Funções lineares e afins

Para cada uma das funções a seguir, indique o valor do declive e da ordenada na origem, e assinale se o seu gráfico é crescente ou decrescente:

1. a) $y = 4x - 3$

1. b) $y = -2x + 7$

1. c) $y = \frac{1}{3}x$

1. d) $y = 5 - x$

Das equações seguintes, indique quais correspondem a uma função linear, quais a uma função afim e quais não são nem lineares nem afins. Justifique a sua resposta.

1. a) $y = -3x$

1. b) $y = x^2 + 1$

1. c) $y = \frac{x}{2} - 4$

1. d) $y = \frac{2}{x}$

1. e) $y = 7$

Uma frutaria vende laranjas a $1,80\ \text{€}$ o quilograma.

1. a) Complete no seu caderno uma tabela com o preço de $1$, $2$, $3$, $4$ e $5$ kg de laranjas.

1. b) Escreva a equação da função que relaciona o peso $x$ em quilogramas com o preço $y$ em euros.

1. c) É uma função de proporcionalidade direta? Quanto vale o seu declive e o que significa?

Durante uma onda de calor, a estação meteorológica de uma cidade registou uma temperatura constante de $24\ \text{°C}$ durante toda a madrugada.

1. a) Escreva a equação da função que dá a temperatura $y$ em função da hora $x$ durante esse período.

1. b) Quanto vale o seu declive? Como é o seu gráfico?

1. c) É uma função linear, afim ou nenhuma das duas? Justifique a sua resposta.

Calcule o declive da reta que passa por cada par de pontos:

1. a) $A(2, 5)$ e $B(6, 13)$

1. b) $P(-1, 4)$ e $Q(3, -8)$

1. c) $M(0, -2)$ e $N(5, -2)$

A reta da figura representa uma função linear, como se mostra a seguir.

1. a) Procura dois pontos de coordenadas inteiras por onde a reta passe.

1. b) Calcule o seu declive a partir desses pontos.

1. c) Escreva a equação da função.

Determine a equação da reta que passa pelos pontos $A(1, 2)$ e $B(3, 8)$ seguindo estes passos:

1. a) Calcule o declive $m$.

1. b) Substitua as coordenadas de um dos pontos em $y = mx + n$ para determinar $n$.

1. c) Escreva a equação final e verifique se o outro ponto também a verifica.

Um aluno resolveu assim o exercício «determine o declive da reta que passa por $A(2, 5)$ e $B(6, 13)$ e diga se ela é crescente»:

«O declive é $m = \frac{6 - 2}{13 - 5} = \frac{4}{8} = 0,5$. Como $0,5 < 1$, a reta tem pouca inclinação, portanto é quase horizontal e decrescente.»

1. a) Identifique os dois erros que ele cometeu.

1. b) Calcule o declive correto e classifique a reta.

1. c) Explique com as suas palavras qual é a relação entre o sinal do declive e o crescimento da função.

Verifique, substituindo as coordenadas na equação, se os pontos $A(3, 4)$ e $B(-2, 11)$ pertencem à reta $y = -3x + 5$.

Copie e complete no seu caderno a tabela de valores da função $y = -2x + 6$ para $x = -1$, $0$, $1$, $2$ e $3$, e represente a reta em eixos cartesianos. Em que ponto ela interseta o eixo $X$?

O gráfico mostra uma função afim, como representado na figura.

1. a) Qual é a sua ordenada na origem?

1. b) Quanto aumenta $y$ quando $x$ aumenta uma unidade? Quanto vale o declive?

1. c) Escreva a sua equação.

O gráfico representa o saldo do mealheiro digital do Tomás durante as últimas semanas, como mostra a figura.

Qual destas três fórmulas corresponde ao gráfico? Justifique a sua escolha descartando as outras duas.

• $y = 5x + 10$

• $y = -5x + 40$

• $y = 10x - 5$

Determina o valor de $k$ em cada caso:

1. a) Para que a reta $y = kx + 3$ passe pelo ponto $(2, 11)$.

1. b) Para que a reta $y = 5x + k$ passe pelo ponto $(-1, 2)$.

1. c) Para que a reta $y = kx - 4$ tenha o mesmo declive que a reta que passa por $(0, 1)$ e $(4, 9)$.

1. a) Determine a equação da reta que passa pelos pontos $A(-1, 7)$ e $B(2, -5)$.

