Semelhança

Um designer gráfico está a trabalhar no logótipo de uma nova aplicação. O desenho original é um retângulo que mede $8\text{ cm}$ de largura e $12\text{ cm}$ de altura. Para o ecrã de carregamento, precisa de criar uma versão maior que seja semelhante à original. Se a largura da versão ampliada deve ser de $20\text{ cm}$, qual será a altura do logótipo nesse ecrã?

Na planta de uma casa, a escala utilizada é $1:50$. Se a sala tem um comprimento de $12\text{ cm}$ no desenho, calcule quantos metros mede o comprimento real dessa divisão.

Um designer gráfico está a trabalhar no logótipo de uma nova marca de roupa. O desenho original é um quadrilátero com lados que medem $6\text{ cm}$, $8\text{ cm}$, $9\text{ cm}$ e $12\text{ cm}$. O cliente pede uma versão maior para um cartaz publicitário, na qual o lado que antes media $9\text{ cm}$ agora deve medir $45\text{ cm}$.

1. a) Calcule a razão de semelhança $k$ entre o logótipo do cartaz e o original.
2. b) Determine a medida dos outros três lados no logótipo do cartaz.
3. c) Se o perímetro do logótipo original é de $35\text{ cm}$, qual será o perímetro do logótipo do cartaz sem somar os seus lados um a um?

Dois triângulos estão em posição de Tales. Sabendo que os segmentos horizontais são paralelos e medem $6\text{ cm}$ e $10\text{ cm}$, e que o segmento vertical do triângulo menor mede $9\text{ cm}$, calcula o valor do segmento vertical desconhecido, designado por $x$, do triângulo maior.

Na seguinte figura, as rectas $r$, $s$ e $t$ são paralelas. Sabendo que $y = x + 1$, utiliza o Teorema de Tales para calcular os comprimentos desconhecidos $x$ e $y$ expressos em centímetros.

Um projetor de cinema está situado a $6\text{ metros}$ de um ecrã. O feixe de luz projeta uma imagem que no ecrã tem uma altura de $2,4\text{ metros}$.

1. a) Se colocarmos um obstáculo de $40\text{ cm}$ de altura paralelo ao ecrã para criar uma sombra chinesa, a que distância do projetor devemos colocá-lo para que a sua sombra ocupe exatamente toda a altura do ecrã?
2. b) Se afastarmos o projetor até aos $9\text{ metros}$ do ecrã, qual será a nova altura da imagem projetada?

Indica se os seguintes pares de triângulos são semelhantes e justifica qual o critério que utilizaste (AAA, LLL ou LAL):

• Triângulo 1: Ângulos de $40^\circ$ e $70^\circ$.

• Triângulo 2: Ângulos de $70^\circ$ e $70^\circ$.

Observe o triângulo retângulo da figura. A altura $h$ relativa à hipotenusa divide o triângulo original em dois triângulos menores.

1. a) Justifique por que razão os três triângulos (o original e os dois pequenos) são semelhantes entre si.
2. b) Se os segmentos em que a hipotenusa fica dividida medem $m = 4\text{ cm}$ e $n = 9\text{ cm}$, calcule a altura $h$ utilizando a semelhança dos dois triângulos pequenos.
3. c) Calcule a área do triângulo original.

Um arquiteto está a projetar a fachada de um auditório moderno. Desenhou um triângulo retângulo principal e, para melhorar a acústica, precisa de traçar a altura relativa à hipotenusa. Esta altura divide o triângulo original em outros dois triângulos menores. Sabendo que os catetos do triângulo original medem $18\text{ m}$ e $24\text{ m}$, utilize a semelhança de triângulos para calcular:

1. a) O comprimento da altura relativa à hipotenusa.
2. b) Os comprimentos dos dois segmentos em que a hipotenusa fica dividida.

Um aluno do 9.º ano mede $1,60\text{ m}$ de altura. A certa hora do dia, projeta uma sombra no chão de $2\text{ m}$. Se, mesmo ao lado, um poste de iluminação projeta uma sombra de $5\text{ m}$, qual é a altura do poste?

Numa praça de Viseu, às onze da manhã, um sinal vertical de trânsito de $2\text{ m}$ de altura projeta sobre o pavimento uma sombra de $1,6\text{ m}$. Nesse mesmo instante, a torre de uma igreja próxima projeta uma sombra retilínea de $28\text{ m}$.

