Ejercicios: Representación matricial y cambio de bases

Escribe la matriz usual de $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, $T(x,y)=(3x-2y,x+4y)$ y comprueba su acción sobre $(1,2)$.

Una aplicación lineal $T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ satisface $T(e_1)=(1,0)$, $T(e_2)=(2,-1)$ y $T(e_3)=(0,3)$. Escribe su matriz y calcula $T(2,-1,1)$.

Halla la matriz de $D:\mathcal P_2(\mathbb R)\to\mathcal P_1(\mathbb R)$ respecto de las bases $(1,x,x^2)$ y $(1,x)$.

Escribe la matriz usual de la reflexión del plano respecto del eje $x$ y comprueba el efecto sobre $(2,3)$.

El eje resaltado es la recta respecto de la cual actúa la reflexión.

Sea $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ y sean $B,C$ bases del dominio y codominio. ¿Qué tamaño tiene $[T]_{C\leftarrow B}$ y qué representa cada columna?

En $M_2(\mathbb R)$ ordena la base como $(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})$. Obtén la matriz del operador transposición.

Sea $T(x,y)=(2x+y,x-y)$, con base del dominio $B=((1,1),(1,-1))$ y base del codominio $C=((1,0),(1,1))$. Calcula $[T]_{C\leftarrow B}$.

Para $T(x,y)=(x+y,y)$ y $B=((1,0),(1,1))$, calcula la matriz del endomorfismo en $B$ y comprueba el resultado sobre $[v]_B=(2,-1)^T$.

Sea $T:\mathcal P_2(\mathbb R)\to\mathbb R^2$, $T(p)=(p(0),p'(1))$. Halla la matriz usando $B=(1,x-1,(x-1)^2)$ en el dominio y la base usual en el codominio.

Sea $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ cuya matriz en $B=((1,1),(1,-1))$ es $\operatorname{diag}(2,3)$. Obtén su matriz usual.

Calcula la matriz de multiplicar por $1+i$ en $\mathbb C$ visto como espacio real con base $(1,i)$. Relaciona el determinante con el factor de cambio de áreas en el plano.

Un dispositivo transforma coordenadas locales mediante $A=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$. La base local en coordenadas globales es $B=((0,1),(-1,0))$. Calcula la matriz global y explica qué dirección física duplica.

El dibujo fija la orientación de los ejes locales del dispositivo.

Sea $T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ con matriz usual $A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}$. Toma $B=(e_1,e_2,e_1+e_2+e_3)$ y $C=((1,1),(1,-1))$. Halla la nueva matriz.

Para $T:\mathcal P_2(\mathbb R)\to\mathcal P_2(\mathbb R)$, $T(p)(x)=p(x+1)$, obtén la matriz en la base usual de polinomios y decide si es invertible.

Deduce la fórmula de cambio de matriz de una aplicación $T:V\to W$ al pasar de bases $B,C$ a bases $B',C'$. Define claramente el sentido de cada matriz de cambio.

Sea $T:V\to W$ lineal de rango $r$ entre espacios finitos. Prueba que existen bases de ambos espacios en las que su matriz tiene un bloque $I_r$ y ceros en todas las demás entradas.

Sea $T(x,y)=(2x+y,y)$ y $B_a=((1,0),(a,1))$. Calcula la matriz de $T$ en $B_a$ para cada $a\in\mathbb R$ y determina cuándo es diagonal.

Dos matrices cuadradas $A,B$ representan el mismo endomorfismo en bases distintas. Demuestra que sus determinantes y sus trazas coinciden, y explica por qué la igualdad de estos dos números por sí sola no garantiza semejanza.

Considera el operador $D$ de derivación sobre $\mathcal P_3(\mathbb R)$. Encuentra una base en la que su matriz tenga unos en la primera superdiagonal y ceros en el resto; comprueba las cuatro columnas.

Sea $T:V\to V$ un endomorfismo real de dimensión $n\ge2$ cuya matriz es idéntica en todas las bases de $V$. Demuestra que $T$ es un múltiplo de la identidad.