Ejercicios: Potencias de matrices y modelos discretos

Para $A=\operatorname{diag}(2,1/2)$ y $x_0=(1,4)$, calcula $x_n=A^nx_0$ para $n\ge0$ y describe el comportamiento de sus coordenadas.

Se conoce $A=P\operatorname{diag}(3,-1)P^{-1}$, con $P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$. Obtén una fórmula explícita para $A^n$, $n\ge0$.

Un sistema cumple $x_{n+1}=\begin{pmatrix}1/2&0\\0&-1/3\end{pmatrix}x_n$. Explica si converge a cero para cualquier estado inicial y qué significa el signo negativo del segundo autovalor.

Dos depósitos intercambian cada minuto una cuarta parte de su contenido. Si el total se conserva y $x_n=(u_n,v_n)$, escribe la matriz del modelo y comprueba que $(1,1)$ es una dirección de equilibrio.

El esquema identifica los intercambios que debes traducir a una matriz.

Los depósitos del modelo $x_{n+1}=\begin{pmatrix}3/4&1/4\\1/4&3/4\end{pmatrix}x_n$ parten de $x_0=(8,0)$ litros. Usa una base de autovectores para calcular $x_n$ y el reparto límite.

Una recurrencia cumple $u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n$, $u_0=0$, $u_1=1$. Escríbela como sistema matricial de primer orden y resuélvela mediante sus autovalores.

Sea $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}$. Halla $A^n$ para $n\ge0$ y comprueba la fórmula en $n=0$ y $n=1$.

Para $A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$, estudia $x_n=A^nx_0$. Determina exactamente qué estados iniciales producen una sucesión convergente.

Dos zonas tienen proporciones de población $x_n$ y transición $x_{n+1}=\begin{pmatrix}9/10&1/5\\1/10&4/5\end{pmatrix}x_n$, con $x_{n,1}+x_{n,2}=1$. Calcula el reparto estacionario y el segundo autovalor.

El diagrama de transición ayuda a interpretar las columnas de la matriz.

Sea $P$ una proyección, $P^2=P$, y $A=2P-I$. Calcula $A^n$ para todo entero $n\ge0$ y explica la evolución de un vector descompuesto en $\operatorname{Im}P\oplus\ker P$.

Sea $A$ diagonalizable sobre $\mathbb C$. Demuestra que $A^nx\to0$ para todo $x$ si y solo si todos sus autovalores tienen módulo menor que $1$.

Para $A_a=\begin{pmatrix}a&1\\0&1/2\end{pmatrix}$, $a\in\mathbb R\setminus\{1/2\}$, determina cuándo todos los estados del sistema $x_{n+1}=A_ax_n$ convergen a cero. Si no ocurre, caracteriza los estados que sí lo hacen.

Una cadena de dos estados tiene matriz $A=\begin{pmatrix}1-p&q\\p&1-q\end{pmatrix}$, con $0

En el modelo $x_{n+1}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}x_n$, ambos autovalores tienen módulo $1$. Calcula $A^n$ sin diagonalizar y determina qué órbitas son acotadas; explica por qué conocer solo los autovalores no basta para decidirlo.