Ejercicios: Diagonalización real y compleja

Diagonaliza sobre $\mathbb R$ la matriz $A=\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}$: proporciona $P,D$ y comprueba $AP=PD$.

Decide si $A=\begin{pmatrix}4&1\\0&4\end{pmatrix}$ es diagonalizable sobre $\mathbb R$. Fundamenta la respuesta con la dimensión de un autoespacio.

Una matriz real $3\times3$ tiene autovalores distintos $-2,0,5$. ¿Puede afirmarse que es diagonalizable sin conocer sus entradas? Justifica.

Diagonaliza $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ sobre $\mathbb R$, usando como columnas de $P$ vectores de coordenadas enteras.

La imagen del cuadrado unidad permite visualizar la transformación antes de cambiar de base.

Sea $A=5I_3$. Describe todas las matrices invertibles $P$ que pueden intervenir en una diagonalización $A=PDP^{-1}$ y determina $D$.

Decide si $A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ es diagonalizable sobre $\mathbb R$ y sobre $\mathbb C$. En el segundo cuerpo da $P,D$.

Estudia la diagonalizabilidad real de $A_a=\begin{pmatrix}1&a&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}$ según $a\in\mathbb R$. Cuando sea posible, da una diagonalización.

Diagonaliza $A=\begin{pmatrix}2&0&1\\0&3&0\\0&0&3\end{pmatrix}$ sobre $\mathbb R$. Explica por qué un autovalor repetido no impide diagonalizar.

Una transformación de $\mathbb R^2$ satisface $T(1,1)=2(1,1)$ y $T(1,-1)=-(1,-1)$. Calcula su matriz en la base canónica usando una diagonalización.

La figura representa los dos vectores de partida y sus imágenes, datos que definen la transformación.

Para $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$ calcula una matriz invertible $P$ que haga diagonal $P^{-1}(A^2-3A)P$, reutilizando autovectores de $A$.

Decide si las matrices $A=\operatorname{diag}(1,1,2)$ y $B=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}$ son semejantes sobre $\mathbb R$, aunque tengan el mismo polinomio característico.

En $\mathbb C^2$, diagonaliza $A=\begin{pmatrix}2&-2\\2&2\end{pmatrix}$ y explica por qué la misma diagonalización no existe sobre $\mathbb R$.

Sea $A$ real $4\times4$ con polinomio característico $(t-1)^2(t+2)^2$. Se sabe que $\operatorname{rango}(A-I)=2$ y $\operatorname{rango}(A+2I)=2$. ¿Es diagonalizable? Razona sin hallar sus entradas.

Considera $A_a=\begin{pmatrix}a&1\\0&-a\end{pmatrix}$. Clasifica su diagonalizabilidad sobre $\mathbb R$ y da $P,D$ en los casos posibles.

Demuestra que toda matriz real $A$ con $A^2=A$ es diagonalizable. Construye una base apropiada a partir del núcleo y la imagen.

Sea $A$ real y $A^2=I$. Demuestra que es diagonalizable sobre $\mathbb R$ sin suponer que sea simétrica.

Sea $A$ diagonalizable e invertible. Demuestra que $A^{-1}$ es diagonalizable y analiza si el recíproco también es cierto.

Para $A_a=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&a&0\\0&0&1\end{pmatrix}$, clasifica la diagonalizabilidad real. En los casos favorables, construye una base de autovectores que incluya $e_3$.

Si dos matrices reales diagonalizables $A,B$ conmutan y $A$ tiene $n$ autovalores distintos, demuestra que existe una base real que diagonaliza a ambas simultáneamente.

Una matriz real $A$ satisface $(A-I)(A-2I)=0$. Demuestra directamente que es diagonalizable y expresa cualquier $x$ como suma de un vector de $E_1$ y otro de $E_2$.