Ejercicios: Operaciones, módulo y conjugación

En $\mathbb C$, calcula $(3-2i)+(1+5i)$ y $(3-2i)(1+5i)$, con $i^2=-1$.

Escribe $(2+i)/(1-2i)$ en forma $a+bi$, con $a,b\in\mathbb R$.

Representa $z=-3+4i$ y su conjugado en el plano complejo. Calcula sus módulos.

El plano sitúa el número complejo dado.

Encuentra los números reales $a,b$ que satisfacen $(a+bi)+(2-3i)=5+i$.

Resuelve en $\mathbb C$ la ecuación $z+2\overline z=6-3i$.

Describe geométricamente el conjunto de $z\in\mathbb C$ que cumple $|z-(1+i)|=2$. Indica sus intersecciones con el eje real.

La figura sitúa el punto de referencia y un segmento de longitud 2; debes determinar el lugar geométrico completo.

Para $z\ne1$, demuestra que $\left|(z+1)/(z-1)\right|=1$ si y solo si $\operatorname{Re}z=0$.

Resuelve $z^2-2z+5=0$ y verifica las raíces por sustitución.

Dos impedancias complejas son $Z_1=2+2i\ \Omega$ y $Z_2=2-2i\ \Omega$. Calcula la impedancia equivalente en paralelo $Z=Z_1Z_2/(Z_1+Z_2)$ y justifica que es real.

Determina todos los $z\in\mathbb C$ que cumplen $|z|=5$ y $\operatorname{Im}z=2\operatorname{Re}z$.

Determina el lugar geométrico $|z-1|=2|z+1|$ en el plano complejo e identifica centro y radio.

Demuestra que $|z+w|^2+|z-w|^2=2|z|^2+2|w|^2$ para $z,w\in\mathbb C$ e interpreta el resultado como identidad de un paralelogramo.

Sean $z,w\in\mathbb C$ no nulos. Demuestra que $|z+w|=|z|+|w|$ si y solo si $z/w$ es real positivo.

Clasifica las soluciones de $z+a\overline z=b$ según el parámetro $a\in\mathbb R$ y el dato $b=u+vi\in\mathbb C$, con $u,v\in\mathbb R$.