Função de proporcionalidade inversa

Considere a função $y = \frac{12}{x}$.

1. a) Quanto vale a constante de proporcionalidade inversa $k$?

1. b) Copie e complete no caderno a tabela para $x = 1$, $2$, $3$, $4$, $6$ e $12$.

1. c) O que acontece com os valores de $y$ à medida que $x$ aumenta?

Das seguintes relações, indique quais são de proporcionalidade inversa e, nesse caso, escreva a sua equação na forma $y = \frac{k}{x}$:

1. a) $y = \frac{3}{x}$

1. b) $y = \frac{x}{3}$

1. c) $x \cdot y = 10$

1. d) $y = -5x$

1. e) $y = \frac{1}{2x}$

Sem as representar, indique em que quadrantes se encontram os ramos de cada uma destas hipérboles e justifique porquê:

1. a) $y = \frac{7}{x}$

1. b) $y = \frac{-4}{x}$

1. c) $y = \frac{1}{5x}$

De que dependem os quadrantes que uma hipérbole $y = \frac{k}{x}$ ocupa?

Na figura aparecem as hipérboles $y = \frac{3}{x}$ e $y = \frac{12}{x}$ para valores positivos de $x$, como se mostra a seguir.

1. a) Associe cada curva à sua equação.

1. b) Que efeito tem o valor de $k$ na posição da hipérbole em relação à origem?

1. c) Onde desenharia $y = \frac{6}{x}$? Justifique.

Considere a função $y = \frac{8}{x}$.

1. a) O seu gráfico interseta o eixo $X$? E o eixo $Y$? Justifique as suas respostas usando a equação.

1. b) Que valores $y$ assume quando $x$ se aproxima de $0$ pela direita ($x = 1$, $0,1$, $0,01$…)? E quando $x$ se torna muito grande?

1. c) Explique com as suas palavras o que significa os eixos de coordenadas serem assíntotas da hipérbole.

Um grupo de ciclistas deve percorrer $240\ \text{km}$ entre duas etapas. A velocidade média $v$ com que pedalarem determinará o tempo $t$ que demorarão.

1. a) Escreve a função que dá o tempo $t$ em função da velocidade $v$.

1. b) Completa no caderno a tabela para $v = 10$, $15$, $20$, $30$ e $40\ \text{km/h}$.

1. c) É uma função de proporcionalidade inversa? Quanto vale $k$?

O gráfico da figura representa uma função de proporcionalidade inversa, como se mostra a seguir.

1. a) Quanto vale $y$ quando $x = 2$? E quando $x = 6$?

1. b) Usando os valores anteriores, calcule a constante $k$ e escreva a equação da função.

1. c) Quanto vale $y$ quando $x = 12$?

Alguns pintores têm de pintar uma vedação. Um único pintor levaria $12$ dias a trabalhar ao mesmo ritmo.

1. a) Escreva a função que relaciona o número de pintores $x$ com os dias $y$ que levam.

1. b) Quanto tempo levam $4$ pintores? E $6$?

1. c) Faz sentido dar valores decimais a $x$ neste contexto? E valores negativos? Explique que valores $x$ pode assumir.

Numa experiência de física, um êmbolo comprime um gás a temperatura constante e verifica-se que a pressão $p$ e o volume $V$ verificam $p \cdot V = 6$, com o volume em litros e a pressão em atmosferas, como mostra a figura.

1. a) Escreva a função que dá a pressão em função do volume.

1. b) Que pressão o gás exerce quando ocupa $1,5\ \text{L}$?

1. c) Que volume ocupa quando a pressão é de $0,5\ \text{atm}$?

1. d) O que acontece à pressão se o volume se tornar muito pequeno? Poderá chegar a ser $V = 0$?

Uma função de proporcionalidade inversa passa pelo ponto $P(4, 6)$.

1. a) Calcule a sua constante $k$ e escreva a sua equação.

1. b) Complete uma tabela de valores com $x = 1$, $2$, $3$, $6$, $8$ e $12$.

1. c) Represente a hipérbole no caderno para valores positivos de $x$.

1. d) Também passa pelo ponto $(-3, -8)$? Verifique com a equação.

Num concurso de bolos de uma região, o prémio de $600\ \text{€}$ é dividido em partes iguais por todos os vencedores, como mostrado na figura.

1. a) Escreve a função que dá o prémio por pessoa $y$ em função do número de vencedores $x$.

1. b) Quanto recebe cada um se houver $3$ vencedores? E se houver $8$?

1. c) O gráfico desta função não é uma hipérbole completa, mas apenas alguns pontos dela. Explica porquê.

Uma bateria externa de $20\,000\ \text{mAh}$ descarrega-se segundo o consumo do dispositivo que alimenta. A duração $t$ em horas depende do consumo médio $c$ em $\text{mA}$: quanto maior o consumo, menos dura.

1. a) Sabendo que $t = \frac{20\,000}{c}$, calcule quantas horas dura com um consumo de $800\ \text{mA}$.

1. b) Qual é o consumo se a bateria durou $40$ horas?

1. c) Se o consumo dobrar, o que acontece com a duração? Justifique com a equação.

Indique se cada afirmação é verdadeira ou falsa e justifique a sua resposta com um exemplo ou um contraexemplo:

1. a) "Toda função decrescente é de proporcionalidade inversa."

1. b) "Na função $y = \frac{k}{x}$, se o valor de $x$ dobrar, o valor de $y$ reduz-se a metade."

1. c) "A hipérbole $y = \frac{10}{x}$ interseta a reta $y = 10$ num único ponto."

1. d) "As funções $y = \frac{2}{x}$ e $y = \frac{-2}{x}$ são simétricas em relação ao eixo $X$."

Tarefa de decisão. A associação de pais de uma escola aluga um autocarro de $54$ lugares para uma excursão ao museu de ciências. O autocarro custa $378\ \text{€}$ e o seu preço é dividido em partes iguais entre os alunos que se inscreverem, como mostrado na figura.

1. a) Escreva a função que dá o preço por aluno $y$ em função do número de participantes $x$. Que valores $x$ pode assumir?

1. b) Quantos alunos devem inscrever-se para que o preço por pessoa não ultrapasse $14\ \text{€}$?

1. c) No primeiro dia, inscrevem-se $21$ alunos. Quanto pagaria cada um? Se depois se inscreverem mais $6$, quanto seria devolvido a cada um?

1. d) Porque é que o gráfico desta função se aproxima cada vez mais do eixo $X$ sem lhe tocar? O que significa isso neste contexto?

Para levantar um balde de água com uma alavanca, aplica-se a lei da alavanca: $F \cdot d = 600$, onde $F$ é a força em newtons e $d$ a distância do ponto de apoio à extremidade onde se empurra, em centímetros.

1. a) Escreva a função que dá a força em função da distância.

1. b) Que força é necessário aplicar empurrando a $50\ \text{cm}$? E a $150\ \text{cm}$?

1. c) Uma criança pode aplicar no máximo $80\ \text{N}$. A que distância mínima do ponto de apoio deve empurrar?

1. d) Interprete a assíntota vertical do gráfico: o que aconteceria ao empurrar muito perto do ponto de apoio?

Investigue se a reta $y = x + 1$ interseta a hipérbole $y = \frac{6}{x}$:

1. a) Formule a equação $\frac{6}{x} = x + 1$ e transforme-a numa equação do segundo grau.

1. b) Resolva-a e escreva as coordenadas dos pontos de interseção.

1. c) Verifique graficamente o resultado, representando ambas as funções no caderno.

1. d) A reta $y = x + 8$ intersetaria a mesma hipérbole? Justifique sem resolver a equação.