestra que Gram-Schmidt preserva, en cada etapa $k$, el subespacio generado por los primeros $k$ vectores, suponiendo que la familia inicial es independiente.

Prueba la unicidad de la factorización QR reducida real de una matriz de columnas independientes cuando se exige diagonal positiva en $R$.

Estudia Gram-Schmidt para $v_1=(1,1)$ y $v_2=(1,1+\varepsilon)$, con $\varepsilon\ne0$. Calcula exactamente el segundo residual y explica por qué el proceso puede perder precisión si $|\varepsilon|$ es muy pequeño.

Con el producto $\langle p,q\rangle=\int_{-1}^1p(x)q(x)\,dx$ en $\mathbb R_2[x]$, aplica Gram-Schmidt a $1,x,x^2$. Puedes usar $\int_{-1}^1x^{2k}\,dx=2/(2k+1)$ y que las potencias impares integran cero.

Sea $A_a=\begin{pmatrix}1&1\\0&a\\0&1\end{pmatrix}$ con $a\in\mathbb R$. Obtén su QR reducida de diagonal positiva para todo $a$ y decide si algún parámetro produce fallo por dependencia.

Sea $A=QR$ reducida real, con $Q^{\mathsf T}Q=I$ y $R$ invertible. Demuestra que $\|Ax-b\|^2=\|Rx-Q^{\mathsf T}b\|^2+\|(I-QQ^{\mathsf T})b\|^2$ y explica cómo obtener el minimizador sin formar $A^{\mathsf T}A$.