A função quadrática

Para cada uma destas funções quadráticas, indique os valores dos coeficientes $a$, $b$ e $c$, e raciocine, sem representá-la, se a parábola tem os ramos voltados para cima ou para baixo:

1. a) $y = 2x^2 - 3x + 5$

1. b) $y = -x^2 + 4x$

1. c) $y = 6 - x^2$

1. d) $y = \frac{1}{2}x^2$

Na figura aparecem as parábolas $y = x^2$, $y = 2x^2$ e $y = \frac{1}{2}x^2$, como se mostra a seguir.

1. a) Associa cada parábola à sua equação.

1. b) Que efeito tem o valor do coeficiente $a$ na forma da parábola em $y = ax^2$?

Indique, sem representá-las, se o vértice de cada parábola é um máximo ou um mínimo da função:

1. a) $y = -5x^2 + 3x - 1$

1. b) $y = 0,2x^2 - 4x + 6$

1. c) $y = 7x - x^2$

Explique de que coeficiente depende e porquê.

A figura mostra o gráfico de uma parábola. Cada quadrado da quadrícula mede 1 unidade em cada eixo.

1. a) Quais são as coordenadas do vértice? É um máximo ou um mínimo?

1. b) Em que pontos a parábola corta o eixo $X$?

1. c) Qual é o seu eixo de simetria?

Considere a parábola $y = x^2 - 4x + 3$.

1. a) Calcule a abcissa do vértice com a fórmula $x = \frac{-b}{2a}$ e determine depois a sua ordenada.

1. b) Construa uma tabela de valores tomando valores de $x$ em torno do vértice.

1. c) Represente-a e indique o seu eixo de simetria.

Um aluno calcula o vértice da parábola $y = 2x^2 - 8x + 1$ assim:

«$x = \frac{b}{2a} = \frac{-8}{2 \cdot 2} = -2$. Para $x = -2$, $y = 2 \cdot (-2)^2 - 8 \cdot (-2) + 1 = 25$. O vértice é $V(-2, 25)$ e é um mínimo porque $a = 2 > 0$.»

1. a) Identifica os erros que ele cometeu na fórmula e nos cálculos.

1. b) Determina o vértice correto e justifica se é um máximo ou um mínimo.

1. c) Verifica se o valor de $y$ no vértice é coerente com a concavidade da parábola.

Considere a função $y = x^2 - 2$.

1. a) Copie e complete no seu caderno a tabela de valores para $x = -3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$ e $3$.

1. b) Represente a parábola em eixos cartesianos.

1. c) Qual é o seu vértice? E o seu eixo de simetria?

Sem as representar, calcule o ponto de interseção com o eixo $Y$ de cada uma destas parábolas:

1. a) $y = x^2 - 6x + 8$

1. b) $y = -3x^2 + 2x - 7$

1. c) $y = 4x^2$

Qual é o coeficiente da equação que determina sempre este ponto de interseção?

Determine os pontos de interseção da parábola $y = x^2 - 5x + 6$ com os eixos coordenados:

1. a) Com o eixo $Y$.

1. b) Com o eixo $X$, resolvendo a equação $x^2 - 5x + 6 = 0$.

1. c) Calcule o vértice e verifique se a sua abcissa está exatamente a meio dos dois pontos de interseção com o eixo $X$.

Indique se cada afirmação é verdadeira ou falsa e justifique a sua resposta com um exemplo ou um contraexemplo:

1. a) «Toda a parábola corta o eixo $X$ em dois pontos.»

1. b) «A parábola $y = x^2 + c$ nunca tem o vértice abaixo do ponto $(0, c)$.»

1. c) «Se duas parábolas têm o mesmo vértice, então são a mesma parábola.»

1. d) «O gráfico de $y = -x^2$ é obtido refletindo $y = x^2$ em relação ao eixo $X$.»

Considere a família de parábolas $y = x^2 - 6x + k$, onde $k$ é um número qualquer.

1. a) Calcule o vértice da parábola em função de $k$. O que todas as parábolas da família têm em comum?

