Sistemas de equações

Observa a representação gráfica das duas retas que formam um sistema de equações. Determina, sem realizar cálculos algébricos, qual é a solução do sistema e classifica-o em Compatível Determinado, Compatível Indeterminado ou Incompatível.

Copie e complete no seu caderno a seguinte tabela de valores para as duas equações do sistema. Depois, indique qual é a solução comum, observando os resultados:

Sistema: $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Dois amigos, Beatriz e Marcos, estão a acumular pontos no seu jogo eletrónico favorito para desbloquear uma nova recompensa. As missões de sigilo representam-se pela incógnita $x$ e as missões de assalto pela incógnita $y$. O sistema de equações que descreve os objetivos que devem cumprir hoje é o seguinte:

Verifique de forma numérica se o par de valores $(x = 3, y = 2)$ é a solução do sistema. Com base no gráfico seguinte, indique se os amigos conseguiram encontrar o ponto exato onde se cumprem ambas as condições (missões totais e pontos acumulados).

Observa a seguinte representação gráfica de um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas e responde às questões colocadas:

1. a) Indica as coordenadas do ponto de interseção $P$ de ambas as retas.
2. b) O que representa esse ponto em relação ao sistema de equações?
3. c) Classifica o sistema segundo o número de soluções que apresenta.
4. d) O ponto $P$ é solução do seguinte sistema?

$\begin{cases} 2x + y = 8 \\ x - 3y = -3 \end{cases}$

Explica brevemente porque é ou porque não é, verificando ambas as igualdades.

Resolva pelo método da substituição o seguinte sistema, aproveitando que uma das incógnitas já está isolada na primeira equação:

$\begin{cases} y = 3x \\ 2x + y = 10 \end{cases}$

O Carlos tenta resolver o seguinte sistema de equações no seu caderno:

Para isso, escreve os seguintes passos:

1. Isolo $x$ na primeira equação: $x = 8 - 2y$.

2. Substituo essa expressão na primeira equação: $(8 - 2y) + 2y = 8$.

3. Desenvolvo e obtenho: $8 = 8$.

4. Conclusão: Como $8 = 8$ é sempre verdade, o sistema é possível e indeterminado e tem infinitas soluções.

1. a) Explica qual é o erro conceptual que o Carlos cometeu no passo 2 e esclarece por que razão a sua conclusão final é falsa.
2. b) Corrige o exercício substituindo na equação adequada e calcula a solução real $(x, y)$ do sistema.

Na organização de um evento de eSports, foi vendido um total de 250 bilhetes. Existem dois tipos de bilhetes: os "Gamer", que custam $15\ €$, e os "Pro", que custam $25\ €$. Se a receita total foi de $4\ 700\ €$, formule um sistema de equações e calcule quantos bilhetes de cada tipo foram vendidos utilizando o método da substituição.

Resolva pelo método da comparação o seguinte sistema de equações. Repare que a incógnita $x$ já está isolada em ambas as expressões:

$\begin{cases} x = 5 - y \\ x = 2y - 1 \end{cases}$

Está a ser projetada uma nova área de jogos retangular no pátio da escola. O arquiteto estabeleceu que o perímetro total deve ser de $56$ metros. Além disso, para que haja espaço suficiente para os cestos de basquetebol, o comprimento da área deve ser $4$ metros menor que o triplo da largura.

Calcule as dimensões da área de jogos formulando um sistema de equações e resolvendo-o pelo método de comparação.

Resolva pelo método da adição o seguinte sistema. Observe que os coeficientes da incógnita $y$ são iguais, mas com sinais contrários, portanto é possível somar as equações diretamente:

$\begin{cases} 4x + y = 7 \\ 2x - y = 5 \end{cases}$

Numa loja de produtos a granel, queremos preparar uma mistura especial de $20\ kg$ de frutos secos que custe $8,50\ €/kg$. Para isso, vamos utilizar castanhas-de-caju que custam $10\ €/kg$ e amendoins que custam $6\ €/kg$.

Aplique o método da adição para descobrir quantos quilogramas de castanhas-de-caju e quantos de amendoins devemos misturar.

Cria um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas ($x$ e $y$) que cumpra simultaneamente estas três condições:

1. A sua única solução deve ser o par ordenado $(x, y) = (3, -2)$.

2. Nenhum dos coeficientes das incógnitas nem dos termos independentes pode ser igual a $0$, $1$ nem $-1$.

3. Os coeficientes da incógnita $y$ em ambas as equações devem ser números inteiros simétricos (por exemplo, $4$ e $-4$), de modo a que o sistema fique preparado para a anular somando diretamente ambas as equações por redução.

Escreve o sistema que construíste e verifica formalmente que $(3, -2)$ satisfaz as duas igualdades.

Traduza para a linguagem algébrica a seguinte situação e formule um sistema de duas equações com duas incógnitas, indicando claramente o que cada variável representa:

"Num café, um grupo de amigos pagou $11 \text{ €}$ por $2$ refrigerantes e $3$ pacotes de batatas fritas. Outro grupo pagou $13 \text{ €}$ por $4$ refrigerantes e $1$ pacote de batatas fritas".

Numa loja de jogos eletrónicos são vendidos comandos e jogos usados. O Tomás comprou um comando e um jogo por $50 \text{ €}$. Se o preço do jogo é o triplo do preço do comando, quanto custa cada artigo?

Formule um sistema de equações e resolva-o pelo método que preferir.

Dois conhecidos streamers estão a comparar os seus anos de experiência na plataforma. A soma das suas idades atuais é de $44$ anos. Daqui a $10$ anos, a idade do mais velho será exatamente o dobro da idade que o mais novo tem atualmente.

Formule um sistema de equações lineares e determine a idade atual de cada um.

Um número de dois algarismos tem uma propriedade curiosa: o algarismo das dezenas é o dobro do algarismo das unidades. Se subtrairmos $27$ desse número, obtemos o número resultante da inversão da ordem dos seus algarismos.

Traduza o enunciado para um sistema de equações (lembre-se de expressar o número na forma polinomial: $10x + y$) e encontre de que número se trata.

Uma empresa de estafetas utiliza drones e carrinhas para as suas entregas. Sabemos que o dobro do número de drones excede em 2 unidades o triplo do número de carrinhas. Além disso, se comprassem mais 2 drones e perdessem uma carrinha, teriam o triplo de drones em relação a carrinhas. Apresenta um sistema de equações lineares e descobre quantos veículos de cada tipo a empresa tem.