Conceitos de probabilidade

Classifique as seguintes experiências como aleatórias ou determinísticas, justificando brevemente a sua resposta em cada caso:

1. a) Observar se o próximo autocarro que passar na paragem em frente à escola é da linha 5.
2. b) Medir o tempo que um objeto demora a cair ao chão a partir de uma altura de 2 metros em condições de vácuo.
3. c) Prever o vencedor do próximo sorteio da Lotaria de Natal.
4. d) Calcular o custo de 3 kg de maçãs sabendo que o preço é de $1,50 \text{ €/kg}$.

Estamos a jogar com uma roleta dividida em oito setores iguais, numerados de 1 a 8. Escreva o espaço de resultados $E$ desta experiência e descreva os elementos dos seguintes acontecimentos:

1. a) $A =$ "Obter um número maior que 5".
2. b) $B =$ "Obter um número par".
3. c) $C =$ "Obter um múltiplo de 3".

No teu telemóvel tens instaladas 3 apps de redes sociais, 2 de jogos e 1 de música. Ao receber uma notificação, esta pode provir de qualquer uma destas 6 apps com a mesma probabilidade.

1. a) Define o espaço de resultados $E$ desta experiência aleatória.
2. b) Descreve o acontecimento $A$ = "A notificação não é de uma rede social".
3. c) Escreve um acontecimento impossível relacionado com este contexto.

Uma estação meteorológica automática do IPMA num desfiladeiro de montanha regista à meia-noite duas variáveis para resumir o dia:\n- Tipo de precipitação: Neve ($N$), Chuva ($L$) ou Seco/Sem precipitação ($S$).\n- Temperatura média: Abaixo de zero ($B$) ou Zero ou positiva ($C$).\nNum modelo puramente combinatório obter-se-iam $3 \cdot 2 = 6$ resultados possíveis. No entanto, as condições físicas do local introduzem uma restrição real: é fisicamente impossível que neve se a temperatura for zero ou positiva, pelo que o resultado $(N, C)$ nunca pode ocorrer.\n\na) Escreve o espaço de resultados real $E$ da experiência aleatória tendo em conta essa restrição física. Quantos acontecimentos elementares o compõem?\nb) Escreve por extensão os seguintes acontecimentos:\n - $A = \text{“regista-se precipitação (neve ou chuva)”}$.\n - $B = \text{“a temperatura média é abaixo de zero”}$.\nc) Determina os elementos de $A \cap B$, $A \cup B$ e o acontecimento $\overline{A \cup B}$ (contrário da união).\nd) Justifica se os acontecimentos “faz uma temperatura abaixo de zero sem precipitação” e “o dia é de neve” são compatíveis ou incompatíveis mediante a definição matemática de interseção.\ne) Um operador afirma: «Como para nevar é obrigatório fazer temperatura abaixo de zero, o acontecimento “nevar” e o acontecimento “temperatura abaixo de zero” são acontecimentos iguais». Explica com rigor algébrico de conjuntos por que esta afirmação é falsa, usando o conceito de inclusão de acontecimentos.

Num saco de desporto há 4 camisolas vermelhas, 3 azuis e 1 branca. Se retirarmos uma camisola sem olhar, indica qual das seguintes opções descreve melhor a probabilidade de cada acontecimento (usa os termos: muito provável, pouco provável, impossível, certo):

1. a) Retirar uma camisola de cor verde.
2. b) Retirar uma camisola que não seja branca.
3. c) Retirar uma camisola vermelha, azul ou branca.
4. d) Retirar uma camisola azul.

Considera-se a experiência aleatória de escolher ao acaso uma letra da palavra MATEMATICAS. Defina os seguintes conceitos associados a esta experiência:

1. a) O espaço de resultados $E$.
2. b) O acontecimento $V =$ "Escolher uma vogal".
3. c) O acontecimento $C =$ "Escolher uma consoante".
4. d) Verifique se $V$ e $C$ são acontecimentos complementares.

