Semelhança de triângulos retângulos

Dois triângulos retângulos são semelhantes. O primeiro tem catetos que medem $3$ cm e $4$ cm. Se o cateto menor do segundo triângulo mede $9$ cm, quanto mede a hipotenusa deste segundo triângulo?

Dois esquadros de desenho (que têm a forma de um triângulo retângulo escaleno) são semelhantes. Se a hipotenusa do esquadro maior é o triplo da do esquadro menor, quantas vezes maior é a área do esquadro grande em relação ao pequeno?

Num triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide-a em dois segmentos que medem $4$ cm e $9$ cm. Calcule o comprimento dessa altura utilizando o teorema correspondente.

A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo mede $6$ cm. Se um dos segmentos em que divide a hipotenusa mede $3$ cm, quanto mede o outro segmento da hipotenusa?

Num triângulo retângulo, a altura traçada sobre a hipotenusa divide-a em dois segmentos de comprimentos $m = 2\text{ cm}$ e $n = 10\text{ cm}$.

1. a) Antes de operar, estima fundamentadamente entre que dois números inteiros consecutivos deve situar-se o comprimento da altura $h$. Achas que $h$ será maior, menor ou igual a metade da hipotenusa ($(m+n)/2 = 6\text{ cm}$)? Justifica a tua previsão.
2. b) Aplica o teorema correspondente para calcular o valor exato da altura $h$ e obtém a sua aproximação com duas casas decimais.
3. c) Verifica se o teu cálculo confirma a estimativa realizada na alínea a) e explica por que razão, em qualquer triângulo retângulo não isósceles, a altura sobre a hipotenusa é sempre estritamente menor do que a metade dessa hipotenusa.

A hipotenusa de um triângulo retângulo mede $25$ cm e a projeção de um dos seus catetos sobre ela mede $9$ cm. Calcule o comprimento desse cateto aplicando o teorema do cateto.

Um cateto de um triângulo retângulo mede $8$ cm e a sua projeção ortogonal sobre a hipotenusa mede $3,2$ cm. Determine o comprimento total da hipotenusa.

Num triângulo retângulo, as projeções dos dois catetos sobre a hipotenusa medem $5$ cm e $12$ cm, respetivamente. Quanto mede a hipotenusa do triângulo?

No projeto de uma asna para um telhado de duas águas em forma de triângulo retângulo, a viga vertical (que atua como altura relativa à hipotenusa) mede $2,4$ m e separa a viga inferior (hipotenusa) em dois segmentos, um dos quais mede $1,8$ m. Calcule o perímetro total da estrutura externa da asna.

A vela principal de um veleiro tem a forma de um triângulo retângulo. A costura que marca a altura relativa ao vértice do ângulo reto, até à hipotenusa, mede $6$ m. Se a projeção do cateto menor da vela sobre a hipotenusa é de $4,5$ m, calcule a área total da vela em metros quadrados.

Um arco de ponte de pedra tem a forma de uma semicircunferência perfeita com um diâmetro de $20$ m. A $4$ m de uma das extremidades da ponte, é necessário colocar um pilar vertical que vá do chão até ao arco. Utilizando o teorema da altura, determine que comprimento exato deve ter esse pilar.

Se considerarmos que a Terra é uma esfera de raio $R = 6371$ km, e uma pessoa se encontra num balão aerostático a uma altura $h = 2$ km sobre a superfície, a linha de visão tangente à superfície forma um triângulo retângulo no ponto do horizonte. Utiliza o teorema do cateto (ou o de Pitágoras em triângulos semelhantes) para encontrar a distância retilínea $d$ do balão aerostático até ao horizonte visível, arredondando o resultado às centésimas.

Uma rampa de acessibilidade tem um comprimento total de $12$ m apoiada sobre o solo e vence um desnível máximo de $1,5$ m. Se uma cadeira de rodas avançou $4$ m sobre a rampa desde o seu início na parte inferior, a que altura se encontra em relação ao nível do solo?

