Juros compostos e variação percentual

Escreva o índice de variação que corresponde a cada uma destas variações em percentagem:

1. a) Um aumento de $25\ \%$.

1. b) Uma diminuição de $15\ \%$.

1. c) Um aumento de $3\ \%$.

1. d) Uma diminuição de $60\ \%$.

1. e) Um aumento de $130\ \%$.

Que aumento ou diminuição percentual corresponde a cada um destes índices de variação?

1. a) $1,45$

1. b) $0,82$

1. c) $2,1$

1. d) $0,05$

1. e) $1,06$

Aplique o índice de variação correspondente para calcular o valor final:

1. a) Um bilhete de festival que custa $80\ \text{€}$ aumenta $15\ \%$.

1. b) Um ténis de $64\ \text{€}$ tem um desconto de $25\ \%$.

1. c) A renda de $950\ \text{€}$ por mês de um local aumenta $4\ \%$.

As percentagens podem ser maiores do que $100\ \%$:

1. a) A população de um bairro novo aumentou $150\ \%$ em dez anos. Qual é o índice de variação? Se havia $1\,200$ habitantes, quantos há agora?

1. b) A reserva de pontos de um clube triplicou. A que aumento percentual isso equivale?

1. c) É o mesmo «aumentar $200\ \%$» que «dobrar»? Justifique a resposta com um exemplo.

As percentagens também podem ser menores que $1\ \%$:

1. a) Uma instituição cobra uma comissão de $0,3\ \%$ por cada transferência urgente. Quanto cobra por uma transferência de $4\,500\ \text{€}$?

1. b) Numa piscina olímpica de $2\,500\,000\ \text{L}$ de água, $0,02\ \%$ corresponde à água que é renovada diariamente para adição de cloro e equilíbrio químico. Quantos litros são?

1. c) Expresse $0,5\ \%$ como taxa de variação e como fração.

Após aplicar um desconto de $25\ \%$, um casaco custa $54\ \text{€}$.

1. a) Qual é o índice de variação do desconto?

1. b) Calcule o preço inicial dividindo pelo índice de variação.

1. c) Verifique o resultado aplicando o desconto ao preço inicial obtido.

A fatura bimestral da água de uma família subiu $5\ \%$ devido a uma sobretaxa extraordinária por seca, atingindo um valor final de $42\ \text{€}$.

1. a) Antes de efetuares operações complexas, faz uma estimativa mental: o preço antes da subida era de aproximadamente $40\ \text{€}$, $35\ \text{€}$ ou menos? Justifica a tua resposta calculando mentalmente quanto representaria um aumento de $5\ \%$ sobre $40\ \text{€}$.
2. b) Escreve o fator multiplicativo de variação associado ao aumento e calcula o preço original exato dividindo o valor final por esse fator.
3. c) Verifica se o resultado exato valida a tua estimativa. Se aos $42\ \text{€}$ finais subtraísses diretamente os $5\ \%$ ($42 \cdot 0,95$), obterias o preço original? Realiza a verificação numérica e fundamenta por que razão não coincidem.

Numa loja de roupa em período de saldos, um casaco custa inicialmente $90\ \text{€}$. Na primeira semana é-lhe aplicado um desconto de $20\ \%$, e na segunda semana é-lhe aplicado um desconto adicional de $15\ \%$ sobre o preço que já tinha sido reduzido.

O Marcos calcula o preço final somando ambas as percentagens: $20\ \% + 15\ \% = 35\ \%$, pelo que aplica um único fator multiplicativo de variação de $1 - 0,35 = 0,65$ e afirma que o casaco custa $90 \cdot 0,65 = 58,50\ \text{€}$.

1. a) Identifica e explica fundamentadamente o erro concetual do Marcos. Sobre que quantia se deve aplicar na realidade o segundo desconto?
2. b) Escreve os fatores multiplicativos de variação de cada redução e calcula, através de fatores encadeados, o preço final correto do casaco.
3. c) Sem te focares apenas no número obtido, fundamenta por que razão o preço real resulta mais caro do que aquilo que o Marcos calculou.

Uma loja aumenta o preço dos seus produtos em $20\ \%$ e, um mês depois, faz um desconto de $20\ \%$.

1. a) Um auricular custava inicialmente $50\ \text{€}$. Quanto custa após o aumento? E após o desconto?

1. b) Calcule o índice de variação total multiplicando os índices de cada variação.

1. c) Os preços voltaram ao valor inicial? Qual foi a variação percentual total?

As ações de uma empresa de tecnologia subiram $40\ \%$ no primeiro ano, caíram $30\ \%$ no segundo e subiram $10\ \%$ no terceiro.

1. a) Calcule o índice de variação de cada ano e o índice de variação total dos três anos.

1. b) Se um lote de ações valia $2\,500\ \text{€}$ no início, quanto vale no final do terceiro ano?

1. c) Qual foi a variação percentual total? Porque é que não coincide com a soma das três percentagens?

O preço do bilhete de transporte de uma cidade caiu $20\ \%$ com um subsídio público.