Num globo de lotaria há bolas numeradas de 1 a 20. Se retirarmos uma bola ao acaso, classifique os seguintes acontecimentos em elementares ou compostos:

1. a) $S_1 =$ {obter o número 13}.
2. b) $S_2 =$ {obter um número primo menor do que 10}.
3. c) $S_3 =$ {obter um múltiplo de 7}.
4. d) $S_4 =$ {obter o maior número par do globo}.

Na aula de Matemática, o Marcos analisa a experiência aleatória de lançar um dado cúbico equilibrado com faces numeradas de 1 a 6. Depois de pensar um momento, afirma: «Consideremos os acontecimentos $A = \text{“obter um número menor ou igual a 4”}$ e $B = \text{“obter um número maior ou igual a 3”}$. São acontecimentos contrários porque, ao reuni-los, abrangem todos os resultados possíveis: $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = E$».\n\na) Explica detalhadamente qual é o erro no raciocínio do Marcos. Que duas condições devem cumprir-se em simultâneo para que dois acontecimentos sejam formalmente contrários?\nb) Escreve em extensão (listando os seus elementos) o verdadeiro acontecimento contrário de $A$, designado por $\bar{A}$.\nc) Determina a interseção $A \cap B$ e deduz, a partir dela, se $A$ e $B$ são acontecimentos compatíveis ou incompatíveis.

Um dado tem as suas faces pintadas de cores: 3 faces são vermelhas, 2 são verdes e 1 é amarela. Se lançarmos o dado ao ar:

1. a) Qual é a probabilidade de «obter a cor vermelha»? Expresse o resultado na forma de fração.
2. b) Qual é a probabilidade de «não obter a cor vermelha»?
3. c) Como se chama tecnicamente o acontecimento da alínea b) em relação ao da alínea a)?

De um baralho espanhol de 40 cartas retira-se uma carta ao acaso. Dados os acontecimentos $A =$ "Sair um Rei" e $B =$ "Sair uma carta de Ouros", indica:

1. a) $A$ e $B$ são acontecimentos compatíveis ou incompatíveis? Porquê?
2. b) Qual é o acontecimento interseção $A \cap B$?
3. c) Descreve por palavras o acontecimento união $A \cup B$.

A figura mostra como está organizado o baralho: 4 naipes e 10 cartas por naipe (numeradas de 1 a 7, e as figuras 10 = valete, 11 = cavalo e 12 = rei).

Realiza-se um inquérito aos 30 alunos de uma turma sobre as suas preferências de streaming. Sabe-se que 18 alunos veem Netflix ($N$), 12 veem Disney+ ($D$) e 5 alunos veem ambas as plataformas. Se escolhermos um aluno ao acaso:

1. a) Utiliza um diagrama de Venn para representar a situação.

1. b) Calcula a probabilidade de o aluno ver apenas Netflix.

1. c) Calcula a probabilidade de o aluno não ver nenhuma das duas plataformas (acontecimento contrário da união).

Num jogo de cartas colecionáveis de fantasia, um baralho contém as seguintes cartas: 8 do tipo "Guerreiro", 6 do tipo "Mago", 4 do tipo "Elfo" e 2 do tipo "Dragão". Se retirar uma carta ao acaso, calcule a probabilidade de que:

1. a) Seja um "Mago".
2. b) Seja um "Guerreiro" ou um "Elfo".
3. c) Não seja um "Dragão".

Numa feira de tecnologia, há uma roleta dividida em 12 setores iguais numerados de 1 a 12. O jogo consiste em girar a roleta e observar o número premiado.

1. a) Determine a probabilidade de obter um número primo.
2. b) Determine a probabilidade de obter um número maior que 4 e menor que 9.
3. c) Se ganhamos um prémio se sair um múltiplo de 3 ou um número ímpar, qual é a probabilidade de ganhar?