1. b) Para que valores de $k$ a parábola corta o eixo $X$ em dois pontos? E em apenas um? E em nenhum?

1. c) Represente no seu caderno as parábolas para $k = 5$, $k = 9$ e $k = 13$ e verifique o resultado anterior.

Na figura aparecem três parábolas, $a$, $b$ e $c$, obtidas por translação da parábola $y = x^2$.

1. a) Associa cada uma à sua equação: $y = x^2 + 3$, $y = (x - 2)^2$, $y = x^2$.

1. b) Quais são as coordenadas do vértice de cada uma?

1. c) Que coordenadas teria o vértice de $y = (x + 1)^2 - 5$? Justifica sem a representar.

Um túnel de montanha tem secção parabólica: a sua largura na base é de $12\ \text{m}$ e a sua altura máxima no centro é de $6\ \text{m}$, como se mostra na figura.

1. a) Colocando a origem das coordenadas no centro da estrada, justifique que a abóbada do túnel tem por equação $y = ax^2 + 6$ e determine o valor de $a$.

1. b) Um camião de $4\ \text{m}$ de largura e $3,8\ \text{m}$ de altura circula centrado. Passa pelo túnel? Calcule a altura da abóbada nas laterais do camião.

1. c) Se o camião se deslocar $1\ \text{m}$ para um lado, continua a passar? Justifique com cálculos.

Uma parábola tem o seu vértice no ponto $V(1, -4)$ e passa pelo ponto $P(3, 0)$.

1. a) Qual é o seu eixo de simetria?

1. b) Usando a simetria da parábola, encontra outro ponto por onde ela também passe.

1. c) Em que pontos é que ela corta o eixo $X$?

A tabela corresponde a uma função quadrática:

1. a) Calcule as diferenças entre valores consecutivos de $y$ (primeiras diferenças).

1. b) Calcule as diferenças dessas diferenças (segundas diferenças). O que se observa?

1. c) Qual é o vértice da parábola? Para onde se abrem os seus ramos?

Numa parábola, os pontos $A(-1, 5)$ e $B(5, 5)$ estão à mesma altura.

1. a) Sem conhecer a equação, calcule a abscissa do vértice usando a simetria.

1. b) Se além disso a parábola passa pela origem, raciocina qual é o outro ponto de interseção com o eixo $X$.

1. c) Determina a equação da parábola sabendo que o seu vértice tem ordenada $-4$.

O gráfico da figura corresponde a uma destas três funções, como se mostra a seguir:

• $y = x^2 - 4x + 5$

• $y = -x^2 + 4x - 1$

• $y = x^2 + 4x + 5$

1. a) Qual das três é? Justifica a resposta usando o sentido dos ramos, o ponto de interseção com o eixo $Y$ e o eixo de simetria.

1. b) Confirma a tua escolha calculando o vértice da função escolhida e comparando-o com o do gráfico.

Determine a equação da parábola $y = ax^2 + bx + c$ que passa pelos pontos $A(0, 3)$, $B(1, 0)$ e $C(3, 0)$:

1. a) Substitua as coordenadas de $A$ para obter o valor de $c$.

1. b) Substitua as de $B$ e $C$ e escreva um sistema de duas equações com incógnitas $a$ e $b$.

1. c) Resolva o sistema e escreva a equação da parábola. Qual é o seu vértice?

Investigue se a reta $y = 2x + 1$ corta a parábola $y = x^2 - 3x + 5$:

1. a) Formule o sistema formado por ambas as equações e reduza a uma única equação do segundo grau.

1. b) Resolva-a e interprete o resultado: cortam-se? Em quantos pontos?

1. c) Repita o estudo com a reta $y = 2x - 4$. Qual é a diferença?

Na queda livre, a distância percorrida por um objeto que é solto é, aproximadamente, $d = 5t^2$, onde $t$ é o tempo em segundos e $d$ é a distância em metros.

1. a) Complete no seu caderno uma tabela de valores para $t = 0$, $1$, $2$, $3$ e $4$.

1. b) Que distância percorreu ele após $3\ \text{s}$?

