Aproximação e erros

No ecrã da sua calculadora aparece o número irracional $\sqrt{10} = 3,16227766...$

Copie a seguinte tabela para o seu caderno e complete-a realizando as aproximações indicadas para esse número:

Estás a ajudar a organizar uma corrida solidária na tua escola. Ao calcular a distância exata de um troço do percurso com o GPS, obténs 2,3458 km.

Para fazer os cartazes informativos, precisas de simplificar este valor. Escreve como ficaria esta distância se aproximarmos por arredondamento:

1. a) Às unidades (km).

1. b) Às décimas.

1. c) Às centésimas.

Para a alínea c), ajuda-te da seguinte reta numérica, que mostra o troço entre 2,34 e 2,35 e onde cai o número:

Foste ao supermercado comprar ingredientes para um jantar. Os preços reais dos produtos são:

• Massa: 1,85 €

• Molho de tomate: 2,15 €

• Queijo ralado: 3,48 €

• Refrigerante: 1,25 €

1. a) Faz uma estimativa rápida do custo total, arredondando cada preço às unidades antes de somar.
2. b) Calcula a soma exata dos preços.
3. c) Calcula a diferença (erro absoluto) entre a tua estimativa e o preço real. Achas que foi uma boa estimativa para saber se tinhas 10 € no bolso?

Numa oficina de caixilharia metálica dispõem de barras de alumínio de $300\text{ cm}$ de comprimento e precisam de cortar peças individuais de $14,6\text{ cm}$. Para descobrir quantas peças completas se obtêm de cada barra, dois operários dividem $300 : 14,6 = 20,5479...$:

• A Inês diz: «Devemos arredondar às unidades; como o algarismo das décimas é um 5, obtemos 21 peças».

• O Duarte diz: «Devemos truncar às unidades; portanto, obtemos 20 peças».

1. a) Qual dos dois métodos é o adequado para resolver este problema real? Explica que consequência prática teria aplicar o método incorreto.
2. b) Com o método correto, calcula quantos centímetros de alumínio sobram exatamente de uma barra após obter todas as peças possíveis.
3. c) Apresenta uma situação quotidiana diferente desta em que o truncamento seja mais conveniente ou realista do que o arredondamento matemático, e justifica o porquê.

Um streamer famoso publicou um vídeo que tem exatamente 3 894 215 visualizações.

1. a) Escreva essa quantidade arredondada aos milhões.
2. b) Escreva a quantidade arredondada às centenas de milhar.
3. c) Quantos algarismos significativos utilizou na alínea b)?

O Marcos afirma na aula de Matemática que as quantidades $0,0350\text{ m}$ e $350\text{ m}$ têm exatamente a mesma quantidade de algarismos significativos porque «os zeros não acrescentam valor e ambos os números se reduzem a 35». Além disso, garante que em $0,0350\text{ m}$ o instrumento mediu com precisão de unidades porque não conta decimais.

1. a) Explica fundamentadamente os dois erros concetuais que o Marcos comete sobre a função dos zeros.
2. b) Indica o número correto de algarismos significativos de cada uma das duas medidas, justificando o papel de cada zero.
3. c) Se a medida $0,0350\text{ m}$ foi obtida com um instrumento cujo último algarismo indica a sensibilidade da leitura, qual é o limite de erro absoluto (a meia unidade do último algarismo) cometido ao medir?

No âmbito científico e tecnológico, é crucial saber com que precisão estamos a trabalhar. Arredonde os seguintes números para três algarismos significativos:

1. a) A quantidade de visualizações de um vídeo viral: $14\,592\,301$.
2. b) A massa de uma partícula de pó: $0,00040961$ gramas.
3. c) O número $\pi$: $3,141592...$
4. d) A capacidade de um disco rígido em bytes: $1\,024\,576\,000$.

Depois, expresse cada resultado utilizando a notação científica.

Uma família prepara uma viagem de carro de Madrid a Córdoba pela autoestrada A-4. A distância indicada pelo navegador é de $396,4\text{ km}$, o consumo médio do veículo é de $6,8\text{ litros}$ a cada $100\text{ km}$ e o preço da gasolina nesse momento é de $1,59\text{ €/litro}$.