Numa escola de Lisboa, $60\%$ dos alunos do 9.º ano utilizam a plataforma Twitch, $50\%$ utilizam o TikTok e $20\%$ não utilizam nenhuma das duas. Se escolhermos um aluno ao acaso, calcule a probabilidade dos seguintes acontecimentos:

1. a) Que utilize ambas as plataformas.

1. b) Que utilize o TikTok, mas não o Twitch.

1. c) Os acontecimentos "Usar Twitch" e "Usar TikTok" são incompatíveis? Justifique a sua resposta utilizando os valores das probabilidades.

Num jogo de tabuleiro retira-se à sorte uma ficha numerada de um saco. O espaço de resultados da experiência é $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. Pede-se-te que construas e determines os elementos de dois acontecimentos, $A$ e $B$, que cumpram simultaneamente as seguintes quatro condições:\n1. O acontecimento $A$ deve ser formado por exatamente 5 acontecimentos elementares.\n2. A interseção de ambos os acontecimentos deve ser $A \cap B = \{2, 6\}$.\n3. A reunião de ambos os acontecimentos deve conter todos os elementos do espaço de resultados exceto o 8, ou seja, $A \cup B = E \setminus \{8\}$.\n4. O acontecimento $B$ tem exatamente 4 elementos.\n\na) Escreve os elementos que formam o acontecimento $A$ e o acontecimento $B$, justificando passo a passo como decides a localização de cada número.\nb) Escreve o acontecimento contrário de $B$, $\bar{B}$, e determina se $A$ e $\bar{B}$ são acontecimentos compatíveis ou incompatíveis.

Lançam-se duas moedas ao ar e regista-se o resultado de cada uma (C para Cara, X para Coroa).

1. a) Utiliza um diagrama em árvore para encontrar todos os resultados possíveis.
2. b) Escreve o espaço de resultados da experiência.
3. c) Qual é o acontecimento elementar "obter duas caras"?

Para ir a um festival, a Beatriz tem no seu armário 3 camisolas de capuz (preta, branca e vermelha) e 2 calças (de ganga e de fato de treino). Escolhe ao acaso uma camisola e umas calças, todas as opções com a mesma probabilidade.

1. a) Desenha o diagrama de árvore que represente todas as combinações possíveis de vestuário (camisolas e calças).
2. b) Qual é a probabilidade de a Beatriz escolher a camisola vermelha?
3. c) Qual é a probabilidade de ela não escolher as calças de fato de treino?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Consideremos a experiência aleatória de lançar dois dados cúbicos e somar as suas pontuações. Sejam os acontecimentos:

• $A$ = "A soma é um número par".

• $B$ = "A soma é um múltiplo de 5".

1. a) Calcule $P(A)$ e $P(B)$.
2. b) Os acontecimentos $A$ e $B$ são compatíveis ou incompatíveis? Justifique a sua resposta determinando os elementos de $A \cap B$.
3. c) Calcule a probabilidade da união $P(A \cup B)$.

Para preparar as atividades da semana da matemática da escola, propõe-se analisar o espaço de resultados de duas experiências diferentes:\n- Experiência 1: Lançar simultaneamente dois dados cúbicos de 6 faces e calcular a diferença positiva entre a maior e a menor pontuação (se forem iguais, a diferença é 0).\n- Experiência 2: Responder ao acaso a um questionário rápido de 4 perguntas em que cada uma admite apenas duas respostas possíveis: Verdadeiro ($V$) ou Falso ($F$).\n\na) Compara as duas ferramentas habituais para descrever experiências compostas: a tabela de dupla entrada e o diagrama de árvore. Justifica qual das duas é mais adequada para a Experiência 1 e qual para a Experiência 2, explicando porque é que uma tabela de dupla entrada não é prática para a Experiência 2.\nb) Aplica a regra do produto ($m \cdot n \dots$) para calcular quantos resultados possíveis compõem o espaço de resultados de cada uma das duas experiências.\nc) Utilizando o método que consideraste ideal para a Experiência 1, representa todos os resultados possíveis e descreve por extensão o acontecimento $D = \text{“a diferença entre as faces é maior ou igual a 4”}$.