1. a) Se o bilhete individual custava $1,55\ \text{€}$, quanto custa agora?

1. b) Se o subsídio for retirado e o preço voltar ao inicial, qual é a percentagem de aumento que o preço atual deve sofrer para recuperar o original?

1. c) Raciocina, usando índices de variação, por que motivo a resposta não é $20\ \%$, e enuncia a regra geral: após uma descida de $r\ \%$, que aumento percentual devolve o preço ao valor inicial?

O preço do menu do dia num bairro acompanhou a inflação: subiu $6\ \%$ em 2023, $3,5\ \%$ em 2024 e $2\ \%$ em 2025. Em 2022, o menu custava $11\ \text{€}$.

1. a) Calcule o preço do menu no final de cada ano usando índices de variação.

1. b) Qual foi a percentagem total de aumento do menu nos três anos?

1. c) O salário dos trabalhadores do bairro subiu apenas $9\ \%$ nesse período. Ganharam ou perderam poder de compra para pagar o menu? Justifique comparando os índices de variação.

Durante um período de dois anos consecutivos, a inflação em Espanha de acordo com o IPC registou uma subida de $6\ \%$ no primeiro ano e de $4\ \%$ no segundo ano. Nesse mesmo período, a convenção coletiva de Irene fixou uma subida salarial de $5\ \%$ no primeiro ano e de outros $5\ \%$ no segundo ano. A Irene afirma: «Como $5 + 5 = 10\ \%$ e a inflação também soma $6 + 4 = 10\ \%$, o meu poder de compra não se alterou em nada».

1. a) Deteta o erro da Irene. Calcula o fator multiplicativo de variação acumulado dos preços (inflação) e o fator multiplicativo de variação acumulado do salário da Irene após os dois anos.
2. b) O fator multiplicativo de variação do poder de compra define-se como o quociente entre o fator salarial acumulado e o fator de preços acumulado: $I_p = \frac{I_{\text{salário}}}{I_{\text{preços}}}$. Calcula esse valor com quatro casas decimais e deduz a percentagem exata de poder de compra que a Irene realmente ganhou ou perdeu.
3. c) Se o salário da Irene era de $1\,500\ \text{€}$ no início do biénio, calcula o seu salário final após os dois anos. Em seguida, calcula que percentagem de aumento único se deveria aplicar a esse salário final para recuperar exatamente o poder de compra que ela tinha no início.

Um investidor deposita $2\,000\ \text{€}$ numa aplicação a $4\ \%$ ao ano de juros compostos, ou seja, a cada ano os juros são somados ao capital e também geram juros.

1. a) Em quanto se transforma o capital no final do primeiro ano?

1. b) E no final do segundo ano?

1. c) Porque é que o aumento do segundo ano é maior do que o do primeiro, se a percentagem é a mesma?

Os avós depositam $3\,000\ \text{€}$ numa conta poupança a $5\ \%$ ao ano de juros compostos para a sua neta.

1. a) Escreva a expressão que dá o capital final ao cabo de $4$ anos usando uma potência.

1. b) Calcule o capital final com a calculadora.

1. c) Quantos euros correspondem a juros?

Compare duas formas de investir $1\,000\ \text{€}$ durante $3$ anos a $6\ \%$ ao ano, como mostrado na figura:

• Juros simples: a cada ano são gerados os mesmos juros sobre o capital inicial.

• Juros compostos: a cada ano os juros são somados ao capital.

1. a) Calcule o capital final com juros simples.

1. b) Calcule o capital final com juros compostos.

1. c) Qual é a diferença? De onde vem essa diferença?

Um banco oferece uma aplicação de $1\,200\ \text{€}$ a $6\ \%$ ao ano com pagamento de juros mensal (juros compostos mensais).

1. a) Qual a percentagem de juros aplicada a cada mês?

1. b) Escreva a expressão do capital final ao cabo de $2$ anos, tendo em conta que há $24$ períodos mensais.

1. c) Calcule o capital final e compare-o com o que seria obtido com pagamento de juros anual: $1\,200 \cdot 1,06^2$. Qual é maior?

Uma conta-poupança para jovens oferece um juro composto de $3\ \%$ ao ano. Uma pessoa deposita $1\,500\ \text{€}$ e decide não mexer no dinheiro durante $4$ anos. Dois estudantes propõem dois caminhos distintos para calcular o capital acumulado no final do período:

• A Marta propõe o método passo a passo: calcular $3\ \%$ de $1\,500\ \text{€}$ e somá-lo; ao resultado obtido, calcular novamente $3\ \%$ e somá-lo, repetindo o processo quatro vezes consecutivas.

• A Leonor propõe o método global: formular a expressão do juro composto utilizando o fator multiplicativo de variação: $C_f = 1\,500 \cdot 1,03^4$.

1. a) Demonstra algebricamente que ambos os métodos dão o mesmo resultado colocando o fator comum em evidência nos dois primeiros anos do método da Marta.
2. b) Compara ambos os caminhos: quais são as vantagens e desvantagens de cada um? Se o prazo fosse de $20$ anos, qual escolherias e porquê?
3. c) Calcula o capital final acumulado e os juros totais auferidos após os $4$ anos utilizando o método que consideres mais eficiente.

