Ejercicios: Coordenadas y cambios de base

Sea $B=((1,1),(1,-1))$. Calcula las coordenadas de $v=(5,1)$ en $B$.

En la base $B=((2,0),(1,3))$ de $\mathbb R^2$, un vector tiene coordenadas $(-1,2)^T$. Obtén sus coordenadas usuales.

En $\mathcal P_2(\mathbb R)$ con base $B=(1,x,1+x^2)$, calcula las coordenadas de $2+3x+4x^2$.

Escribe la matriz que transforma coordenadas en $B=((1,0,1),(0,1,1),(0,0,1))$ a coordenadas usuales de $\mathbb R^3$.

En $\mathbb C$ considerado como espacio real, calcula las coordenadas de $3-2i$ en la base ordenada $(1,i)$ y en $(i,1)$.

Un desplazamiento tiene coordenadas $(2,-1)^T$ en la base física $b_1=(1,1)$ metros, $b_2=(-1,1)$ metros. Obtén el desplazamiento en ejes cartesianos y su longitud.

La figura fija la orientación y la escala de los vectores de la base física.

Sean $B=((1,0),(1,1))$ y $C=((1,1),(0,1))$. Calcula $P_{C\leftarrow B}$, definida por $[v]_C=P_{C\leftarrow B}[v]_B$.

Sea $B=((1,1,0),(0,1,1),(1,0,1))$. Determina las coordenadas de $(2,3,4)$ en $B$.

Sean $B=(1,x,x^2)$ y $C=(1,x-1,(x-1)^2)$ en $\mathcal P_2(\mathbb R)$. Calcula $P_{B\leftarrow C}$ y las coordenadas en $C$ de $x^2+2x+3$.

En el espacio de matrices simétricas $2\times2$, usa la base $B=(E_{11},E_{12}+E_{21},E_{22})$. Da las coordenadas de $A=\begin{pmatrix}3&-2\\-2&5\end{pmatrix}$ y construye la matriz de cambio hacia $C=(I,E_{12}+E_{21},E_{11}-E_{22})$.

Dados $P_{C\leftarrow B}=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ y $P_{D\leftarrow C}=\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix}$, calcula $P_{D\leftarrow B}$ y transforma $[v]_B=(1,-1)^T$.

Una base plana gira respecto a la usual: $b_1=(\cos\theta,\sen\theta)$, $b_2=(-\sen\theta,\cos\theta)$. Deduce la transformación de coordenadas usuales a coordenadas en esa base.

El esquema distingue el giro de los ejes de las coordenadas del vector.

Se afirma que la matriz con columnas $b_1,b_2,b_3$ transforma coordenadas usuales en coordenadas en $B$. Explica el error y verifica el sentido correcto con $B=(e_1,2e_2,3e_3)$ y $v=(1,2,3)$.

En $\mathbb C^2$, sean $B=((1,i),(0,1))$ y $v=(2+i,3)$. Calcula $[v]_B$ y explica por qué sus coordenadas pueden ser complejas.

Sean $B_a=((1,a),(a,1))$. Estudia cuándo es base y determina las coordenadas de un vector $(x,y)$ en ella. Analiza qué ocurre con $v=(1,1)$ al aproximarse $a$ a $1$.

Para tres bases $B,C,D$ de un mismo espacio, demuestra $P_{D\leftarrow B}=P_{D\leftarrow C}P_{C\leftarrow B}$ y $P_{B\leftarrow C}=P_{C\leftarrow B}^{-1}$ sin usar coordenadas concretas.

Una base no ortogonal es $B=((1,0),(1,1))$. Para un vector con coordenadas $(a,b)^T$ en $B$, deduce su longitud euclídea y decide si $\sqrt{a^2+b^2}$ es siempre correcta.

En $\mathcal P_n(\mathbb R)$, considera la base $C=(1,x-a,\ldots,(x-a)^n)$. Demuestra que las coordenadas de $p$ en $C$ son $p^{(k)}(a)/k!$ para $k=0,\ldots,n$.

Un punto físico cambia de referencia según $r'=P^{-1}(r-r_0)$, con $P$ invertible y $r_0\ne0$. ¿Es este un cambio de base lineal de vectores de posición? Distingue qué ocurre con las diferencias de dos posiciones.

Sea $V$ real de dimensión $n$, $B$ una base y $Q\in M_n(\mathbb R)$ invertible. Prueba que existe una única base $C$ con $P_{B\leftarrow C}=Q$, y da sus vectores en términos de $B$.