Equações do primeiro grau

Em Matemática, é fundamental distinguir entre uma expressão algébrica e uma equação. Observe a seguinte lista e identifique quais são equações do primeiro grau. Para as que forem, indique qual é o seu primeiro membro e qual é a sua incógnita:

1. a) $3x + 5$
2. b) $2x - 8 = 10$
3. c) $x^2 - 4 = 0$
4. d) $5 + 3 = 8$
5. e) $\frac{y}{2} + 1 = 7$

Verificar se um número é solução de uma equação consiste em substituir a incógnita e ver se a igualdade se verifica. Dado o seguinte conjunto de valores: $\{-2, 0, 3\}$, indique justificadamente qual deles é a solução da equação:

$5x - (x + 4) = 8$

Resolva as seguintes equações básicas utilizando a transposição de termos (o que está a somar passa a subtrair e vice-versa):

1. a) $x + 15 = 42$
2. b) $x - 7 = -12$
3. c) $10 - x = 4$
4. d) $25 = x + 18$

Uma balança está em equilíbrio. No prato da esquerda há $3$ caixas iguais (de peso $x$) e um peso de $2$ kg. No prato da direita há um peso de $14$ kg.

Escreve a equação que representa este equilíbrio e calcula quanto pesa cada caixa.

Resolve estas equações do primeiro grau eliminando primeiro os parênteses. Lembra-te de aplicar a propriedade distributiva com cuidado:

1. a) $3(x - 2) = 12$
2. b) $2(x + 4) + 5 = 17$
3. c) $10 - (x - 3) = 8$

Considera a seguinte equação de primeiro grau: $$3(x - 4) + 5(x - 4) = 24$$

Para a resolver existem dois caminhos claros:

• Caminho A: Aplicar a propriedade distributiva no primeiro membro eliminando os parênteses, reduzir os termos semelhantes e isolar a incógnita $x$.

• Caminho B: Pôr em evidência o binómio $(x - 4)$ no primeiro membro, operar os coeficientes e isolar a incógnita.

Resolve a equação seguindo ambos os procedimentos passo a passo. De seguida, compara os dois métodos e justifica qual deles consideras mais rápido e com menor risco de cometer erros com os sinais.

Resolve a seguinte equação do primeiro grau, certificando-te de simplificar todos os termos e prestar atenção às mudanças de sinal à frente das frações:

$\frac{2(x - 3)}{5} - \frac{x - 1}{2} = \frac{3x - 4}{10} + 1$

Resolva a seguinte equação do primeiro grau com coeficientes fracionários e termos encadeados. Preste muita atenção ao manuseamento dos sinais negativos à frente das frações:

Dada a equação com um coeficiente desconhecido $k$:

Calcule o valor que $k$ deve ter para que a solução da equação seja $x = 6$. Depois de encontrar $k$, verifique se a igualdade se satisfaz, substituindo ambos os valores na equação original.

Queremos desenhar uma equação de primeiro grau da forma $3x - k = 2(x + 1)$ para uma atividade de aula, de modo a que a sua solução seja exatamente $x = 5$.

1. a) Descobre que valor numérico deve ter a constante desconhecida $k$ para que se cumpra essa condição.
2. b) Agora cria tu uma equação de primeiro grau diferente que contenha pelo menos dois denominadores diferentes (por exemplo, com $2$ e com $3$) e cuja única solução também seja $x = 5$. Demonstra que está correta resolvendo-a passo a passo.

Analisa a seguinte equação de primeiro grau onde as letras $a$ e $b$ representam coeficientes constantes desconhecidos e $x$ é a incógnita:

1. a) Desenvolve e reduz ambos os membros para escrever a equação na forma canónica $A \cdot x = B$, expressando $A$ e $B$ em função de $a$ e $b$.
2. b) Determina que valores concretos devem tomar $a$ e $b$ para que a equação tenha infinitas soluções (seja uma identidade). Justifica a tua dedução apoiando-te na expressão $0x = 0$.
3. c) Determina que condições devem cumprir $a$ e $b$ para que a equação não tenha solução (seja uma equação impossível, $0x = B$ com $B \neq 0$).
4. d) Se fixarmos o valor $b = 5$, descobre que valor exato deve ter $a$ para que a solução única da equação seja $x = 2$, e verifica-o substituindo na equação original.

No desenvolvimento de videojogos, às vezes são usadas equações para calcular pontuações. Um jogador tem o triplo dos pontos do seu amigo. Se subtrairmos $50$ pontos ao jogador, ele passa a ter exatamente $250$ pontos.

Escreve uma equação em que $x$ seja a pontuação do amigo e resolve-a para determinares quantos pontos cada um tem.

Traduzir enunciados da linguagem natural para a linguagem algébrica é como aprender um novo idioma. Traduz e resolve a seguinte situação:

"Se ao dobro de um número somar a sua metade, obtém-se 25".

(Dica: chama $x$ ao número desconhecido).

Numa loja de tecnologia, um rato sem fios, um teclado e um auricular custam no total $110$ €. Sabemos que o teclado custa o triplo do rato e que o auricular custa $10$ € a mais do que o teclado. Escreve uma equação do primeiro grau e calcula o preço de cada artigo.

Determine três números inteiros pares consecutivos tais que a soma dos dois primeiros seja igual ao terceiro mais $14$ unidades.