Uma empresa de autocarros metropolitanos em Portugal classifica cada veículo que chega à estação segundo duas variáveis independentes de observação: a tecnologia do motor, que pode ser Elétrico ($E$) ou Híbrido ($H$), e a pontualidade do serviço, que pode ser Pontual ($P$), com Atraso ligeiro ($R$) ou Cancelado ($C$). Observa-se a chegada do próximo serviço.\n\na) Justifica por que a observação do próximo serviço constitui uma experiência aleatória e não determinista.\nb) Escreve de forma explícita o espaço de resultados $\Omega$ como um conjunto de pares ordenados. Quantos acontecimentos elementares tem?\nc) Define por extensão (escrevendo entre chavetas todos os seus elementos) os acontecimentos:\n - $A = \text{“o autocarro é híbrido”}$.\n - $B = \text{“o autocarro sofre alguma incidência (atraso ligeiro ou cancelamento)”}$.\nd) Determina os conjuntos de resultados que formam os acontecimentos $A \cap B$, $A \cup B$ e o acontecimento contrário $\bar{B}$. Explica o que significa na prática o acontecimento $\bar{B}$ para uma pessoa que espera na paragem.

Numa convenção de videojogos, 200 participantes foram classificados segundo a sua idade e a sua consola preferida, obtendo-se a seguinte tabela de contingência:

Se selecionarmos um participante ao acaso, determine a probabilidade de que:

1. a) Prefira Nintendo.
2. b) Tenha mais de 14 anos.
3. c) Tenha menos de 14 anos e prefira PlayStation.
4. d) Sabendo que prefere Nintendo, tenha menos de 14 anos.

Um grupo de amigos cria uma palavra-passe para o seu servidor de jogos eletrónicos. A palavra-passe deve ter 3 carateres distintos escolhidos entre as letras $\{A, B, C\}$ e os números $\{1, 2, 3\}$.

1. a) Descreva o espaço de resultados $\Omega$ se o primeiro carater deve ser obrigatoriamente uma letra e o último um número.

1. b) Se uma palavra-passe for escolhida ao acaso entre todas as possíveis (sem as restrições da alínea anterior, mas mantendo que os 3 carateres sejam distintos), qual é a probabilidade de a palavra-passe ser formada apenas por números?

Num campeonato de e-sports, são analisados os periféricos usados por 120 participantes. Sabe-se que 75 usam teclado mecânico e os restantes de membrana. Dos que usam teclado mecânico, 45 usam também rato sem fios. No total, há 65 participantes que usam rato sem fios.

1. a) Organize esses dados numa tabela de contingência.

1. b) Se escolhermos um participante ao acaso, qual é a probabilidade de ele usar teclado de membrana e rato com fios?

1. c) Sabendo que um participante usa rato sem fios, qual é a probabilidade de o seu teclado ser de membrana?

Dois streamers populares, Inês e Gonçalo, farão uma colaboração. Têm uma urna com 4 cartões de desafios físicos e 6 cartões de desafios mentais. Decidem retirar dois cartões sucessivamente e sem reposição.

1. a) Desenhe o diagrama de árvore que represente todas as possibilidades e atribua a probabilidade a cada ramo.

1. b) Calcule a probabilidade de o segundo desafio retirado ser mental, sabendo que o primeiro foi físico.

1. c) Qual é a probabilidade de realizarem um desafio de cada tipo?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um jogo de tabuleiro consiste em lançar uma moeda equilibrada (cara e coroa são igualmente prováveis) e, segundo o resultado, fazer o seguinte:

• Se sair cara, lança-se um dado equilibrado de 4 faces (numeradas de 1 a 4).

• Se sair coroa, extrai-se uma bola de uma urna que contém 2 bolas vermelhas e 3 bolas verdes.

1. a) Representa a experiência por meio de um diagrama de árvore, indicando a probabilidade de cada ramo.