1. b) Verifique se o ponto $C(5, -17)$ está alinhado com $A$ e $B$.

1. c) E o ponto $D(0, 5)$? Justifique a sua resposta sem representar.

A tabela mostra o custo de imprimir fotografias numa gráfica em função do número de cópias:

1. a) Verifique que o custo cresce sempre na mesma quantidade a cada $10$ cópias.

1. b) Qual é o declive da função? E a ordenada na origem?

1. c) Escreva a equação que relaciona $x$ e $y$.

1. d) O que representa a ordenada na origem neste contexto?

Num laboratório de física, penduram-se massas numa mola e mede-se o seu comprimento:

1. a) Verifique se o comprimento cresce de forma constante a cada $50\ \text{g}$ e escreva a função que dá o comprimento $y$ em função da massa $x$.

1. b) Qual o comprimento da mola com uma massa de $320\ \text{g}$?

1. c) Que massa é preciso pendurar para que a mola meça $30,5\ \text{cm}$?

1. d) Qual é o significado físico da ordenada na origem?

Um ginásio cobra uma taxa de inscrição de $20\ \text{€}$ e $15\ \text{€}$ por mês.

1. a) Escreva a equação que dá o custo total $y$ em euros em função do número de meses $x$.

1. b) Qual é a ordenada na origem e o que representa neste contexto?

1. c) E o declive? O que significa?

Um ciclista desloca-se a uma velocidade constante de $24\ \text{km/h}$. Chamamos $x$ ao tempo em horas e $y$ à distância percorrida em quilómetros.

1. a) Complete no seu caderno a tabela de valores para $x = 0$, $0,5$, $1$, $1,5$ e $2$.

1. b) Escreva a equação da função.

1. c) Se o ciclista parte da sua casa, que está a $6\ \text{km}$ do ponto onde começa a contar o percurso, qual seria agora a equação da distância até à sua casa? Que tipo de função é essa?

Um táxi cobra $3,50\ \text{€}$ pela bandeirada e $1,20\ \text{€}$ por cada quilómetro percorrido.

1. a) Escreva a função que dá o preço $y$ de um trajeto de $x$ quilómetros.

1. b) Quanto custará um trajeto de $12\ \text{km}$?

1. c) Se um trajeto custou $16,70\ \text{€}$, quantos quilómetros foram percorridos?

O gráfico mostra o preço para estacionar num parque de estacionamento em função do tempo, como mostrado na figura.

1. a) Quanto custa estacionar $4$ horas?

1. b) Qual é o preço fixo de entrada e quanto custa cada hora?

1. c) Escreva a equação da função para $x \ge 0$.

Determine o ponto de interseção das retas $y = 2x + 1$ e $y = -x + 7$:

1. a) Escreva a equação resultante da igualdade das duas expressões e resolva-a.

1. b) Calcule a ordenada do ponto de intersecção.

1. c) Verifique o resultado, substituindo em ambas as equações.

Para converter graus Celsius em graus Fahrenheit, usa-se a função $F = 1,8C + 32$.

1. a) Quantos graus Fahrenheit são $25\ \text{°C}$?

1. b) O que significa o coeficiente $1,8$? E o termo $32$?

1. c) A previsão anuncia $86\ \text{°F}$ numa cidade dos Estados Unidos. Quantos graus Celsius são?

O reservatório de água de uma associação de regantes contém $1\,200\ \text{m}^3$ e vai sendo consumido à razão de $75\ \text{m}^3$ por dia, como mostra a figura.

1. a) Escreve a função que dá o volume de água $y$ em função do dia $x$.

1. b) Qual é o declive? Porque é que é negativo?

1. c) Que volume restará após $9$ dias?

1. d) Em que dia é que o reservatório se vai esgotar se não chover?

Dois caminhantes saem ao mesmo tempo de dois abrigos de montanha separados por $18\ \text{km}$ e caminham um ao encontro do outro pelo mesmo trilho. O primeiro avança a $5\ \text{km/h}$ e o segundo a $4\ \text{km/h}$, como mostra a figura.

1. a) Escreva a equação que dá a distância ao primeiro abrigo de cada caminhante em função do tempo $x$ em horas.

1. b) Represente ambas as retas no seu caderno.

1. c) Ao fim de quanto tempo se cruzam? A que distância do primeiro abrigo?