Numa câmara escura artesanal de $20$ cm de profundidade, forma-se a imagem invertida de uma árvore que se encontra a $15$ m do orifício estenopeico. Se a imagem formada no fundo da câmara tem uma altura de $8$ cm, qual é a altura real da árvore, em metros?

Um copo cónico de vidro tem $15$ cm de profundidade total e $6$ cm de raio na sua abertura superior. Enche-se de água até que o líquido atinja uma altura de $10$ cm medida a partir do fundo (vértice inferior). Calcule o raio da superfície circular da água utilizando a semelhança de triângulos retângulos que se formam com o eixo central do copo.

Para medir a altura de um edifício, um estudante coloca um espelho plano no chão a $15$ m da base do edifício. Ao recuar $1,2$ m a partir do espelho, vê a parte mais alta do edifício refletida nele. Se os olhos do estudante estão a $1,6$ m do chão, qual é a altura do edifício?

Numa mesa de bilhar retangular, bates numa bola sem efeito contra uma das tabelas, de modo que faz ricochete formando dois triângulos retângulos semelhantes na sua trajetória. A bola parte de uma posição situada a $40\text{ cm}$ dessa tabela e, após o ricochete, chega a um ponto situado a $60\text{ cm}$ da mesma tabela. Se a distância longitudinal total que a bola avança na direção paralela à tabela é de $150\text{ cm}$, determina:

1. a) A distância longitudinal percorrida pela bola antes do ricochete.
2. b) A distância longitudinal percorrida depois do ricochete.

Num triângulo retângulo de catetos $8$ cm e $6$ cm, inscreve-se um quadrado de modo que um dos seus vértices coincida com o ângulo reto do triângulo, e os dois lados do quadrado que formam esse vértice fiquem sobre os catetos. Calcule a medida do lado do quadrado $x$ utilizando a semelhança dos triângulos retângulos que se formam.

Dois postes verticais de alturas $a = 3$ m e $b = 6$ m estão separados por uma distância desconhecida. Estendem-se dois cabos esticados a partir da base de cada poste até à extremidade superior do outro poste. Utilizando a semelhança dos triângulos retângulos que se formam, demonstre que a altura $h$ a que os cabos se cruzam é independente da distância que separa os postes e calcule o seu valor.

No parque de Monsanto, em Lisboa, projeta-se construir um módulo para skate cuja secção lateral é um triângulo retângulo apoiado sobre o solo horizontal, que atua como hipotenusa e mede $3,2\text{ m}$ de comprimento. Para reforçar a estrutura de madeira, colocar-se-á uma viga de aço vertical a partir do vértice superior perpendicularmente ao solo (atuando como altura sobre a hipotenusa). As plantas indicam que essa viga divide a base em dois troços, sendo o troço mais longo exatamente o triplo do troço curto.

1. a) Modela a situação identificando os elementos geométricos do triângulo ($a$, $m$, $n$, $h$) e calcula o comprimento exato de cada um dos dois troços do solo.
2. b) Calcula a altura que deve ter a viga vertical de reforço e o comprimento das duas superfícies inclinadas da rampa (os catetos). Arredonda os resultados ao centímetro.
3. c) Se a regulamentação municipal de segurança para pistas de iniciação exige que a altura total não ultrapasse os $1,5\text{ m}$, determina fundamentadamente se o projeto cumpre a regulamentação.

Num triângulo retângulo conhecemos com exatidão os comprimentos dos seus dois catetos: $b = 15\text{ cm}$ e $c = 20\text{ cm}$. Para encontrar a altura relativa à hipotenusa, $h$, dois alunos propõem caminhos distintos:

• Método do Tomás: Calcula primeiro a hipotenusa $a$ através do teorema de Pitágoras. Depois, usa o teorema do cateto para encontrar as duas projeções, $m$ e $n$, sobre a hipotenusa. Finalmente, calcula $h$ aplicando o teorema da altura ($h^2 = m \cdot n$).

• Método da Leonor: Calcula primeiro a hipotenusa $a$ através de Pitágoras. De seguida, iguala duas formas de expressar a área do triângulo (o produto dos catetos a dividir por dois e o produto da hipotenusa pela altura a dividir por dois: $\frac{b \cdot c}{2} = \frac{a \cdot h}{2}$) para isolar $h$ diretamente.