1. a) Antes de operares com decimais, arredonda cada um dos três dados numéricos a um único algarismo significativo e faz uma estimativa mental do gasto total de combustível da viagem.
2. b) Utiliza a calculadora com os dados originais para calcular o custo real exato do trajeto (apresenta o resultado arredondado aos cêntimos de euro).
3. c) Calcula o erro absoluto e o erro relativo percentual da tua estimativa em relação ao valor real. A partir do resultado, avalia se a estimativa prévia foi razoável para planear o orçamento da viagem.

Ao medir o comprimento da sua mesa de estudos, o valor real de fábrica é de 120 cm. Ao utilizar uma fita métrica, obtém-se uma medida de 119 cm.

1. a) Calcule o erro absoluto ($E_a$) cometido na sua medição. Lembre-se de que o erro absoluto é a diferença em valor positivo entre o valor real e o aproximado: $E_a = |V_{real} - V_{aprox}|$.
2. b) Se o teu colega mede o corredor da escola, que mede realmente 5000 cm, e obtém 4999 cm, o erro absoluto dele é de 1 cm, igual ao teu. Isto significa que ambas as medições têm a mesma precisão? Justifica a tua resposta (podes apoiar-te no conceito de erro relativo).

Vê a seguinte imagem que representa o velocímetro digital de uma bicicleta elétrica:

O velocímetro mostra apenas números inteiros (sem casas decimais) e marca 24 km/h por arredondamento às unidades.

Isso significa que a velocidade real não é exatamente 24 km/h, mas está compreendida num intervalo. Entre quais dois valores (limite inferior e limite superior) se encontra a velocidade real da bicicleta?

Vamos analisar o erro que cometemos ao usar dízimas em vez de frações. Considere a fração $\frac{7}{3}$.

1. a) Escreva a sua representação decimal e arredonde-a às centésimas.
2. b) Calcule o erro absoluto ($E_a$) cometido com essa aproximação.
3. c) Calcule o erro relativo ($E_r$) e expresse-o em forma de percentagem.

Nota: Lembre-se de que, para o cálculo do erro, se deve usar o valor exato (a fração) como referência.

As balanças de casa de banho digitais costumam ter uma precisão de $100$ gramas ($0,1$ kg). Isto significa que, se a balança marca $54,2$ kg, o peso real poderá estar um pouco acima ou um pouco abaixo, mas arredondado a essa casa decimal.

1. a) Escreva o intervalo de valores reais possíveis para um peso medido de $54,2$ kg.
2. b) Qual é o majorante do erro absoluto desta balança?

Temos um reservatório de água com formato de paralelepípedo retângulo (caixa retangular). Medimos as suas dimensões com uma fita métrica que marca apenas decímetros, de modo que as nossas medições têm um limite de erro absoluto de $0,5 \text{ dm}$ (ou seja, o valor real poderia ser 0,5 dm maior ou menor).

As medidas obtidas são:

• Comprimento: $20 \text{ dm}$

• Largura: $10 \text{ dm}$

• Altura: $15 \text{ dm}$

Calcule o volume do reservatório ($V = \text{largo} \times \text{ancho} \times \text{alto}$) e determine entre quais dois valores (intervalo) se encontra o volume real do reservatório, considerando os limites de erro de cada medida.

Calcula passo a passo a cota de erro absoluto e a cota de erro relativo na seguinte operação combinada, tendo em conta a ordem das operações.

Dados os números $A = 2,86$ e $B = 4,13$, aproximações de uns valores reais desconhecidos, mas sabendo que ambos foram arredondados às centésimas.

1. a) Calcula o valor de $C = \frac{A + B}{2}$.

1. b) Raciocina: qual é a cota de erro absoluto do resultado $C$? (Pista: pensa no valor máximo e mínimo que $A$ e $B$ poderiam ter antes de serem arredondados).

1. c) Calcula a cota de erro relativo de $C$, dividindo a cota de erro absoluto pelo valor de $C$.