Ejercicios: Composición, inversas y proyectores

Sean $T(x,y)=(2x,y)$ y $S(x,y)=(x+y,y)$. Calcula $S\circ T$ y $T\circ S$ y decide si son iguales.

Halla la inversa de $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, $T(x,y)=(x+y,y)$ y comprueba ambas composiciones.

Sea $P:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$, $P(x,y,z)=(x,y,0)$. Comprueba que $P^2=P$ y calcula su núcleo e imagen.

Para $R(x,y)=(x,-y)$, calcula $R^2$ y decide si $R$ es un proyector.

Si $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ es lineal, ¿puede tener inversa bilateral? Razona mediante dimensiones.

Sean $D:\mathcal P_2(\mathbb R)\to\mathcal P_1(\mathbb R)$, $D(p)=p'$, e $I:\mathcal P_1(\mathbb R)\to\mathcal P_2(\mathbb R)$, $I(q)(x)=\int_0^xq(t)\,dt$. Calcula $D\circ I$ e $I\circ D$.

Obtén la matriz de la proyección sobre $U=\operatorname{span}\{(1,1)\}$ paralelamente a $W=\operatorname{span}\{(1,-1)\}$. Comprueba que es idempotente.

Sea $U=\operatorname{span}\{(1,0)\}$ y $W=\operatorname{span}\{(1,2)\}$. Calcula la proyección sobre $U$ paralelamente a $W$ y explica si es ortogonal.

El trazo auxiliar señala que la proyección se realiza en la dirección de W.

Sean $T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$, $T(x,y,z)=(x,y)$, y $S:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$, $S(u,v)=(u,v,u+v)$. Calcula las dos composiciones y determina cuál es identidad y cuál proyector.

Para $N=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$, calcula $N^2,N^3$ y demuestra que $(I-N)^{-1}=I+N+N^2$.

En $M_2(\mathbb R)$, define $P(A)=(A+A^T)/2$. Demuestra que es proyector e identifica núcleo e imagen.

Sean $A,B$ matrices cuadradas invertibles del mismo tamaño. Demuestra la fórmula para $(AB)^{-1}$ y explica por qué no se debe invertir conservando el orden.

Un filtro sobre $V=\operatorname{span}\{1,\cos t,\sen t\}$ elimina la componente constante: $P(a+b\cos t+c\sen t)=b\cos t+c\sen t$. Calcula $P^2$, núcleo e imagen e interpreta la segunda pasada del filtro.

Las dos cajas representan dos pasadas consecutivas del mismo filtro.

Sea $P_a=\begin{pmatrix}1&a\\0&0\end{pmatrix}$. Para cada $a\in\mathbb R$, decide si es proyector y describe las rectas de imagen y núcleo.

Sea $P:V\to V$ lineal con $P^2=P$. Demuestra $V=\operatorname{im}P\oplus\ker P$ y construye una base en la que la matriz de $P$ sea $\operatorname{diag}(I_r,0)$.

Sean $P,Q:V\to V$ proyectores que conmutan. Prueba que $PQ$ también es proyector y que su imagen es $\operatorname{im}P\cap\operatorname{im}Q$.

Da dos proyectores de $\mathbb R^2$ cuyo producto no sea proyector. Calcula explícitamente el producto y su cuadrado para demostrarlo.

Para $T:V\to W$ lineal entre espacios finitos, demuestra que posee una inversa por la izquierda si y solo si es inyectiva, y una inversa por la derecha si y solo si es sobreyectiva.

Sea $P$ un proyector y $a\in\mathbb R$. Clasifica cuándo $I+aP$ es invertible y obtén su inversa, distinguiendo el caso $P=0$.

Sea $T:V\to V$ lineal con $T^2=0$ y $\dim V=n$. Prueba $\operatorname{im}T\subseteq\ker T$ y deduce una cota para el rango. Construye un ejemplo que alcance la cota si $n=4$.