Segundo os dados dos registos do Instituto Nacional de Estatística (INE), uma freguesia rural do distrito de Bragança contava com $1\,200$ habitantes à data de 1 de janeiro de 2020. Devido ao despovoamento, o seu número de habitantes desce a um ritmo constante estimado de $4\ \%$ ao ano.

1. a) Escreve a expressão algébrica que modela a população $P(t)$ em função dos anos decorridos $t$ desde 2020, indicando com clareza o fator multiplicativo de variação anual utilizado.
2. b) Utiliza o modelo para estimar a população que a freguesia terá a 1 de janeiro de 2024 (arredonda o resultado ao número inteiro de pessoas mais próximo).
3. c) Que percentagem total de população terá a localidade perdido nesses $4$ anos? Compara esta percentagem global com a multiplicação direta $4\ \text{anos} \cdot 4\ \% = 16\ \%$ e fundamenta matematicamente por que razão a perda real acumulada é inferior a $16\ \%$.

Dois bancos oferecem um depósito a um ano para $5\,000\ \text{€}$:

• Banco A: $4,9\ \%$ anual com pagamento de juros semestral (metade da percentagem em cada semestre, ou seja, $2,45\ \%$, com juro composto).

• Banco B: $5\ \%$ anual com um único pagamento de juros no final do ano.

1. a) Calcula o capital final no banco A, tendo em conta que se aplica $2,45\ \%$ em cada semestre.

1. b) Calcula o capital final no banco B.

1. c) A TAE (Taxa Anual Equivalente) é a percentagem anual real que rende um depósito tendo em conta a frequência dos pagamentos. Qual é a TAE de cada oferta? Que banco é melhor?

Tarefa de decisão. A Inês economizou $900\ \text{€}$ a trabalhar nos fins de semana e quer guardá-los durante $3$ anos para comprar um computador ao terminar o ensino secundário. Compara três opções, como mostrado na figura:

• Opção 1: conta jovem a $2\ \%$ ao ano de juros simples.

• Opção 2: depósito a $1,8\ \%$ ao ano de juros compostos.

• Opção 3: letras a $2,5\ \%$ ao ano de juros compostos, mas com uma penalização de $15\ \text{€}$ se for retirado antes dos $3$ anos.

1. a) Calcule o capital final de cada opção.

1. b) Quantos euros de diferença existem entre a melhor e a pior opção?

1. c) A Inês acha que talvez precise do dinheiro antes dos $3$ anos para um curso de verão. Isso muda a sua recomendação? Justifica a tua decisão.

Uma cooperativa agrícola solicitou um empréstimo de $8\,000\ \text{€}$ a liquidar de uma só vez ao fim de $3$ anos através de um sistema de juro composto anual para renovar o seu equipamento. Ao terminar o prazo de $3$ anos, a cooperativa liquida a dívida pagando um total de $9\,528,13\ \text{€}$ (capital inicial mais juros acumulados).

1. a) Modela a equação de juro composto onde a única incógnita seja o fator multiplicativo de variação anual $I_v$.
2. b) Isola $I_v$ utilizando a raiz cúbica e determina a taxa de juro anual nominal $r\ \%$ que a instituição financeira aplicou (arredonda $r$ ao número inteiro).
3. c) Se no contrato se tivesse estipulado a liquidação dos juros mensalmente em vez de anualmente com essa mesma taxa $r\ \%$, escreve a expressão completa que permitiria calcular o montante total a devolver após os $36$ meses. Justifica se com capitalização mensal a cooperativa pagaria mais ou menos dinheiro do que com a anual.

Desafio do tema. Imagina que organizas o financiamento de uma cooperativa escolar e deves apresentar um plano económico realista numa folha de cálculo ou documento digital.

1. Dados reais e variação: Consulta no site do INE o dado oficial da taxa de inflação (IPC) homóloga atual. Aplica esta variação percentual para atualizar um orçamento base de $1500$ €.

2. Modelação direta e inversa: Expressa a função direta do custo de transporte em função da distância ($y = 0,18x$). Depois, com o GeoGebra ou uma folha de cálculo, representa a função de proporcionalidade inversa do custo por associado ao alugar um stand de $360$ € de acordo com o número de participantes ($y = 360/x$).

3. Divisão e juros: Divide $450$ € de lucros de forma diretamente proporcional às horas dedicadas por três membros ($10$, $15$ e $25$ horas). Em seguida, compara numa tabela o capital final obtido ao depositar um fundo de $1000$ € durante $3$ anos a $2,5$ % de juro simples face a juro composto.

4. Proposta final: Redige um relatório justificando que fórmula de poupança é mais conveniente e anexa as tuas tabelas e gráficos.

Será valorizado:

• Precisão matemática nos cálculos de percentagens, divisões proporcionais e juros.

• Correção técnica na modelação e representação gráfica da proporcionalidade inversa.

• Rigor ao integrar o dado real do INE e coerência nas conclusões do relatório.