Monómios

Identifique o coeficiente, a parte literal e o grau do monómio $-\frac{3}{5}x^2y^3z$.

Realiza a seguinte adição e subtração de monómios semelhantes e simplifica o resultado:

$7a^2b - 3a^2b + \frac{1}{2}a^2b$

Multiplique os seguintes monómios e expresse o resultado da forma mais simplificada possível:

$(-4x^3y) \cdot (5xy^4)$

Verifique se os monómios $A = 5x^2y$ e $B = -2yx^2$ são semelhantes. Em caso afirmativo, calcule a sua soma $A + B$ e a sua diferença $A - B$.

Divida os seguintes monómios indicando claramente o coeficiente e a parte literal do resultado:

$\frac{18p^5q^3}{3p^2q}$

Calcule a potência do seguinte monómio aplicando as propriedades das potências:

$(-2m^3n^4)^5$

Simplifique a seguinte expressão combinada de monómios, realizando primeiro o produto do numerador e depois a divisão:

$\frac{(3a^2b^3) \cdot (-4a^4b)}{6a^3b^2}$

Realize a seguinte operação combinada respeitando a hierarquia das operações e agrupe os termos semelhantes:

$(2x^2y)^3 - 5x^6y^3 + (-x^2y)^3$

Determine o valor numérico do monómio $M(x,y) = 4x^2y^3$ para os valores $x = -2$ e $y = 3$.

[ESCOLHE O MÉTODO] Para avaliar uma expressão algébrica no laboratório, deve calcular-se o valor numérico da seguinte operação com monómios para $x = -2$, $y = 3$ e $z = -1$:

Dois alunos propõem caminhos distintos para chegar à solução:

• Método da Alba: Substituir diretamente os valores $x = -2$, $y = 3$, $z = -1$ em cada um dos três monómios entre parênteses, calcular o resultado numérico de cada fator e, finalmente, multiplicar os três números obtidos.

• Método do Bruno: Multiplicar e simplificar primeiro os três monómios aplicando as propriedades das potências para obter um único monómio reduzido (com o seu sinal, coeficiente fracionário e expoentes definitivos) e, apenas no final, substituir os valores de $x$, $y$, $z$.

1. a) Resolve o exercício seguindo o método da Alba e depois seguindo o método do Bruno, mostrando os passos intermédios em ambos.
2. b) Compara os dois métodos: qual deles minimiza o risco de cometer erros com os sinais negativos e as potências? Justifica a tua resposta indicando quantas potências e mudanças de sinal tiveste de gerir em cada caminho.
3. c) Se tivesses de programar uma folha de cálculo para calcular este valor em $100$ medições experimentais distintas de $(x, y, z)$, qual dos dois métodos escolherias como base do algoritmo e porquê?

Escreva o monómio que representa matematicamente a seguinte afirmação: "A metade do produto do quadrado de um número pelo cubo de outro número diferente".

[ERRO ALHEIO] O Lucas está a rever a matéria para o teste de Matemática e escreve a seguinte afirmação no seu caderno:

«Os monómios $A = -4x^3y^2$ e $B = 7x^2y^3$ são semelhantes porque ambos são formados pelas letras $x$ e $y$ e os dois têm grau $5$. Por isso, podemos somá-los diretamente obtendo $3x^5y^5$».

1. a) Localiza e explica detalhadamente os dois erros conceptuais que o Lucas cometeu (um sobre a definição de monómios semelhantes e outro sobre o procedimento para somar monómios).
2. b) Escreve um monómio $C$ que seja semelhante a $A$, cujo coeficiente seja uma fração negativa irredutível, e calcula o seu valor numérico para $x = -1$ e $y = 2$.

[MODELA] Segundo dados de segurança rodoviária da Autoridade Nacional de Segurança Rodoviária (ANSR), a energia cinética de um veículo em movimento é modelada através da fórmula física $E_c = \frac{1}{2}m \cdot v^2$, onde $m$ representa a massa do veículo em quilogramas ($\text{kg}$) e $v$ a velocidade a que circula em metros por segundo ($\text{m/s}$).

Uma carrinha de distribuição de mercadorias em Lisboa tem uma massa fixa de $m = 2400\text{ kg}$.

1. a) Escreve a expressão da energia cinética da carrinha como um monómio em função da variável $v$. Identifica claramente o seu coeficiente, a sua parte literal e o seu grau.
2. b) Numa rua residencial com limite de $30\text{ km/h}$, a carrinha circula a cerca de $v = 8\text{ m/s}$. O que aconteceria ao valor da energia cinética se o condutor duplicasse a sua velocidade para $16\text{ m/s}$? Justifica a tua resposta a partir do grau da variável $v$, sem necessidade de realizar todo o cálculo completo novamente.

