Ejercicios: Operaciones y matrices por bloques
Para $A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}2&0\\4&-1\end{pmatrix}$, calcula $2A-B$.
Para $A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}2&0\\4&-1\end{pmatrix}$, calcula $2A-B$.
Una matriz $A$ tiene tamaño $2\times3$ y $B$ tamaño $3\times4$. Indica cuáles de $AB,BA,A+B$ están definidas y el tamaño del resultado.
Una matriz $A$ tiene tamaño $2\times3$ y $B$ tamaño $3\times4$. Indica cuáles de $AB,BA,A+B$ están definidas y el tamaño del resultado.
Calcula $AB$ y $BA$ para $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$.
Calcula $AB$ y $BA$ para $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$.
Para $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\-1&3&4\end{pmatrix}$, calcula $A^T$ y $AA^T$.
Para $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\-1&3&4\end{pmatrix}$, calcula $A^T$ y $AA^T$.
Sea $D=\operatorname{diag}(2,-1,3)$. Calcula $D^3$ y $D(1,2,-1)^T$.
Sea $D=\operatorname{diag}(2,-1,3)$. Calcula $D^3$ y $D(1,2,-1)^T$.
Una fábrica usa $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$: cada columna indica kilogramos de dos materiales necesarios para una unidad de cada producto. Calcula los…
Una fábrica usa $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$: cada columna indica kilogramos de dos materiales necesarios para una unidad de cada producto. Calcula los materiales para fabricar $x=(4,2)^T$ unidades.
El esquema relaciona los productos con sus consumos por unidad.
Resuelve $2X+A=B$ para $A=\begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}3&4\\0&5\end{pmatrix}$.
Resuelve $2X+A=B$ para $A=\begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}3&4\\0&5\end{pmatrix}$.
Sean $A\in\mathbb R^{2\times3}$ y $B\in\mathbb R^{3\times2}$. Demuestra por entradas que $(AB)^T=B^TA^T$.
Sean $A\in\mathbb R^{2\times3}$ y $B\in\mathbb R^{3\times2}$. Demuestra por entradas que $(AB)^T=B^TA^T$.
Descompón $A=\begin{pmatrix}1&4\\-2&3\end{pmatrix}$ como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica.
Descompón $A=\begin{pmatrix}1&4\\-2&3\end{pmatrix}$ como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica.
Sean $I$ la identidad $2\times2$, $0$ el bloque nulo y $B=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$. Calcula el cuadrado de $M=\begin{pmatrix}I&B\\0&I\end{pmatrix}$ mediante…
Sean $I$ la identidad $2\times2$, $0$ el bloque nulo y $B=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$. Calcula el cuadrado de $M=\begin{pmatrix}I&B\\0&I\end{pmatrix}$ mediante bloques.
Sean $u=(1,2)^T$ y $v=(3,-1)^T$. Calcula $uv^T,v^Tu$ y $(uv^T)^2$.
Sean $u=(1,2)^T$ y $v=(3,-1)^T$. Calcula $uv^T,v^Tu$ y $(uv^T)^2$.
Una red dirigida tiene vértices $1,2,3$ y matriz $A=\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}$, donde $a_{ij}=1$ indica arco de $i$ a $j$. Calcula $A^2$ e…
Una red dirigida tiene vértices $1,2,3$ y matriz $A=\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}$, donde $a_{ij}=1$ indica arco de $i$ a $j$. Calcula $A^2$ e interpreta su entrada $(1,1)$.
El grafo representa los arcos de la matriz de adyacencia.
Para $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$, compara $(A+B)^2$ con $A^2+2AB+B^2$. Explica por qué falla la fórmula escalar.
Para $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$, compara $(A+B)^2$ con $A^2+2AB+B^2$. Explica por qué falla la fórmula escalar.
Una población evoluciona por $x_{k+1}=Px_k$ con $P=\begin{pmatrix}0{,}8&0{,}3\\0{,}2&0{,}7\end{pmatrix}$ y $x_0=(100,0)^T$. Calcula $x_2$ y comprueba que se conserva la…
Una población evoluciona por $x_{k+1}=Px_k$ con $P=\begin{pmatrix}0{,}8&0{,}3\\0{,}2&0{,}7\end{pmatrix}$ y $x_0=(100,0)^T$. Calcula $x_2$ y comprueba que se conserva la suma de componentes.
Demuestra que toda matriz real cuadrada se descompone de forma única como suma de una simétrica y una antisimétrica.
Demuestra que toda matriz real cuadrada se descompone de forma única como suma de una simétrica y una antisimétrica.
Sea $N\in\mathbb R^{n\times n}$ con $N^2=0$. Demuestra por inducción que $(I+N)^k=I+kN$ para todo entero $k\ge0$.
Sea $N\in\mathbb R^{n\times n}$ con $N^2=0$. Demuestra por inducción que $(I+N)^k=I+kN$ para todo entero $k\ge0$.
Determina todas las matrices reales $2\times2$ que conmutan con $J=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$.
Determina todas las matrices reales $2\times2$ que conmutan con $J=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$.
Si $A,B\in\mathbb R^{n\times n}$, demuestra que $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$ y deduce que no puede cumplirse $AB-BA=I_n$ para $n\ge1$.
Si $A,B\in\mathbb R^{n\times n}$, demuestra que $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$ y deduce que no puede cumplirse $AB-BA=I_n$ para $n\ge1$.
Sean $A,D$ matrices cuadradas de tamaños $p,q$ y $B$ de tamaño $p\times q$. Para $M=\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}$, demuestra que el bloque superior derecho de…
Sean $A,D$ matrices cuadradas de tamaños $p,q$ y $B$ de tamaño $p\times q$. Para $M=\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}$, demuestra que el bloque superior derecho de $M^k$ es $\sum_{j=0}^{k-1}A^{k-1-j}BD^j$ para $k\ge1$.
Sea $P\in\mathbb R^{n\times n}$ con $P^2=P$. Demuestra $(I-P)^2=I-P$ y que para todo $x$ se tiene $x=Px+(I-P)x$, donde $P((I-P)x)=0$.
Sea $P\in\mathbb R^{n\times n}$ con $P^2=P$. Demuestra $(I-P)^2=I-P$ y que para todo $x$ se tiene $x=Px+(I-P)x$, donde $P((I-P)x)=0$.