Ejercicios: Autovalores, autoespacios y polinomio característico

Para $A=\begin{pmatrix}3&0\\0&-2\end{pmatrix}$, calcula sus autovalores y autoespacios en $\mathbb R^2$. Explica el efecto de $A$ sobre un vector de cada eje.

El esquema compara dos vectores de referencia con sus imágenes por la transformación.

Comprueba si $v=(1,2)$ y $w=(1,-1)$ son autovectores de $A=\begin{pmatrix}2&1\\2&3\end{pmatrix}$. Da el autovalor cuando exista.

Calcula el polinomio característico, los autovalores y sus multiplicidades algebraicas para $A=\begin{pmatrix}2&4&0\\0&2&1\\0&0&-1\end{pmatrix}$ sobre $\mathbb R$. Usa la convención $\chi_A(t)=\det(tI-A)$.

Halla los autoespacios de $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ y compara la multiplicidad algebraica con la geométrica.

Para $A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$, decide si hay autovectores reales y calcula los autovalores complejos. Interpreta geométricamente el resultado real.

El giro transforma un vector de referencia como se muestra en la figura.

Una matriz real $3\times3$ tiene autovalores $2,-1,4$, contados con multiplicidad. Calcula su traza, su determinante y decide si es invertible.

Determina los autovalores y bases de los autoespacios de $A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}$.

Sea $A=\begin{pmatrix}0&1\\-6&5\end{pmatrix}$. Calcula sus autovalores y, para cada uno, un autovector cuya primera coordenada sea $1$.

Sea $T$ en $\mathbb R_2[x]$ dado por $T(p)(x)=p(-x)$. Calcula sus autovalores y autoespacios sin usar determinantes.

Para $A_a=\begin{pmatrix}a&1\\0&2\end{pmatrix}$, $a\in\mathbb R$, calcula todos sus autoespacios distinguiendo los valores necesarios del parámetro.

Una matriz invertible $A$ tiene $Av=3v$ con $v\ne0$. Calcula $A^{-1}v$ y $(A^2-2A+I)v$. Justifica por qué no hace falta conocer todas las entradas de $A$.

Calcula los autovalores y sus multiplicidades algebraicas y geométricas de $A=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}$.

Sea $P:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$, $P(x,y,z)=(x,y,0)$. Identifica sus autovalores y autoespacios e interpreta estos espacios en términos de imagen y núcleo.

Una matriz real $3\times3$ tiene polinomio característico $(t-2)(t^2+4)$. Indica sus autovalores sobre $\mathbb R$ y sobre $\mathbb C$, su traza y determinante.

Sea $A_a=\begin{pmatrix}1&a&0\\0&1&a\\0&0&1\end{pmatrix}$, con $a\in\mathbb R$. Calcula el autoespacio y su dimensión para todo $a$; explica por qué el polinomio característico no basta para conocer esa dimensión.

Demuestra que los autovectores asociados a autovalores distintos son linealmente independientes. Desarrolla una prueba para cualquier número finito de autovalores.

Sea $A$ real y sea $v\in\mathbb C^n$ un autovector de autovalor no real $\lambda$. Demuestra que $\overline v$ es autovector de $\overline\lambda$ y deduce que una matriz real de orden impar tiene algún autovalor real.

Para $A_a=\begin{pmatrix}0&-a\\1&2\end{pmatrix}$, $a\in\mathbb R$, clasifica los autovalores como reales distintos, real doble o no reales. En el caso doble, calcula la dimensión del autoespacio.

Sea $u\in\mathbb R^n$ no nulo, $n\ge2$, y $A=uu^{\mathsf T}$. Obtén sus autovalores y autoespacios sin expandir un determinante.

Supón que $A$ es real $3\times3$, $\operatorname{tr}A=6$, $\operatorname{tr}(A^2)=14$ y $\det A=6$. Reconstruye su polinomio característico y sus autovalores.