Dois ciclistas, Beatriz e Marcos, participam numa corrida solidária. A Beatriz parte da linha de partida a uma velocidade constante de $20$ km/h. Meia hora mais tarde, o Marcos parte do mesmo ponto, a persegui-la, a uma velocidade de $25$ km/h. Quanto tempo demorará o Marcos a alcançar a Beatriz a partir do momento em que ele parte? A que distância do ponto de partida se encontrarão?

Numa livraria de bairro, Marcos compra um romance juvenil que custa $18,50$ € e vários mangas idênticos que custam $7,50$ € cada um. Na caixa aplicam-lhe um cupão de desconto direto de $4$ € sobre o montante total da compra. Marcos entrega uma nota de $50$ € para pagar e o funcionário devolve-lhe exatamente $5,50$ €.

1. a) Antes de escreveres qualquer equação, arredonda as quantias a números inteiros para estimar mentalmente quantos mangas comprou aproximadamente (seriam mais de $6$? menos de $2$?). Explica o teu raciocínio aproximado.
2. b) Formula uma equação de primeiro grau onde a incógnita $x$ seja o número de mangas adquiridos e resolve-a com exatidão.
3. c) Verifica se o valor obtido coincide com a tua estimativa prévia e raciocina se uma solução não inteira teria feito sentido neste contexto real.

Um designer de videojogos está a configurar a área de colisão quadrada de uma personagem. Se ele aumenta um dos lados em $4\text{ cm}$ e reduz o outro em $2\text{ cm}$, a área do retângulo resultante é $20\text{ cm}^2$ maior que a área do quadrado original. Qual é a medida do lado do quadrado original?

Dica: Embora apareçam termos em $x^2$, observa como se simplificam ao efetuar as operações.

Determine um número de dois algarismos sabendo que o algarismo das unidades excede em $3$ unidades o algarismo das dezenas. Se somarmos a esse número o número resultante de inverter a ordem dos seus algarismos, obtemos como resultado $121$. Escreva uma equação do primeiro grau com uma única incógnita para determinar o número original.

Determine o valor do lado $x$ no seguinte retângulo sabendo que o seu perímetro total é de $34$ cm.

Nas equações literais, devemos ser capazes de isolar uma variável em função das restantes. Isole a variável $x$ na seguinte igualdade, supondo que todos os parâmetros $a, b, c$ e $d$ são conhecidos e diferentes de zero, com $a \neq d$:

Exprima o resultado final como uma única fração.

Um fabricante de sumos quer criar uma nova mistura "Tropical" combinando sumo de ananás que custa $1,20$ €/litro com sumo de manga que custa $1,80$ €/litro. Se pretende obter $60$ litros de mistura a um preço de $1,40$ €/litro, quantos litros de sumo de ananás deve utilizar?

Para encher a piscina municipal de um concelho, são utilizadas duas tubagens, A e B. A tubagem A é capaz de encher a piscina sozinha em $10$ horas. Devido a uma falha no sistema de drenagem, há uma fuga no fundo que esvaziaria a piscina cheia em $30$ horas se as tubagens estivessem fechadas. Se abrirmos a tubagem A e a tubagem B em simultâneo, a piscina enche-se em exatamente $5$ horas (com a fuga aberta). Quanto tempo levaria a tubagem B a encher a piscina sozinha se não houvesse fuga?

Num laboratório de química, um aluno precisa de obter $12$ litros de uma solução ácida a $25\%$. Na prateleira, dispõe apenas de dois frascos: um com uma solução a $10\%$ de ácido e outro com uma solução muito concentrada a $50\%$. Quantos litros deve misturar de cada frasco para obter a mistura exata necessária para a sua experiência?

Dois drones de vigilância, Helios e Selene, partem de duas bases situadas a uma distância de $150\text{ km}$ um do outro. Ambos voam na mesma direção e sentido (Helios a perseguir Selene). Helios voa a uma velocidade constante de $90\text{ km/h}$ e Selene a $60\text{ km/h}$. Se ambos levantarem voo ao mesmo tempo, quanto tempo demorará Helios a alcançar Selene e a que distância da sua base de origem ocorrerá o encontro?

Uma loja de tecnologia lança uma promoção de tablets e acessórios. O João compra um tablet e um teclado por um total de $325\text{ €}$. Ele sabe que o tablet tem um desconto de $20\%$ sobre o seu preço original, enquanto o teclado, por ser um modelo antigo, tem um desconto de $50\%$. Se o João poupou no total $115\text{ €}$ em relação aos preços originais, qual era o preço de venda (sem desconto) do tablet e do teclado?

Na fatura mensal de eletricidade de uma casa em Portugal sob uma tarifa fixa, o montante a pagar decompõe-se em: uma quota fixa por potência contratada de $15,60$ € por mês e um custo variável por energia consumida de $0,16$ € por cada quilowatt-hora ($\text{kWh}$) gasto. Além disso, a esta família aplica-se um desconto mensal de $4,40$ € a título de bónus de eficiência energética.

Se a fatura final do mês de novembro ascende exatamente a $49,60$ €:

1. a) Modela a situação formulando uma equação de primeiro grau que relacione todos os dados e permita calcular o consumo $x$ (em $\text{kWh}$) do mês.
2. b) Resolve a equação detalhando cada passo da transposição de termos e determina o consumo exato.
3. c) Segundo dados estatísticos do setor energético em Portugal, o consumo médio de uma família de características semelhantes é de $270\text{ kWh}$ por mês. Interpreta o teu resultado indicando se o consumo desta família se situa acima ou abaixo da média nacional e calcula quantos $\text{kWh}$ de diferença representa.