Divisões proporcionais
Três amigos, o João, a Beatriz e o Tomás, ganham 300 € num torneio de videojogos. O João jogou 2 partidas, a Beatriz 3 e o Tomás 5. Será justo dar 100 € a cada um? Parece mais justo que quem jogou mais receba mais. É isso uma divisão proporcional. Vamos ver como se faz.
Divisão diretamente proporcional
Divide-se a quantia em partes diretamente proporcionais a certos números: quem tem um número maior recebe mais.
Altera o total ou as partes e observa como se divide a barra:
Três amigos, Alex, Bea e Cris, participaram num torneio de videojogos por equipas e ganharam um baú com $240$ moedas de ouro virtuais. Decidiram dividir o saque de forma…
Três amigos, Alex, Bea e Cris, participaram num torneio de videojogos por equipas e ganharam um baú com $240$ moedas de ouro virtuais. Decidiram dividir o saque de forma diretamente proporcional ao número de níveis que cada um superou: Alex superou $2$ níveis, Bea $3$ níveis e Cris $5$ níveis. Quantas moedas correspondem a cada um?
Uma associação juvenil recebeu uma subvenção de $1200$ € para organizar oficinas. O dinheiro deve ser dividido entre três grupos locais de forma diretamente proporcional…
Uma associação juvenil recebeu uma subvenção de $1200$ € para organizar oficinas. O dinheiro deve ser dividido entre três grupos locais de forma diretamente proporcional ao número de voluntários que cada grupo possui: o Grupo A tem $10$ voluntários, o Grupo B tem $15$ e o Grupo C tem $25$. Calcule quanto dinheiro receberá cada grupo.
Três amigos decidem participar num torneio de eSports por equipas. Depois de ganharem o primeiro prémio, a organização entrega-lhes um baú com $2700$ moedas virtuais.…
Três amigos decidem participar num torneio de eSports por equipas. Depois de ganharem o primeiro prémio, a organização entrega-lhes um baú com $2700$ moedas virtuais. Para serem justos, decidem dividir as moedas de forma diretamente proporcional aos pontos de experiência (XP) que cada um contribuiu na partida final: o Álvaro contribuiu com $12$ pontos, a Beatriz com $15$ pontos e o Cristiano com $18$ pontos. Quantas moedas correspondem a cada um?
Divisão inversamente proporcional
Agora quem tem um número maior recebe menos. Por exemplo, distribuem-se pontos extra num concurso de robótica de forma inversamente proporcional ao tempo que cada robô demorou: o mais rápido (menos tempo) fica com mais.
O truque: dividir de forma diretamente proporcional aos inversos $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$.
Num concurso de robótica, repartem-se $140$ pontos extra de forma inversamente proporcional ao número de erros cometidos no circuito. Se a equipa "Alfa" cometeu $1$…
Num concurso de robótica, repartem-se $140$ pontos extra de forma inversamente proporcional ao número de erros cometidos no circuito. Se a equipa "Alfa" cometeu $1$ erro, a equipa "Beta" cometeu $2$ erros e a equipa "Gamma" cometeu $4$ erros, quantos pontos receberá cada equipa?
Três irmãos devem dividir as tarefas de casa. A mãe deles decidiu que o número de horas que cada um dedicará a limpar o jardim será inversamente proporcional às médias…
Três irmãos devem dividir as tarefas de casa. A mãe deles decidiu que o número de horas que cada um dedicará a limpar o jardim será inversamente proporcional às médias que obtiveram no ano letivo: o Tomás tem $9$, a Amina $8$ e o Jorge $6$. Se no total tiverem de cumprir $74$ horas de trabalho entre os três, quantas horas correspondem a cada um?
Uma empresa de "Escape Room" oferece um bónus mensal de $450 €$ a ser dividido entre as três equipas que conseguirem sair da sua sala mais difícil em menos de uma hora.…
Uma empresa de "Escape Room" oferece um bónus mensal de $450 €$ a ser dividido entre as três equipas que conseguirem sair da sua sala mais difícil em menos de uma hora. A divisão é feita de forma inversamente proporcional ao tempo empregue. A equipa "Alpha" saiu em $40$ minutos, a equipa "Beta" em $45$ minutos e a equipa "Gamma" em $50$ minutos. Calcule a parte do prémio que corresponde a cada equipa.
Divisões com dois critérios
Às vezes divide-se segundo duas coisas ao mesmo tempo: por exemplo, o dinheiro investido e o tempo que esteve investido. Multiplicam-se os números de cada pessoa e divide-se proporcionalmente a esses produtos.
Também se pode combinar um critério direto com um inverso: multiplica-se o número do critério direto pelo inverso do outro (ver MEDIO-08).
Três sócios de uma "startup" de entregas ecológicas investiram inicialmente quantias diferentes: $4000 \text{ €}$, $7000 \text{ €}$ e $9000 \text{ €}$. No final do ano,…
Três sócios de uma "startup" de entregas ecológicas investiram inicialmente quantias diferentes: $4000 \text{ €}$, $7000 \text{ €}$ e $9000 \text{ €}$. No final do ano, obtiveram um lucro líquido de $12000 \text{ €}$. Como devem ser divididos os lucros de forma diretamente proporcional ao investimento inicial de cada um?
Um grupo de três agricultores decide alugar uma máquina por $570 \text{ €}$. O custo será dividido de forma diretamente proporcional à área dos seus terrenos, que medem…
Um grupo de três agricultores decide alugar uma máquina por $570 \text{ €}$. O custo será dividido de forma diretamente proporcional à área dos seus terrenos, que medem $3$, $5$ e $7$ hectares, respetivamente. No entanto, o proprietário da máquina faz-lhes um desconto de $10 \%$ sobre o total por ser baixa temporada. Quanto terá de pagar cada agricultor após a aplicação do desconto?
Um avô deseja dividir $44400 €$ entre os seus três netos de $15, 20$ e $30$ anos de maneira que a divisão seja inversamente proporcional às suas idades. Antes de…
Um avô deseja dividir $44400 €$ entre os seus três netos de $15, 20$ e $30$ anos de maneira que a divisão seja inversamente proporcional às suas idades. Antes de realizar a divisão, o neto do meio decide doar $25\%$ da sua parte a uma ONG. Que quantia líquida o neto de $20$ anos acabará por receber?
De volta ao início: dividir 300 € em partes iguais seria injusto; dividindo em partes proporcionais a 2, 3 e 5 partidas, o João recebe 60 €, a Beatriz 90 € e o Tomás 150 €.