Indique se cada afirmação é verdadeira ou falsa e justifique a sua resposta com um exemplo:

1. a) «Toda função linear é também uma função afim.»

1. b) «Se uma reta tem declive negativo, então passa pela origem.»

1. c) «As retas $y = 3x + 2$ e $y = 3x - 5$ são paralelas.»

1. d) «A função $y = 4$ não tem declive.»

Na corrida solidária da escola, a Nora dá uma vantagem ao irmão mais novo: ele sai $40\ \text{m}$ à frente e corre a $3\ \text{m/s}$, enquanto a Nora corre a $4,5\ \text{m/s}$, como se mostra na figura.

1. a) Escreve a função distância à partida em função do tempo para cada corredor.

1. b) Ao fim de quantos segundos a Nora alcança o irmão?

1. c) A que distância da partida acontece isso?

1. d) Se a corrida termina aos $150\ \text{m}$, a Nora ganha ou o irmão chega primeiro à meta? Justifica com cálculos.

Uma companhia telefónica oferece duas tarifas, como se mostra na figura (eixo horizontal: minutos de chamadas por mês; eixo vertical: custo mensal em euros):

• Tarifa A: mensalidade fixa de $12\ \text{€}$ por mês e $0,04\ \text{€}$ por minuto de chamadas.

• Tarifa B: sem mensalidade fixa, a $0,08\ \text{€}$ por minuto.

1. a) Escreve a função do custo mensal em função dos minutos consumidos para cada tarifa.

1. b) A partir de quantos minutos por mês a tarifa A fica mais barata?

1. c) A Marta fala em média $250$ minutos por mês. Que tarifa lhe convém e quanto poupa por ano?

A função $F = 1,8C + 32$ converte graus Celsius em graus Fahrenheit.

1. a) Existe uma única temperatura na qual os termómetros Celsius e Fahrenheit marcam o mesmo valor numérico. Formule a equação $C = F$ e calcule-a.

1. b) O resultado tem sentido físico? Explique o que acontece com essa temperatura.

1. c) Represente a função no seu caderno e interprete o ponto de interseção do gráfico com a reta $F = C$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Uma loja online de t-shirts personalizadas cobra $18\ \text{€}$ pelo design do logótipo e $7,50\ \text{€}$ por cada t-shirt. Outra loja não cobra pelo design, mas cada t-shirt custa $10,20\ \text{€}$.

1. a) Escreva a função do custo total em função do número de t-shirts para cada loja.

1. b) A equipa de basquetebol do bairro precisa de $14$ t-shirts. Qual loja fica mais barata e por qual diferença?

1. c) Para qual número de t-shirts as duas lojas custam o mesmo? O que acontece para pedidos maiores?

Tarefa de decisão. Três amigos querem poupar para a viagem de fim de ano, que custa $420\ \text{€}$ por pessoa. Já têm algum dinheiro poupado e, em cada semana, acrescentam uma quantia fixa, como se mostra na figura:

• Leonor: tem $120\ \text{€}$ e poupa $15\ \text{€}$ por semana.

• Tomás: tem $40\ \text{€}$ e poupa $25\ \text{€}$ por semana.

1. a) Escreva a função que dá o dinheiro poupado em função do número de semanas para cada um.

1. b) Quem demora menos semanas a chegar aos $420\ \text{€}$?

1. c) Em que semana é que o Tomás alcança a Leonor em dinheiro poupado?

1. d) Se a viagem for daqui a $16$ semanas, ambos chegarão a tempo? Quanto dinheiro terá cada um?

A norma de acessibilidade limita o declive das rampas: uma rampa acessível não deve ultrapassar $10\ \,\%$ de desnível. A inclinação, expressa em percentagem, é o quociente entre a altura que se sobe e a distância horizontal percorrida, multiplicado por $100$, como se mostra na figura.

1. a) Uma rampa vence um desnível de $0,54\ \text{m}$ num percurso horizontal de $6\ \text{m}$. Calcule a sua inclinação em percentagem. Cumpre as normas?

1. b) Se se pretende vencer o mesmo desnível com uma inclinação de $8\ \,\%$, qual é o comprimento horizontal mínimo que a rampa deve ter?

1. c) Exprima a rampa da alínea a) como uma função $y = mx$, considerando o início da rampa como origem. O que significa $m$?