1. a) Antes de calcular com precisão, faz uma estimativa fundamentada: observando a relação entre a altura do sinal e a sua sombra, esperas que a altura da torre seja maior ou menor do que o comprimento da sua sombra? Estará mais próxima de $20\text{ m}$, de $35\text{ m}$ ou de $50\text{ m}$?
2. b) Apresenta a proporção matemática correspondente (recorrendo a triângulos semelhantes formados pelos raios solares) e calcula com exatidão a altura da torre.
3. c) Compara o valor numérico obtido com a tua estimativa prévia e avalia se o resultado faz sentido físico e arquitetónico para um campanário histórico.

Para calcular a altura de uma torre de comunicação que projeta uma sombra muito longa, Marcos, que mede $1,70\text{ m}$, posiciona-se em pé de forma que a extremidade da sua própria sombra coincida com a extremidade da sombra da torre. Se Marcos está a $25\text{ m}$ da base da torre e a sua sombra mede $2,5\text{ m}$, responde:

1. a) Porque podemos afirmar que os triângulos formados por Marcos e pela torre com as suas respetivas sombras são semelhantes? Menciona o critério de semelhança utilizado.
2. b) Calcula a altura da torre.

Para medir a altura de uma torre de refrigeração de uma central elétrica, uma equipa de engenheiros utiliza um espelho colocado no chão. O engenheiro posiciona-se de modo que, ao olhar para o espelho, vê refletida a parte superior da torre. O espelho está a $45\text{ m}$ da base da torre. O engenheiro, cujos olhos estão a uma altura de $1,75\text{ m}$, encontra-se a $1,5\text{ m}$ do espelho. Entre o espelho e a torre há uma vedação de segurança de $5\text{ m}$ de altura.

A que distância mínima do espelho deve estar a vedação para que não oculte o reflexo da parte superior da torre nos olhos do engenheiro?

Uma pizzaria oferece dois tamanhos de pizza redonda que são semelhantes. A pizza "Pequena" tem um raio de $10\text{ cm}$ e uma área de aproximadamente $314\text{ cm}^2$. Se a pizza "Familiar" tem um raio de $20\text{ cm}$, qual será a sua área? (Lembra-te da relação entre a razão de semelhança $k$ e as áreas).

O Marcos quer fazer uma cópia ampliada de uma gravura artística retangular de $15\text{ cm} \times 20\text{ cm}$. Na reprografia oferecem-se para a ampliar proporcionalmente de modo a que a nova largura seja de $45\text{ cm}$. O Marcos calcula mentalmente: «Como a largura passa de $15\text{ cm}$ para $45\text{ cm}$, a figura triplica. A gravura original custava $2\text{ €}$, pelo que a nova gravura, ao ter o triplo do tamanho, vai custar-me exatamente $6\text{ €}$».

1. a) Identifica o erro no raciocínio do Marcos sobre o custo do papel. Que grandeza geométrica determina o gasto de material: o comprimento linear ou a área?
2. b) Encontra a razão de semelhança linear $k$ e calcula as dimensões (largura e comprimento) e a área da gravura ampliada.
3. c) Se o preço do papel especial de impressão for proporcional à superfície impressa, qual é o preço real e justo que o Marcos deveria pagar pela gravura grande?

Dois retângulos são semelhantes. O primeiro tem uma base de $12\text{ cm}$ e uma área de $96\text{ cm}^2$. O segundo retângulo tem uma área de $150\text{ cm}^2$.

1. a) Calcule a razão de semelhança entre o segundo e o primeiro retângulo. (Dica: utilize a relação entre áreas).
2. b) Calcule as dimensões (base e altura) do segundo retângulo.
3. c) Qual é a razão entre os seus perímetros?

Uma empresa de móveis fabrica mesas de centro hexagonais regulares. Há dois modelos: o modelo "Mini" tem um lado de $30\text{ cm}$ e o seu tampo de vidro custa $45\text{ €}$. O modelo "Grande Salão" é semelhante ao anterior e tem um lado de $60\text{ cm}$.

1. a) Qual é a razão de semelhança entre o modelo grande e o pequeno?
2. b) Sabendo que o preço do vidro é proporcional à sua superfície, quanto custará o tampo de vidro do modelo "Grande Salão"?
3. c) Se para contornar a mesa pequena com uma fita metálica são necessários $180\text{ cm}$, quanta fita será necessária para a mesa grande?

Uma empresa de impressão 3D criou uma maquete em escala de uma praça circular. Na maquete, a área da praça é de $450\text{ cm}^2$. O cliente solicita uma segunda maquete onde o perímetro seja $20\%$ maior do que o da primeira maquete.

1. a) Qual será a área da praça nesta segunda maquete?
2. b) Se a praça real tem um raio de $30\text{ m}$, qual é a escala utilizada na primeira maquete? (Exprime a escala no formato $1:n$).