Polinómios

Uma empresa de aluguer de carrinhas de distribuição em Faro estabelece a sua tarifa em euros através do polinómio $C(t) = 0,05t^2 + 0,4t + 15$, onde $t$ representa o tempo de utilização em horas.

1. a) Identifica o grau do polinómio, o seu coeficiente principal e o seu termo independente.
2. b) Explica que significado económico real tem o termo independente no contexto do aluguer da carrinha.
3. c) Justifica se o polinómio é completo ou incompleto.
4. d) Calcula quanto pagará um cliente que utilize a carrinha durante $3$ horas.

Desenha a expressão algébrica de um polinómio $P(x)$ que cumpra simultaneamente estas quatro condições:

1. É de grau $3$ e o seu coeficiente principal é $-2$.

2. É um polinómio incompleto ao qual falta o termo de grau $1$.

3. O seu termo independente é $8$.

4. O número $2$ é uma das suas raízes.

1. a) Deduz passo a passo o valor de cada um dos coeficientes e escreve o polinómio ordenado do termo de maior grau para o de menor grau.
2. b) Verifica formalmente através do cálculo do valor numérico que $x = 2$ é, com efeito, raiz do polinómio que obtiveste.

Dados os polinómios $A(x) = 4x^3 - 2x^2 + 5x - 1$ e $B(x) = -x^3 + 3x^2 - 2x + 4$, calcule a expressão reduzida de $2 \cdot A(x) - 3 \cdot B(x)$.

Efetue o seguinte produto de polinómios e reduza os termos semelhantes para obter o polinómio final: $(2x^2 - 3x + 4) \cdot (x^2 + 5x - 2)$.

A base de um painel solar retangular mede $2x + 5$ metros e a sua altura mede $3x - 2$ metros. Escreva as expressões algébricas (polinómios reduzidos) que representam o perímetro e a área do painel solar.

Calcule o valor numérico do polinómio $P(x, y) = 3x^2y - 5xy^2 + 2x - 3y + 1$ para $x = -2$ e $y = 3$.

O Carlos tem de calcular o valor numérico do polinómio $P(x) = -2x^3 + 3x^2 - 5x + 4$ para $x = -2$. No seu caderno escreveu o seguinte procedimento:

Localiza o erro concreto que o Carlos cometeu ao aplicar a hierarquia das operações ou os sinais das potências, explica por palavras tuas por que razão a sua dedução está incorreta e calcula o valor numérico correto.

De acordo com os registos de uma estação meteorológica do IPMA na Serra da Estrela durante um dia de inverno, a temperatura $T$ (em graus Celsius) entre a meia-noite e o meio-dia é aproximada pelo polinómio $T(t) = -0,1t^2 + 1,2t - 5$, onde $t$ é o tempo decorrido em horas ($0 \le t \le 12$).

1. a) Sem efetuar o cálculo exato, estima fundamentadamente se às $2:00$ da madrugada ($t = 2$) a temperatura será positiva ou abaixo de zero, comparando o peso do termo independente face aos restantes termos.
2. b) Verifica a tua estimativa calculando o valor numérico exato de $T(2)$ e avalia se o resultado é coerente com a tua previsão.
3. c) Um boletim informativo afirma que às $5:00$ da madrugada ($t = 5$) o termómetro marcou exatamente $0\text{ \textdegree C}$. Justifica se o valor $t = 5$ é uma raiz do polinómio $T(t)$ e determina se a afirmação do boletim é verdadeira ou falsa.

Verifique, utilizando o teorema do fator, se $x = -3$ é uma raiz do polinómio $P(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6$.

A altura $h$ (em metros) de um drone em função do tempo $t$ (em segundos) é dada pelo polinómio $h(t) = -2t^2 + 12t + c$. Se aos $3$ segundos o drone se encontra a $25$ metros de altura, calcule o valor de $c$ e determine a altura inicial de onde levantou voo.

Uma empresa de tecnologia estima que a sua receita mensal (em milhares de euros) é dada pelo polinómio $I(x) = -2x^2 + 50x$, e os seus custos de produção por $C(x) = 10x + 150$, onde $x$ é a quantidade de dispositivos fabricados (em centenas). Obtenha o polinómio que representa o lucro mensal $B(x)$ e calcule o lucro exato se forem fabricados $1000$ dispositivos.