1. c) Se um pedaço de entulho demora $2,5\ \text{s}$ a chegar ao chão, de que altura caiu?

O gráfico mostra a altura de uma bola lançada para cima em função do tempo, como se mostra na figura.

1. a) Qual é a altura máxima que a bola atinge e em que instante?

1. b) De que altura foi lançada?

1. c) Em que instante volta a bola à altura de lançamento?

Uma bola de voleibol é batida a partir do chão e a sua altura, em metros, é dada por $h = -5t^2 + 20t$, onde $t$ é o tempo em segundos, como se mostra na figura.

1. a) Em que instante atinge a altura máxima? Qual é essa altura?

1. b) Quanto tempo demora a voltar ao chão?

1. c) Qual é a sua altura aos $3\ \text{s}$? Está a subir ou a descer?

Num lançamento livre de basquetebol, a bola segue uma trajetória dada por $h = -0,08x^2 + 0,64x + 1,9$, onde $x$ é a distância horizontal ao jogador, em metros, e $h$ a altura da bola, em metros. O cesto está a $4,6\ \text{m}$ do jogador e o aro a $3,05\ \text{m}$ de altura.

1. a) Qual é a altura da bola quando chega à vertical do cesto? O lançamento entra no cesto?

1. b) Qual é a altura máxima que a bola atinge durante o lançamento?

Um foguetão de festa atinge uma altura, em metros, dada por $h = -5t^2 + 25t$ nos $t$ segundos após o lançamento.

1. a) Formule e resolva a equação que permite saber em que instantes o foguetão está a $30\ \text{m}$ de altura.

1. b) Explique porque há duas soluções e o que significa cada uma.

1. c) Qual é a altura máxima que o foguetão atinge?

Uma saltadora impulsiona-se a partir de um trampolim e a sua altura sobre a água, em metros, é dada por $h = -5t^2 + 6t + 1,8$, com $t$ em segundos.

1. a) Qual é a altura do trampolim? Justifique de onde sai esse dado na fórmula.

1. b) Qual é a altura máxima que a saltadora alcança?

1. c) Formule a equação para saber quanto tempo ela demora a chegar à água e resolva-a. Porque se descarta uma das soluções?

Um hortelão quer vedar uma horta retangular encostada à parede da sua casa, de modo que só precisa de vedação para três lados. Dispõe de $40\ \text{m}$ de rede.

1. a) Se o lado perpendicular à parede mede $x$ metros, expressa o comprimento do lado paralelo em função de $x$.

1. b) Escreve a função que dá a área da horta em função de $x$. De que tipo é?

1. c) Calcula o vértice da parábola e deduz as dimensões que tornam a área máxima. Quanto vale essa área máxima?

Uma associação de moradores quer vedar um jardim retangular usando os $120\ \text{m}$ de rede metálica de que dispõe, como se mostra na figura.

1. a) Se um dos lados mede $x$ metros, exprima o outro lado em função de $x$.

1. b) Escreva a função que dá a área do jardim em função de $x$.

1. c) Determine as dimensões que tornam a área máxima e calcule essa área.

1. d) Verifique se o retângulo de área máxima é um quadrado. Achas que isso acontecerá sempre ao vedar com um perímetro fixo? Investiga com um perímetro de $80\ \text{m}$.

Tarefa de decisão. O teatro da escola vende os bilhetes para a peça de fim de ano. Por experiência de outros anos, se o bilhete custa $6\ \text{€}$ comparecem $300$ espectadores, e por cada $0,50\ \text{€}$ que o preço aumenta comparecem $20$ espectadores a menos, como se mostra na figura.

1. a) Se o preço aumenta $x$ vezes $0,50\ \text{€}$, exprime o preço do bilhete e o número de espectadores em função de $x$.

1. b) Escreve a função que dá a receita em função de $x$. De que tipo é?

1. c) Que preço de bilhete maximiza a receita? Quanto seria arrecadado?

1. d) A associação de pais propõe baixar o bilhete para $5\ \text{€}$ para lotar a plateia. Compara a receita com a do caso ótimo e decide qual das duas opções recomendarias, argumentando com os cálculos.