Uma piscina tem a forma de um prisma retangular com as dimensões mostradas na figura. Expresse o volume da piscina como um monómio. A seguir, calcule a quantidade de água (em litros) que contém quando está totalmente cheia se $x = 3$ metros. (Lembre-se de que $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ litros}$).

A energia cinética de um objeto em movimento é calculada pela expressão $E_c = \frac{1}{2}mv^2$. Se a massa de uma partícula é dada pelo monómio $m = 4t^2$ kg e a sua velocidade é $v = 3t^3$ m/s, exprime a sua energia cinética como um monómio simplificado em função do tempo $t$.

Uma empresa de tecnologia determina que o custo de fabricar um componente eletrónico é dado pelo monómio $C(x) = 1,5x^3$ euros, onde $x$ é o número de lotes produzidos. Se as receitas obtidas com a venda desses lotes são expressas pelo monómio $I(x) = 4,2x^3$ euros, escreva o monómio que representa o lucro $B(x)$ e calcule esse lucro se forem produzidos $x = 10$ lotes.

Determine o monómio $M(x)$ que falta para que a seguinte igualdade seja verdadeira, justificando os passos seguidos:

$M(x) \cdot (7x^4) = -35x^9$

O grau absoluto do monómio $P(x,y) = -8x^{2m}y^{m+1}$ é $13$. Formule uma equação do primeiro grau, encontre o valor do parâmetro $m$ e escreva a expressão final do monómio.

Uma moldura de fotos tem a forma de uma coroa circular. Se o raio externo é $R = 5x$ e o raio interno é $r = 3x$, expressa a área total da moldura como um monómio em função de $x$. (Deixa o resultado em função do número $\pi$).

[PROBLEMA INVERSO] Encontra dois monómios, aos quais chamaremos $P$ e $Q$, que satisfaçam simultaneamente todas e cada uma das seguintes condições:

1. A parte literal de ambos os monómios é formada exclusivamente pelas variáveis $a$, $b$ e $c$.

2. O monómio $P$ tem grau global $7$. Nele, o expoente de $a$ é o dobro do de $b$, e o expoente de $c$ é igual a $1$.

3. O coeficiente de $P$ é o número inteiro negativo $-3$.

4. O monómio $Q$ é semelhante a $P$, e o seu coeficiente é um número inteiro positivo $k$.

5. O valor numérico do monómio soma $(P + Q)$ quando substituímos $a = 1$, $b = -1$ e $c = 2$ é exatamente igual a $8$.

Mostra passo a passo o raciocínio seguido para deduzir os expoentes e calcula o valor do coeficiente $k$ de $Q$. Justifica ainda se seria possível encontrar um valor inteiro para $k$ se o resultado numérico exigido tivesse sido $7$ em vez de $8$.

[MODELA + ESTIMA E VERIFICA] Numa associação de regantes do vale do Tejo instala-se um sistema automatizado de rega gota a gota para otimizar a água em época de seca. O volume mensal de água consumida $V$ (em metros cúbicos, $\text{m}^3$) é modelado através do monómio:

onde $n$ é o número de setores de rega abertos, $h$ são as horas diárias de funcionamento e $d$ é o diâmetro interior das tubagens principais (medido em decímetros, $\text{dm}$).

1. a) Qual é o grau total do monómio? Explica que significado geométrico real tem o facto de a variável $d$ aparecer elevada ao quadrado na fórmula.
2. b) Estima antes de calcular: Se a associação decidir renovar a instalação e substituir as tubagens de $d = 1\text{ dm}$ por outras de $d = 2\text{ dm}$, mantendo iguais os setores ($n$) e as horas ($h$), um agricultor afirma que «o gasto de água simplesmente duplicará». Faz uma estimativa qualitativa fundamentada: o agricultor tem razão ou o aumento será maior? Justifica-o de acordo com a estrutura do monómio.
3. c) Verifica: Calcula o valor numérico exato de $V$ em ambos os casos para uma propriedade com $n = 5$ setores e $h = 4$ horas diárias. Determina por quanto se multiplica realmente o consumo de água ao duplicar o diâmetro.

Insere-se uma esfera de raio $r = x^2$ dentro de um cilindro de raio da base $R = x^2$ e altura $h = 2x^2$, de modo que a esfera se encaixe perfeitamente. Expresse o volume do espaço vazio que resta entre o cilindro e a esfera como um monómio simplificado em função de $x$ e $\pi$.