1. a) Desenvolve passo a passo ambos os métodos e verifica que se obtém um resultado idêntico.
2. b) Se os catetos medissem valores com decimais não exatos (por exemplo, $b = 13,4\text{ cm}$ e $c = 18,1\text{ cm}$), qual dos dois métodos seria mais vantajoso e menos propenso a acumular erros de arredondamento? Justifica a tua escolha analisando o número de passos e as operações necessárias em cada caso.

Num terreno com a forma de um triângulo retângulo, foi aberta uma vala de rega que coincide com a altura relativa à hipotenusa e mede $12$ m. Se a razão entre os dois segmentos em que esta vala divide a hipotenusa é $\frac{9}{16}$, calcule as dimensões dos três lados que delimitam o terreno.

Num triângulo retângulo, a razão entre os quadrados dos catetos é $\frac{b^2}{c^2} = \frac{9}{16}$. Se a hipotenusa mede $50$ cm, utiliza a relação de proporcionalidade deduzida a partir dos teoremas do cateto para encontrares primeiro a medida das projeções de ambos os catetos sobre a hipotenusa e, posteriormente, o comprimento exato dos catetos.

Num triângulo retângulo, a projeção do cateto menor sobre a hipotenusa mede $x$ cm, a projeção do cateto maior mede $(x+5)$ cm e a altura relativa à hipotenusa mede $(x+2)$ cm. Proponha a equação correspondente, encontre o valor de $x$ e calcule a área total do triângulo.

A área de um painel solar com forma de triângulo retângulo é de $150$ dm$^2$ e a altura relativa à sua hipotenusa mede $12$ dm. Propondo um sistema de equações com as projeções dos catetos, determine o comprimento exato dos dois catetos do painel solar.

Recorda que numa equação quadrática unitária $x^2 - S\cdot x + P = 0$, o coeficiente $S$ representa a soma das suas duas soluções e o termo independente $P$ representa o seu produto.

1. a) Num triângulo retângulo, a hipotenusa completa é a soma das projeções ($a = m + n$) e o quadrado da altura sobre a hipotenusa é o produto dessas projeções ($h^2 = m \cdot n$). Sem resolver a equação, deduz o valor da hipotenusa $a$ e o da altura $h$ de um triângulo retângulo sabendo que as medidas das suas projeções $m$ e $n$ são as raízes da equação $x^2 - 13x + 36 = 0$ (com medidas em centímetros).
2. b) Formula o problema inverso: escreve a equação do segundo grau cujas soluções correspondam às projeções $m$ e $n$ de um triângulo retângulo que tem uma hipotenusa de $a = 25\text{ cm}$ e uma altura sobre a hipotenusa de $h = 12\text{ cm}$.
3. c) Resolve a equação que formulaste na alínea b) para encontrar $m$ e $n$, e calcula a partir delas os comprimentos exatos dos dois catetos do triângulo.

Num triângulo retângulo $ABC$ com ângulo reto em $A$, o cateto $b$ mede exatamente o dobro do cateto $c$ ($b = 2c$). Traça-se a altura $h$ sobre a hipotenusa, que divide esta em dois segmentos: $m$ (projeção do cateto menor $c$) e $n$ (projeção do cateto maior $b$). Essa altura divide o triângulo original em dois triângulos retângulos menores, $T_1$ e $T_2$.

1. a) Utilizando o teorema do cateto para ambos os catetos, demonstra de forma dedutiva que a projeção maior não é o dobro da menor, mas sim que se verifica $n = 4m$.
2. b) Demonstra, a partir do teorema da altura, que essa altura mede exatamente o dobro da projeção menor ($h = 2m$).
3. c) Uma equipa técnica cartografa uma parcela com estas proporções cuja hipotenusa mede no total $a = 45\text{ m}$. Calcula as medidas de $m$, $n$, $h$ e a razão exata entre a área de $T_2$ e a área de $T_1$. Explica como se deduz essa mesma razão de áreas diretamente a partir da semelhança de triângulos sem necessidade de calcular as áreas numéricas.