Frações algébricas

Simplifique a fração algébrica $\frac{12x^4y}{4x^2}$.

Simplifique a fração algébrica $\frac{3x + 6}{3}$.

Simplifique a fração algébrica $\frac{x^2 - 4}{x + 2}$.

Simplifique a fração algébrica $\frac{x^2 + 2x}{x^2}$.

Uma aluna afirma que $\frac{x + 5}{5} = x + 1$, porque "o $5$ de cima e o de baixo cancelam-se". Avalie se a sua afirmação é verdadeira ou falsa, verificando-a com um valor concreto de $x$, explique o erro e escreva a simplificação correta.

Simplifique a fração algébrica $\frac{x^2 + x - 6}{x^2 - x - 2}$ fatorando previamente o numerador e o denominador.

Verifique se as frações algébricas $\frac{x - 1}{x^2 - 1}$ e $\frac{1}{x + 1}$ são equivalentes. Justifique a sua resposta.

O Marcos, estudante do 4.º ano do ESO, deve simplificar a fração algébrica $\dfrac{2x + 6}{x^2 - 9}$ para um exercício de aula. No seu caderno faz o seguinte:

«Corto o $+6$ com o $-9$ dividindo ambos por $3$, e simplifico o $x$ do numerador com o $x^2$ do denominador. Fica $\dfrac{2 + 2}{x - 3} = \dfrac{4}{x - 3}$. Portanto, o único valor proibido da expressão é $x = 3$».

1. a) Localiza e explica detalhadamente os dois erros conceptuais que o Marcos cometeu: um no procedimento algébrico de simplificar e outro relativo ao domínio da fração.
2. b) Realiza a simplificação de forma matematicamente correta e determina todos os valores que devem ser excluídos do domínio original.

Simplifique a fração algébrica $\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9}$.

Um aluno simplifica assim: "$\frac{x^2 + 4}{x + 2} = x + 2$, porque o numerador é o quadrado do denominador". Explique o erro conceptual cometido (a que é igual na realidade $(x + 2)^2$?), verifique-o substituindo $x = 3$ e raciocine se a fração pode ser simplificada de alguma forma.

Calcule e simplifique $\frac{2x}{3} \cdot \frac{6}{x^2}$.

Calcule e simplifique $\frac{x}{x + 1} : \frac{x^2}{x + 1}$.

Efetue e simplifique $\frac{x^2 - 1}{x} \cdot \frac{x^2}{x + 1}$.

Efetue e simplifique $\frac{x^2 - 4}{x + 3} : \frac{x - 2}{x^2 + 3x}$.

Efetue e simplifique $\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1}$.

Efetue e simplifique $\frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}$.

Efetue e simplifique $\frac{3}{x^2 - 1} + \frac{1}{x + 1}$.

Efetue e simplifique $\left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2} \right) : \frac{2}{x^2 + 2x}$.

Determine o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos polinómios $x^2 - 9$ e $x^2 + 6x + 9$.

Simplifique a fração complexa $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}$.

Resolva a equação $\frac{x + 1}{x - 2} = \frac{x + 5}{x - 4}$. Antes de começar, indique quais os valores que $x$ não pode assumir e explique porque é necessário descartá-los.

Uma torneira leva $x$ minutos para encher um reservatório e outra torneira leva $5$ minutos a menos para encher o mesmo reservatório. a) Expresse, em função de $x$, a fração do reservatório que as duas torneiras enchem juntas num minuto, simplificando a expressão. b) Que fração do reservatório enchem num minuto se a primeira torneira leva $20$ minutos?

Um comboio urbano da CP realiza um trajeto de ida e volta de $60\text{ km}$ por sentido ($120\text{ km}$ no total). Na ida circula a uma velocidade média constante de $x\text{ km/h}$. Na viagem de volta, devido a obras de manutenção na infraestrutura de acordo com dados da IP, deve reduzir a sua velocidade média em $15\text{ km/h}$, circulando a $(x - 15)\text{ km/h}$.

1. a) Sabendo que o tempo se calcula dividindo a distância pela velocidade, escreve a soma de frações algébricas que modela o tempo total gasto (em horas) e soma-as para obter uma única fração algébrica reduzida $T(x)$.
2. b) Estima e verifica: imagina que habitualmente o comboio circula a $x = 75\text{ km/h}$.

• Antes de substituir na tua fórmula reduzida, faz uma estimativa fundamentada: se na ida demora $60/75 = 0,8\text{ horas}$ ($48\text{ minutos}$) e na volta vai a $60\text{ km/h}$, o tempo total de ida e volta será maior, menor ou igual a $1,7\text{ horas}$? Justifica por que razão não se pode calcular simplesmente o tempo supondo uma velocidade média global de $(75 + 60)/2 = 67,5\text{ km/h}$.

• Substitui $x = 75$ na tua fração algébrica $T(x)$, obtém o resultado exato em horas e minutos, e verifica se a tua estimativa prévia foi acertada.

Um ciclista percorre $60$ km a uma velocidade média de $v$ km/h e regressa pelo mesmo caminho a $v + 10$ km/h. a) Exprime o tempo total da viagem em função de $v$, como uma única fração algébrica simplificada. b) Se a viagem completa durou $5$ horas, monta a equação que permitiria determinar $v$ (não é necessário resolvê-la) e indica de que tipo ela é.

Uma frutaria mistura $x$ kg de nozes a $9\ \text{€}$ o quilo com $y$ kg de passas de uva a $5\ \text{€}$ o quilo. a) Expressa o preço de um quilograma de mistura em função de $x$ e $y$. b) Quanto vale esse preço se for misturado o dobro de nozes em relação às passas de uva? c) Que relação deve haver entre $x$ e $y$ para que o quilograma de mistura custe exatamente $7\ \text{€}$?