Ejercicios: Espacios de polinomios, matrices y funciones

Determina la dimensión del espacio de matrices reales $2\times3$ y escribe una base usando matrices con una única entrada no nula.

Sea $V=\operatorname{span}\{\cos t,\sen t\}$ como espacio de funciones reales. Comprueba que estos generadores forman base e identifica las coordenadas de $3\cos t-2\sen t$.

En $\mathcal P_3(\mathbb R)$, considera $U=\{p:p'(0)=0\}$. Da una base y la dimensión de $U$.

¿Tiene sentido asignar grado cero al polinomio nulo para contar la dimensión de $\mathcal P_2(\mathbb R)$? Explica qué significa realmente grado a lo sumo dos en la definición del espacio y da su dimensión.

Encuentra una base de los polinomios $p\in\mathcal P_3(\mathbb R)$ que cumplen $p(0)=p'(0)=0$ y explica su interpretación como condiciones iniciales homogéneas.

En $\mathcal P_2(\mathbb R)$, construye una base $L_0,L_1,L_2$ tal que $L_j(k)$ sea uno si $j=k$ y cero en caso contrario, para $j,k\in\{0,1,2\}$.

Encuentra una base de $U=\{p\in\mathcal P_2(\mathbb R):\int_{-1}^{1}p(x)\,dx=0\}$.

Describe una base real del espacio de matrices hermíticas $2\times2$, definido por $A=\overline A^T$. ¿Es también subespacio complejo de $M_2(\mathbb C)$?

Sea $V$ el espacio de funciones continuas en $[0,2]$ que son afines en $[0,1]$ y en $[1,2]$. Demuestra que los valores en $0,1,2$ son coordenadas respecto de una base e indica dicha base.

Este perfil ilustra cómo los valores nodales describen una función del espacio.

Dos sensores registran señales en $V=\operatorname{span}\{1,\cos t,\sen t\}$. ¿Bastan los valores en $t=0$ y $t=\pi$ para recuperar cualquier señal de $V$? Describe todas las señales invisibles para esos dos registros.

Los puntos resaltados son los únicos instantes de medida disponibles.

Demuestra que el espacio de polinomios reales sin cota de grado no tiene dimensión finita. Explica por qué no contradice la dimensión finita de cada $\mathcal P_n(\mathbb R)$.

Sea $V=\operatorname{span}\{1,t,\cos t,\sen t\}$. Para $h\in\mathbb R$, estudia si los valores de una función de $V$ en $0,h,2h,3h$ la determinan unívocamente.

En $M_n(\mathbb R)$ con $n\ge2$, demuestra $M_n(\mathbb R)=\operatorname{span}\{I\}\oplus\{A:\operatorname{tr}A=0\}$ y deduce una fórmula para la componente escalar de cualquier matriz.

Sea $V$ el espacio de funciones continuas y afines a trozos en los intervalos $[x_{j-1},x_j]$, con $n\ge1$ y $x_0<\cdots