Ejercicios: Teorema espectral y diagonalización ortogonal

Diagonaliza ortogonalmente $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$: encuentra $Q$ ortogonal y $D$ diagonal tales que $A=QDQ^{\mathsf T}$.

La imagen del círculo sugiere el papel geométrico de una base ortonormal de autovectores.

Para $A=\operatorname{diag}(-2,4,4)$, da una base ortonormal de autovectores y describe todos los autoespacios.

Calcula una base ortonormal de autovectores de $A=\begin{pmatrix}5&0&0\\0&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}$.

La matriz $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$ es diagonalizable. Decide si puede diagonalizarse mediante una matriz real ortogonal y justifica la diferencia.

Determina el mínimo y el máximo de $4x^2+9y^2$ bajo la restricción $x^2+y^2=1$, e indica en qué direcciones se alcanzan.

Diagonaliza unitariamente $A=\begin{pmatrix}2&i\\-i&2\end{pmatrix}$ en $\mathbb C^2$ con el producto $\langle u,v\rangle=\overline u^{\mathsf T}v$. Da $U,D$ tales que $A=UDU^*$, donde $U^*=\overline U^{\mathsf T}$.

Una energía cuadrática es $q(x,y)=5x^2+4xy+2y^2$. Halla un cambio ortogonal de coordenadas que elimine el término mixto y expresa $q$ en las nuevas coordenadas.

La curva de nivel representa una energía constante antes del cambio ortogonal de coordenadas.

Diagonaliza ortogonalmente $A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&1\\0&1&3\end{pmatrix}$, prestando atención al autovalor repetido.

Una matriz real simétrica $A$ tiene como único autovalor $2$. Demuestra que $A=2I$ y explica por qué la afirmación puede fallar si se elimina la simetría.

Encuentra una matriz ortogonal que diagonalice simultáneamente $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}4&-1\\-1&4\end{pmatrix}$. Indica las dos diagonales en el mismo orden.

Halla los extremos de $q(x,y)=2x^2+4xy+2y^2$ sobre el círculo unidad y todas las direcciones donde se alcanzan.

Diagonaliza ortogonalmente $S=\frac15\begin{pmatrix}3&4\\4&-3\end{pmatrix}$ e interpreta la transformación geométrica.

Demuestra que dos matrices reales simétricas con los mismos autovalores, incluidas sus multiplicidades, son ortogonalmente semejantes.

Encuentra una matriz simétrica definida positiva $B$ tal que $B^2=\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}$ usando diagonalización ortogonal.

Demuestra que todo autovalor de una matriz real simétrica es real, admitiendo inicialmente autovectores complejos. Usa el producto hermítico usual.

Demuestra que los autoespacios de una matriz real simétrica asociados a valores distintos son ortogonales. Explica cómo se completa una base ortonormal cuando hay valores repetidos.

Para $A_a=\begin{pmatrix}a&1\\1&a\end{pmatrix}$, construye una diagonalización ortogonal válida para todo $a\in\mathbb R$. Clasifica además cuándo es definida positiva, semidefinida positiva o indefinida.

Demuestra que una matriz real simétrica semidefinida positiva $A$ tiene una única raíz cuadrada real simétrica semidefinida positiva. Puedes usar el teorema espectral tanto para $A$ como para una raíz candidata.

Sea $A$ real simétrica, con menor y mayor autovalor $m,M$. Demuestra $m\|x\|^2\le x^{\mathsf T}Ax\le M\|x\|^2$ y caracteriza la igualdad para $x\ne0$ en cada extremo.

Sean $A,B$ matrices reales simétricas que conmutan. Demuestra que admiten una base ortonormal común de autovectores, sin suponer que $A$ tenga valores distintos.