1. b) Calcula a probabilidade de obter um número par no dado se a moeda saiu cara.

1. c) Qual é a probabilidade total de que o resultado final da experiência seja uma bola vermelha?

Um criador de conteúdos lançou 500 vezes um dado de 8 faces (octaedro) para verificar se está viciado. Os resultados obtidos para a face com o número "8" são mostrados na seguinte tabela:

1. a) Calcula as frequências relativas para cada etapa da experiência.

1. b) Para que valor parece estabilizar a probabilidade de obter um "8"?

1. c) Se o dado fosse perfeito (regular), qual deveria ser a sua probabilidade teórica segundo a lei de Laplace?

Um drone de entrega deve aterrar num terreno quadrado de $10$ metros de lado. Dentro do terreno há uma zona circular de segurança (onde não deve aterrar) com raio de $2$ metros, e uma zona de aterragem ideal que é um pequeno quadrado central de $1$ metro de lado.

Supondo que o drone aterra em qualquer ponto do terreno com a mesma probabilidade:

1. a) Qual é a probabilidade de o drone aterrar na zona de aterragem ideal?

1. b) Qual é a probabilidade de aterrar fora da zona circular de segurança? (Utiliza $\pi \approx 3,14$).

Lançamos um dado de seis faces que suspeitamos estar viciado. Após lançá-lo 500 vezes, obtivemos as seguintes frequências: o número 6 saiu 125 vezes, o número 1 saiu 35 vezes, e os números 2, 3, 4 e 5 saíram com a mesma frequência entre si.

1. a) Calcula a frequência relativa do acontecimento "Obter um 6".

1. b) De acordo com a Lei dos Grandes Números, que probabilidade atribuirias ao acontecimento "Obter um número menor do que 6"?

1. c) Se o dado não estivesse viciado, qual seria a probabilidade teórica de obter um 6? Compara ambos os resultados.

Numa final de um torneio de ténis entre o Carlos e o Rafa, ganha o primeiro que conseguir vencer 3 sets. O torneio é interrompido pela chuva quando o Carlos está a ganhar por 2 sets a 1. Sabendo que ambos têm a mesma probabilidade de ganhar cada set restante:

1. a) Utiliza um diagrama de árvore para calcular a probabilidade que cada um tem de ganhar o torneio se se tivesse continuado a jogar.

1. b) Se o prémio total é de $12\,000$ €, como deveria ser repartido de forma justa segundo as probabilidades de vitória de cada um no momento da interrupção?

Três estudantes do 3.º ano do ESO (Álex, Bea e Carlos) organizam um campeonato de xadrez nos intervalos de quarta, quinta e sexta-feira. Para decidir quem arbitra em cada dia, colocam três papéis com os seus nomes numa urna e retiram um ao acaso todas as manhãs, devolvendo-o à urna para que, no dia seguinte, todos voltem a ter a mesma hipótese.\n\na) Estima: Antes de calcular ou enumerar casos, compara intuitivamente estes dois acontecimentos:\n - Acontecimento $M = \text{“nos três dias arbitra a mesma pessoa”}$.\n - Acontecimento $D = \text{“nos três dias arbitram pessoas distintas”}$.\n Raciocina, sem fazer cálculos numéricos ainda, qual dos dois acontecimentos achas que terá mais resultados favoráveis no espaço amostral e porquê.\nb) Modela o experimento através de um diagrama de árvore ou da regra do produto para determinar o número total de acontecimentos elementares do espaço amostral $E$.\nc) Enumera exaustivamente todos os acontecimentos elementares que formam o acontecimento $M$ e todos os que formam o acontecimento $D$.\nd) Verifica: Conta os casos favoráveis de $M$ e de $D$. Avalia se o resultado coincide com a tua estimação inicial e explica matematicamente por que o número de formas de ordenar três pessoas distintas ($3 \cdot 2 \cdot 1$) é muito superior ao de repetir uma mesma pessoa ($3 \cdot 1 \cdot 1$).