Teorema do resto

Determine o resto da divisão do polinómio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ por $x - 2$ sem efetuar a divisão.

Calcule o resto de dividir $U(x) = \frac{1}{2}x^3 - x^2 + 3x - \frac{5}{2}$ por $x - 2$ sem realizar a divisão pela regra de Ruffini.

Sabendo que o resto da divisão de um polinómio $P(x)$ por $x - 4$ é $15$, indique qual é o valor numérico de $P(4)$ e justifique a sua resposta com base no teorema do resto.

Calcule o resto de dividir o polinómio $S(x) = -x^5 + 3x^2 - 4$ por $x + 1$ aplicando o teorema do resto.

Determine o resto da divisão de $V(x) = 4x^6 - 3x^4 + 2x^2 - 1$ por $x + 1$ avaliando o polinómio no valor adequado.

A Beatriz tem de encontrar o resto da divisão do polinómio $P(x) = 2x^3 - 5x + 7$ por $(x + 2)$ sem efetuar a divisão longa nem usar a regra de Ruffini. No seu caderno, escreve:

«Aplico o Teorema do resto substituindo diretamente o número que acompanha o $x$:

$R = P(2) = 2 \cdot 2^3 - 5 \cdot 2 + 7 = 2 \cdot 8 - 10 + 7 = 16 - 10 + 7 = 13$.

Como o resto é $13 \neq 0$, a divisão não é exata e $(x + 2)$ não é fator de $P(x)$».

1. a) Localiza o erro concetual que a Beatriz cometeu e explica, apoiando-te na identidade fundamental da divisão $P(x) = (x - a) \cdot C(x) + R$, que valor deveria ter substituído realmente no polinómio e porquê.
2. b) Corrige o exercício calculando o verdadeiro resto e indica se a conclusão sobre se $(x + 2)$ é fator de $P(x)$ se mantém ou muda.

Sabendo que o polinómio é $Q(x) = x^3 + 4x^2 - x + 10$, calcule o valor numérico $Q(-3)$ e explique que relação esse valor tem com a divisão de $Q(x)$ por $x + 3$.

Determine, utilizando o teorema do resto, se o polinómio $R(x) = 2x^3 - 5x^2 + x + 2$ é divisível por $x - 2$.

Verifique por meio do teorema do resto se $x = -2$ é uma raiz do polinómio $T(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 12$.

Uma carrinha de distribuição de uma empresa de encomendas de Faro realiza a sua rota matinal. A energia restante na sua bateria (medida em quilowatts-hora, $\text{kWh}$) após $x$ horas de circulação contínua é modelada através do polinómio $B(x) = -x^3 + 3x^2 - 16x + 48$, com $0 \le x \le 3$.

1. a) Justifica, a partir do Teorema do resto, por que razão o resto da divisão de $B(x)$ por $(x - 3)$ indica exatamente quanta energia resta à carrinha ao completar-se a terceira hora de distribuição.
2. b) Aplica o Teorema do resto para calcular esse valor sem efetuar a divisão polinomial e interpreta o resultado na prática: a bateria esgotou-se por completo ou pode continuar a circular? É $(x - 3)$ um fator do polinómio $B(x)$?

Calcule o valor do parâmetro $k$ para que o resto da divisão do polinómio $P(x) = x^3 - kx^2 + 5x - 2$ por $x - 3$ seja igual a $10$.

A trajetória de um drone de corrida num troço de teste é dada pelo polinómio $A(t) = 2t^3 - mt^2 + 4t + 5$, onde $t$ é o tempo em segundos e $A(t)$ a altura em metros. Se aos $2$ segundos a altura é de $17$ metros, utiliza o teorema do resto para determinar o valor do parâmetro $m$.

Determine o valor de $a$ para que o polinómio $Q(x) = 2x^4 + ax^3 - 3x^2 + 5x - a$ seja divisível por $x + 2$.

Determine o valor de $b$ sabendo que, ao dividir o polinómio $R(x) = 3x^3 + bx^2 - 2x + 4$ por $x - 1$, se obtém o mesmo resto que ao dividi-lo por $x + 2$.

Determine o resto da divisão do polinómio $P(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x - 1$ pelo binómio $2x - 1$. Considere o valor que anula o divisor para aplicar o teorema do resto.

A receita diária de uma loja, em centenas de euros, é aproximada pelo polinómio $I(x) = -x^3 + 12x^2 - 20x + c$, onde $x$ é o número de dias decorridos. Se o resto de dividir $I(x)$ por $x - 5$ é $80$, determine o valor do termo independente $c$ usando o teorema do resto.

O design do perfil da carroçaria de um carro desportivo é modelado matematicamente por meio de um polinómio $D(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 4x + 4$. Para garantir uma aerodinâmica ideal, o polinómio deve ser divisível por $x - 2$ e deixar um resto de $15$ ao ser dividido por $x + 1$. Formule um sistema de equações utilizando o teorema do resto e calcule os valores de $a$ e $b$.

Um polinómio $P(x)$ de segundo grau satisfaz que, ao dividi-lo por $x - 1$, o resto é $4$, ao dividi-lo por $x + 2$, o resto é $19$, e ao dividi-lo por $x$, o resto é $1$. Determine a expressão algébrica completa de $P(x)$.