Ejercicios: Formas cuadráticas, signo y ejes principales
Escribe la matriz simétrica de $q(x,y)=x^2+4y^2$, clasifica su signo y describe la curva de nivel $q=1$. La curva de nivel permite relacionar la expresión algebraica con…
Escribe la matriz simétrica de $q(x,y)=x^2+4y^2$, clasifica su signo y describe la curva de nivel $q=1$.
La curva de nivel permite relacionar la expresión algebraica con su geometría.
Asocia una matriz simétrica a $q(x,y)=3x^2+4xy+2y^2$. Explica por qué las entradas fuera de la diagonal no son $4$.
Asocia una matriz simétrica a $q(x,y)=3x^2+4xy+2y^2$. Explica por qué las entradas fuera de la diagonal no son $4$.
Clasifica el signo de $q(x,y,z)=x^2+y^2$ en $\mathbb R^3$. Determina todos los vectores donde se anula.
Clasifica el signo de $q(x,y,z)=x^2+y^2$ en $\mathbb R^3$. Determina todos los vectores donde se anula.
Clasifica $q(x,y)=x^2-y^2$ y encuentra dos vectores que demuestren tu clasificación. Describe el nivel $q=1$.
Clasifica $q(x,y)=x^2-y^2$ y encuentra dos vectores que demuestren tu clasificación. Describe el nivel $q=1$.
Encuentra los ejes principales y las longitudes de los semiejes de la elipse $2x^2+2xy+2y^2=1$ mediante un cambio ortogonal. La elipse está dibujada en las coordenadas…
Encuentra los ejes principales y las longitudes de los semiejes de la elipse $2x^2+2xy+2y^2=1$ mediante un cambio ortogonal.
La elipse está dibujada en las coordenadas originales; debes encontrar sus ejes principales.
Clasifica el signo de $q(x,y)=x^2+6xy+9y^2$ y describe geométricamente su conjunto de ceros.
Clasifica el signo de $q(x,y)=x^2+6xy+9y^2$ y describe geométricamente su conjunto de ceros.
Determina para qué $a\in\mathbb R$ la forma $q_a(x,y)=x^2+2axy+y^2$ es definida positiva, semidefinida positiva no definida o indefinida.
Determina para qué $a\in\mathbb R$ la forma $q_a(x,y)=x^2+2axy+y^2$ es definida positiva, semidefinida positiva no definida o indefinida.
Clasifica $q(x,y,z)=2x^2+2y^2+2z^2+2xy$ y encuentra su menor valor sobre la esfera unidad.
Clasifica $q(x,y,z)=2x^2+2y^2+2z^2+2xy$ y encuentra su menor valor sobre la esfera unidad.
Elimina el término mixto de $q(x,y)=4xy$ mediante un cambio ortogonal y describe el nivel $q=1$ en las nuevas coordenadas.
Elimina el término mixto de $q(x,y)=4xy$ mediante un cambio ortogonal y describe el nivel $q=1$ en las nuevas coordenadas.
Una energía es $q(x,y)=5x^2-4xy+2y^2$. Demuestra que es estrictamente positiva fuera del origen y da la mejor constante $c$ tal que $q(x,y)\ge c(x^2+y^2)$ para todo…
Una energía es $q(x,y)=5x^2-4xy+2y^2$. Demuestra que es estrictamente positiva fuera del origen y da la mejor constante $c$ tal que $q(x,y)\ge c(x^2+y^2)$ para todo $(x,y)$.
Clasifica, para todo $a\in\mathbb R$, el signo de $q_a(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+2axy$. Incluye los subespacios donde se anula en los casos semidefinidos.
Clasifica, para todo $a\in\mathbb R$, el signo de $q_a(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+2axy$. Incluye los subespacios donde se anula en los casos semidefinidos.
Sea $A$ real simétrica y semidefinida positiva. Demuestra que $x^{\mathsf T}Ax=0$ si y solo si $Ax=0$. Da un contraejemplo si se permite que $A$ sea indefinida.
Sea $A$ real simétrica y semidefinida positiva. Demuestra que $x^{\mathsf T}Ax=0$ si y solo si $Ax=0$. Da un contraejemplo si se permite que $A$ sea indefinida.
Considera $q(x,y)=2x^2+2xy+2y^2-6x-6y+3$. Traslada el origen al centro y aplica un cambio ortogonal para clasificar y describir la curva $q=0$, indicando centro,…
Considera $q(x,y)=2x^2+2xy+2y^2-6x-6y+3$. Traslada el origen al centro y aplica un cambio ortogonal para clasificar y describir la curva $q=0$, indicando centro, direcciones y semiejes.
Explica la diferencia entre semejanza y congruencia para una matriz simétrica. Ilústrala con $A=\operatorname{diag}(1,4)$ y el cambio $x=S y$,…
Explica la diferencia entre semejanza y congruencia para una matriz simétrica. Ilústrala con $A=\operatorname{diag}(1,4)$ y el cambio $x=S y$, $S=\operatorname{diag}(1,1/2)$: calcula la matriz de la forma en las coordenadas $y$ y explica por qué sus autovalores pueden cambiar aunque se conserve el signo.