Fator comum

Coloque em evidência o maior fator comum possível do polinómio $P(x) = 12x^4 - 18x^3 + 6x^2$.

Coloque em evidência o fator comum $-3x$ do polinómio $Q(x) = -3x^3 + 12x^2 - 9x$.

Um aluno colocou o fator comum em evidência na expressão $4x^3 - 8x^2 + 4x$ obtendo como resultado $4x(x^2 - 2x)$. Identifique o erro cometido e escreva o resultado correto da fatorização.

Coloque o fator comum em evidência na seguinte expressão algébrica com duas variáveis: $15x^3y^2 - 20x^2y^3 + 5x^2y^2$.

Coloque o fator comum em evidência na seguinte expressão com três variáveis: $7a^2bc - 14ab^2c + 21abc^2$.

Coloque o fator comum em evidência na expressão $M(x, y) = 18x^2y^4 - 24x^3y^3 + 30x^4y^2$.

O perímetro de um recinto é dado pela expressão $P = 8x^2 + 12x$. Escreva esta expressão como o produto de dois fatores colocando o fator comum em evidência.

Os custos de produção de uma empresa em função do número de unidades fabricadas $x$ são dados por $C(x) = \frac{3}{4}x^3 - \frac{9}{8}x^2 + \frac{15}{4}x$. Coloque em evidência o maior fator comum possível, com coeficientes fracionários, de modo que o polinómio interno tenha coeficientes inteiros.

Coloque o fator comum em evidência na expressão $E(x) = x(x-3)^2 - 4(x-3)^2 + x^2(x-3)^2$.

Fatorize a seguinte expressão algébrica complexa, realizando colocações sucessivas do fator comum em evidência: $M(x, y) = x^2(x-y) - y^2(x-y) - x(x-y)^2 + y(x-y)^2$.

Realize uma dupla colocação de fator comum em evidência (fatorização por agrupamento) no polinómio $P(x, y) = x^3 - 2x^2y + 3x - 6y$.

Fatorize a seguinte expressão colocando o fator comum em evidência por agrupamento de termos: $5a^2b + 15a^2 - 2b - 6$.

A figura mostra um retângulo dividido em quatro regiões de áreas $A_1 = x^2$, $A_2 = 3x$, $A_3 = 2x$ e $A_4 = 6$. Expresse a área total como um polinómio, coloque o fator comum em evidência por agrupamento de termos e deduza as expressões da base e da altura do retângulo total.

Fatorize por agrupamento de termos o polinómio de três variáveis $Q(a, b, c) = a^2b - a^2c + ab^2 - ac^2 - b^2c + bc^2$. Agrupe em pares e procure um fator comum binomial.

Coloque o fator comum em evidência no polinómio $P(x) = 5x^3 - 30x^2 + 45x$ e verifique se o fator de segundo grau resultante é um caso notável. Escreva a fatorização completa.

O volume de um prisma retangular reto é dado pelo polinómio $V(x) = 3x^3 + 12x^2 + 12x$. Coloque o fator comum em evidência e aplique os casos notáveis para expressar o volume como o produto de três polinómios de primeiro grau que representam as dimensões do prisma.

Fatorize completamente o polinómio $P(x) = x^{n+3} - 4x^{n+2} + 4x^{n+1}$ colocando primeiro o fator comum adequado em evidência, assumindo que $n$ é um número natural.

Encontra o valor dos parâmetros $a$ e $b$ sabendo que, ao colocar o fator comum $2x^2$ em evidência no polinómio $P(x) = 2x^4 + ax^3 + bx^2$, o polinómio resultante é o quadrado de um binómio, o coeficiente de $x^3$ é negativo e se verifica que $P(1) = 18$.

Para fatorizar completamente o polinómio $P(x) = 3x^3 - 15x^2 - 12x + 60$ e encontrar as suas raízes, dois alunos propõem caminhos diferentes:

• O Tomás afirma que o mais seguro é usar diretamente a regra de Ruffini, tentando a sua sorte com os divisores inteiros do termo independente $60$.

• A Leonor defende que é muito mais rápido e elegante colocar primeiro o fator comum numérico $3$ em evidência, agrupar os quatro termos resultantes aos pares (fatorização por agrupamento) e depois aplicar um caso notável.

1. a) Desenvolve por completo o procedimento da Leonor: coloca o fator comum numérico em evidência, realiza a dupla colocação em evidência agrupando termos e decompõe a diferença de quadrados final para obter os três fatores de grau 1.
2. b) Compara ambos os métodos e justifica de forma crítica por que razão a proposta da Leonor é claramente mais vantajosa do que a do Tomás neste caso: quantos divisores de $60$ teria o Tomás de testar, no máximo, e que riscos de cálculo acarreta o seu método?

Num complexo desportivo municipal de Lisboa, o custo de manutenção mensal dos campos de padel e ténis depende do número $x$ de torneios realizados e é dado pela expressão $C(x) = 15x^2 + 45x$ euros.

1. a) Antes de operares algebricamente, faz uma estimativa mental: se no mês de maio forem organizados $x = 10$ torneios, o custo estará mais perto dos $1\,500$ euros ou dos $2\,000$ euros? Justifica brevemente a tua aproximação sem calcular ainda o valor exato.
2. b) Põe em evidência o maior fator comum monómio de $C(x)$ para transformar a expressão num produto da forma $k \cdot x \cdot (x + a)$.
3. c) Calcula o custo exato substituindo $x = 10$ na expressão fatorizada que obtiveste e verifica se a tua estimativa inicial era razoável.

Num circuito elétrico, a potência dissipada por três resistências em série é expressa como $P(I) = 12I^3 - 18I^2 + 6I$. Coloca o fator comum em evidência e encontra os valores de intensidade $I$ para os quais a potência é nula.

Um arquiteto projeta uma estrutura cujo peso suportado em função de uma variável estrutural $x$ é $W(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3 + 2x^2$. Coloque o fator comum em evidência e fatorize completamente o polinómio. Para quais valores de $x > 0$ a estrutura não suporta peso algum?

Demonstre algebricamente que a expressão $E = (2n+1)^2 - (2n-1)^2$ é sempre múltiplo de $8$ para qualquer número inteiro $n$, desenvolvendo os quadrados e colocando o fator comum em evidência no resultado.