Dados os monómios $A = k \cdot x^a y^5$ e $B = 4x^2 y^b$, sabe-se que o seu produto é o monómio $M = -12x^7 y^8$. Determine os valores numéricos dos parâmetros $k$, $a$ e $b$. Assim que forem encontrados, calcule o valor numérico do monómio resultante da divisão $\frac{A}{B}$ para $x = -1$ e $y = 2$.

A força de atração gravítica entre dois corpos é dada por $F = G \frac{m_1 m_2}{d^2}$, onde a constante de gravitação universal é $G = 6,67 \cdot 10^{-11}$. Expressa a força $F$ como um monómio em função de $x$ sabendo que $m_1 = 5 \cdot 10^5 x^3$, $m_2 = 2 \cdot 10^4 x^2$ e a distância que os separa é $d = 10^2 x$. Simplifica o coeficiente utilizando notação científica.

Demonstre algebricamente que, se do quadrado do monómio $3x^n y^m$ for subtraído o produto dos monómios $5x^{n+1} y^{m-1}$ e $x^{n-1} y^{m+1}$, o resultado é sempre um monómio semelhante a $x^{2n} y^{2m}$. Determine qual é exatamente esse monómio resultante.

Encontre um monómio $M(a,b)$ que satisfaça a seguinte equação algébrica, detalhando o processo de resolução:

$\frac{(M(a,b))^3}{2a^4b} = -32a^5b^8$

Pretende-se construir um depósito aberto por cima com a forma de um prisma reto de base quadrada. O lado da base mede $3x^2$ metros e a altura mede $\frac{1}{2}x$ metros. Exprime a área total de chapa necessária para o construir (sem a tampa superior) sob a forma de um polinómio. Em seguida, calcula o valor numérico dessa área se se souber que o volume do depósito é de $144$ metros cúbicos.

O monómio $A = \sqrt{18} x^3 y^4$ é multiplicado pelo monómio $B = \sqrt{2} x^5 y^2$. Expresse o produto $A \cdot B$ como um monómio simplificado extraindo raízes se for possível. A seguir, encontre um monómio $C$ tal que, ao efetuar a divisão $\frac{A \cdot B}{C}$, o resultado seja exatamente $3x^2 y$.

Num estudo de dinâmica de fluidos, o caudal $Q$ que passa por uma tubagem é modelado matematicamente como o produto da secção transversal $S$ e da velocidade do fluido $v$. Se a secção é circular de raio $r = \frac{1}{2}t^2$ e a velocidade aumenta de forma não uniforme segundo $v = \frac{8}{\pi}t^3$, obtém o monómio que define o caudal $Q$ em função do tempo $t$. Qual é o grau absoluto deste monómio resultante?

[MODELA] Uma empresa de encomendas e logística urgente com sede em Braga classifica as suas tarifas através de modelos algébricos baseados no volume e no peso. Para um envio massivo de caixas cúbicas de aresta $a$ (em metros), o custo de gestão interna $C$ (em euros) no tapete de triagem ajusta-se ao monómio:

onde $N$ representa o número total de encomendas processadas, $a$ é o comprimento da aresta de cada caixa cúbica (em metros) e $t$ é o tempo médio de processamento por scanner (em segundos).

1. a) Interpreta o significado físico do fator $a^3$ no contexto do problema e indica o grau total do monómio relativamente ao conjunto das suas variáveis ($N$, $a$, $t$).
2. b) Para reduzir os custos de uma campanha, a equipa de operações propõe duas opções alternativas mantendo o tempo de scanner $t$ constante:

• Opção 1: Reduzir para metade o tamanho das caixas, usando arestas de comprimento $\frac{a}{2}$, transportando o mesmo número $N$ de encomendas.

• Opção 2: Manter o tamanho original das caixas ($a$), mas reduzir o número de encomendas para uma quarta parte ($\frac{N}{4}$).

Demonstra algebricamente, substituindo na fórmula do monómio, qual das duas opções consegue uma maior redução do custo $C$ e determina por que fator se divide o custo em cada caso.

1. c) Um funcionário recém-chegado propõe somar diretamente o custo anterior $C$ com o custo de etiquetagem $E(N, a, t) = 1,2 \cdot N \cdot a^2 \cdot t^3$ para obter um único monómio de custo total. Argumenta matematicamente por que razão essa soma não se pode reduzir a um único monómio e explica que consequência prática isso tem na hora de orçamentar o serviço.