Ejercicios: Espacio dual y funcionales
Sea $\varphi:\mathbb R^3\to\mathbb R$, $\varphi(x,y,z)=2x-y+3z$. Justifica que es un funcional lineal y calcula $\varphi(1,2,-1)$.
Sea $\varphi:\mathbb R^3\to\mathbb R$, $\varphi(x,y,z)=2x-y+3z$. Justifica que es un funcional lineal y calcula $\varphi(1,2,-1)$.
En $\mathbb R^2$ con base usual, define $\varepsilon_1(x,y)=x$ y $\varepsilon_2(x,y)=y$. Expresa $\varphi(x,y)=3x-4y$ en esa familia y explica por qué es una base del…
En $\mathbb R^2$ con base usual, define $\varepsilon_1(x,y)=x$ y $\varepsilon_2(x,y)=y$. Expresa $\varphi(x,y)=3x-4y$ en esa familia y explica por qué es una base del dual.
En $\mathcal P_2(\mathbb R)$, comprueba que $\varphi(p)=p(1)$ es lineal y calcula sus valores sobre la base $(1,x,x^2)$. El punto señalado representa la evaluación que…
En $\mathcal P_2(\mathbb R)$, comprueba que $\varphi(p)=p(1)$ es lineal y calcula sus valores sobre la base $(1,x,x^2)$.
El punto señalado representa la evaluación que define el funcional.
Sea $V$ real de dimensión cuatro. ¿Cuál es la dimensión de su dual $V^$? Describe cómo se construye una base dual a partir de una base de $V$.
Sea $V$ real de dimensión cuatro. ¿Cuál es la dimensión de su dual $V^*$? Describe cómo se construye una base dual a partir de una base de $V$.
Calcula la base dual a $B=((1,1),(1,-1))$ de $\mathbb R^2$, dando sus funcionales como fórmulas en $x,y$.
Calcula la base dual a $B=((1,1),(1,-1))$ de $\mathbb R^2$, dando sus funcionales como fórmulas en $x,y$.
Encuentra la base dual a $B=(1,x-1,(x-1)^2)$ de $\mathcal P_2(\mathbb R)$ expresándola mediante evaluaciones y derivadas.
Encuentra la base dual a $B=(1,x-1,(x-1)^2)$ de $\mathcal P_2(\mathbb R)$ expresándola mediante evaluaciones y derivadas.
Sea $U=\operatorname{span}\{(1,1,0),(0,1,1)\}\subset\mathbb R^3$. Encuentra todos los funcionales que se anulan en $U$ y da una base de ese subespacio del dual.
Sea $U=\operatorname{span}\{(1,1,0),(0,1,1)\}\subset\mathbb R^3$. Encuentra todos los funcionales que se anulan en $U$ y da una base de ese subespacio del dual.
El trabajo de una fuerza constante se modeliza por $\varphi(v)=F\cdot v$, con $F=(2,-1,3)$ fijo. Interpreta $\varphi$ como funcional, calcula su núcleo y decide si es…
El trabajo de una fuerza constante se modeliza por $\varphi(v)=F\cdot v$, con $F=(2,-1,3)$ fijo. Interpreta $\varphi$ como funcional, calcula su núcleo y decide si es inyectivo.
El esquema distingue la fuerza fija del desplazamiento sobre el que actúa el funcional.
Sea $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$, $T(x,y)=(x+y,x,y)$. La aplicación dual se define por $T^(\varphi)=\varphi\circ T$. Calcula $T^(\varphi)$ para…
Sea $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$, $T(x,y)=(x+y,x,y)$. La aplicación dual se define por $T^*(\varphi)=\varphi\circ T$. Calcula $T^*(\varphi)$ para $\varphi(u,v,w)=au+bv+cw$ y la matriz de $T^*$ en las bases duales usuales.
En $\mathcal P_2(\mathbb R)$, sean $\varphi_0(p)=p(0)$, $\varphi_1(p)=p(1)$ y $\varphi_2(p)=p(2)$. Demuestra que forman una base del dual y encuentra el polinomio cuyas…
En $\mathcal P_2(\mathbb R)$, sean $\varphi_0(p)=p(0)$, $\varphi_1(p)=p(1)$ y $\varphi_2(p)=p(2)$. Demuestra que forman una base del dual y encuentra el polinomio cuyas coordenadas respecto de la base primal dual a ellos son $(1,0,1)^T$.
Sea $U\subset V$ de dimensión $r$, con $\dim V=n$. Define su anulador $U^\circ=\{\varphi\in V^: \varphi(u)=0\text{ para todo }u\in U\}$. Demuestra que $\dim U^\circ=n-r$.
Sea $U\subset V$ de dimensión $r$, con $\dim V=n$. Define su anulador $U^\circ=\{\varphi\in V^*: \varphi(u)=0\text{ para todo }u\in U\}$. Demuestra que $\dim U^\circ=n-r$.
Sea $T:V\to W$ lineal entre espacios reales finitos. Demuestra $\ker T^=(\operatorname{im}T)^\circ$ y deduce que $T^$ es inyectiva si y solo si $T$ es sobreyectiva.
Sea $T:V\to W$ lineal entre espacios reales finitos. Demuestra $\ker T^*=(\operatorname{im}T)^\circ$ y deduce que $T^*$ es inyectiva si y solo si $T$ es sobreyectiva.
Sea $B$ una base y $C$ otra con matriz $P_{B\leftarrow C}=P$. Deduce cómo cambia el vector columna de coeficientes de un funcional al pasar de la base dual $B^$ a $C^$ y…
Sea $B$ una base y $C$ otra con matriz $P_{B\leftarrow C}=P$. Deduce cómo cambia el vector columna de coeficientes de un funcional al pasar de la base dual $B^*$ a $C^*$ y explica por qué aparece una transpuesta.
Sean $U,W$ subespacios de un espacio finito $V$. Demuestra $(U+W)^\circ=U^\circ\cap W^\circ$ y $(U\cap W)^\circ=U^\circ+W^\circ$.
Sean $U,W$ subespacios de un espacio finito $V$. Demuestra $(U+W)^\circ=U^\circ\cap W^\circ$ y $(U\cap W)^\circ=U^\circ+W^\circ$.