Ejercicios: Matrices inversas y elementales
Calcula la inversa de $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ y verifica $AA^{-1}=I$.
Calcula la inversa de $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ y verifica $AA^{-1}=I$.
Explica por qué $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$ no tiene inversa, encontrando un vector no nulo enviado a cero.
Explica por qué $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$ no tiene inversa, encontrando un vector no nulo enviado a cero.
Escribe la matriz elemental $3\times3$ que intercambia las filas primera y tercera al multiplicar por la izquierda. ¿Cuál es su inversa?
Escribe la matriz elemental $3\times3$ que intercambia las filas primera y tercera al multiplicar por la izquierda. ¿Cuál es su inversa?
Escribe la matriz elemental $2\times2$ que realiza $F_2\leftarrow F_2-3F_1$ y su inversa.
Escribe la matriz elemental $2\times2$ que realiza $F_2\leftarrow F_2-3F_1$ y su inversa.
Para $D=\operatorname{diag}(2,-3,4)$, calcula $D^{-1}$ y resuelve $Dx=(4,6,8)^T$.
Para $D=\operatorname{diag}(2,-3,4)$, calcula $D^{-1}$ y resuelve $Dx=(4,6,8)^T$.
Sabiendo que $A,B$ son invertibles del mismo tamaño, indica y comprueba una fórmula para $(AB)^{-1}$.
Sabiendo que $A,B$ son invertibles del mismo tamaño, indica y comprueba una fórmula para $(AB)^{-1}$.
Obtén por Gauss-Jordan la inversa de $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$.
Obtén por Gauss-Jordan la inversa de $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$.
Resuelve $AXB=C$ con $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$, $B=\operatorname{diag}(2,1)$ y $C=\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}$.
Resuelve $AXB=C$ con $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$, $B=\operatorname{diag}(2,1)$ y $C=\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}$.
Decide para qué $t\in\mathbb R$ es invertible $A(t)=\begin{pmatrix}t&1\\1&t\end{pmatrix}$ y calcula su inversa cuando exista.
Decide para qué $t\in\mathbb R$ es invertible $A(t)=\begin{pmatrix}t&1\\1&t\end{pmatrix}$ y calcula su inversa cuando exista.
Sea $A\in\mathbb R^{n\times n}$ tal que $A^2-3A+2I=0$. Demuestra que es invertible y expresa su inversa como polinomio en $A$.
Sea $A\in\mathbb R^{n\times n}$ tal que $A^2-3A+2I=0$. Demuestra que es invertible y expresa su inversa como polinomio en $A$.
Para $N=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$, calcula $(I-N)^{-1}$ usando potencias de $N$.
Para $N=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$, calcula $(I-N)^{-1}$ usando potencias de $N$.
Una transformación del plano envía $(x,y)$ a $(x+2y,y)$. Escribe su matriz, su inversa y la preimagen de $(5,2)$. El esquema distingue el plano de partida y el punto de…
Una transformación del plano envía $(x,y)$ a $(x+2y,y)$. Escribe su matriz, su inversa y la preimagen de $(5,2)$.
El esquema distingue el plano de partida y el punto de llegada.
Sean $E_1=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}$ y $E_2=\begin{pmatrix}1&-3\\0&1\end{pmatrix}$, con $E_2E_1A=I$. Obtén $A^{-1}$ y $A$ respetando el orden de los factores.
Sean $E_1=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}$ y $E_2=\begin{pmatrix}1&-3\\0&1\end{pmatrix}$, con $E_2E_1A=I$. Obtén $A^{-1}$ y $A$ respetando el orden de los factores.
Sean $A,B$ invertibles $n\times n$. Demuestra que $A+B$ es invertible si y solo si $I+A^{-1}B$ lo es, y expresa $(A+B)^{-1}$ en ese caso.
Sean $A,B$ invertibles $n\times n$. Demuestra que $A+B$ es invertible si y solo si $I+A^{-1}B$ lo es, y expresa $(A+B)^{-1}$ en ese caso.
Sea $A$ invertible $p\times p$, $D$ invertible $q\times q$ y $B$ de tamaño $p\times q$. Obtén la inversa por bloques de $M=\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}$. La…
Sea $A$ invertible $p\times p$, $D$ invertible $q\times q$ y $B$ de tamaño $p\times q$. Obtén la inversa por bloques de $M=\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}$.
La partición muestra los tamaños compatibles de los bloques.
Sea $A\in\mathbb R^{n\times n}$ invertible y $u,v\in\mathbb R^n$. Si $1+v^TA^{-1}u\ne0$, verifica que $(A+uv^T)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}uv^TA^{-1}/(1+v^TA^{-1}u)$.
Sea $A\in\mathbb R^{n\times n}$ invertible y $u,v\in\mathbb R^n$. Si $1+v^TA^{-1}u\ne0$, verifica que $(A+uv^T)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}uv^TA^{-1}/(1+v^TA^{-1}u)$.
Para $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1+\varepsilon\end{pmatrix}$, $\varepsilon\ne0$, resuelve $Ax=(2,2+\varepsilon)^T$ y $A\widetilde x=(2,2+\varepsilon+\delta)^T$. Explica la…
Para $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1+\varepsilon\end{pmatrix}$, $\varepsilon\ne0$, resuelve $Ax=(2,2+\varepsilon)^T$ y $A\widetilde x=(2,2+\varepsilon+\delta)^T$. Explica la sensibilidad si $|\varepsilon|$ es pequeño.
Demuestra que si $A,B$ son matrices reales cuadradas del mismo tamaño y $AB=I$, entonces también $BA=I$.
Demuestra que si $A,B$ son matrices reales cuadradas del mismo tamaño y $AB=I$, entonces también $BA=I$.
Da matrices reales rectangulares $A\in\mathbb R^{1\times2}$ y $B\in\mathbb R^{2\times1}$ tales que $AB=I_1$ pero $BA\ne I_2$. Explica por qué no contradice el resultado…
Da matrices reales rectangulares $A\in\mathbb R^{1\times2}$ y $B\in\mathbb R^{2\times1}$ tales que $AB=I_1$ pero $BA\ne I_2$. Explica por qué no contradice el resultado para matrices cuadradas.
Sea $A$ invertible y $A^T=A$. Demuestra que $A^{-1}$ es simétrica. ¿Sigue siendo cierto si se sustituye «simétrica» por «antisimétrica»? Justifica.
Sea $A$ invertible y $A^T=A$. Demuestra que $A^{-1}$ es simétrica. ¿Sigue siendo cierto si se sustituye «simétrica» por «antisimétrica»? Justifica.