Proporcionalidade inversa

Indique justificadamente se os seguintes pares de grandezas mantêm uma relação de proporcionalidade inversa:

1. a) O número de amigos que se reúnem para comprar um presente de $60 \text{ €}$ e a quantia de dinheiro que cada um deve dar.
2. b) O tempo que deixas um telemóvel a carregar e a percentagem de bateria que ele recupera.
3. c) A velocidade a que caminha um caminhante e o tempo que leva a percorrer um trajeto de $10 \text{ km}$.
4. d) O número de páginas de um livro e o peso total do mesmo.

Complete a tabela seguinte no seu caderno sabendo que as grandezas A e B são inversamente proporcionais. Calcule primeiro a constante de proporcionalidade inversa $k$.

Um grupo de estudantes do 3.º ano da ESO está a organizar um jantar de fim de ano. O restaurante deu-lhes um orçamento fixo pelo aluguer do salão e o menu especial, que será repartido em partes iguais por todos os presentes.

Copia para o teu caderno e completa a seguinte tabela para analisar como varia o preço por pessoa consoante o número de alunos que se inscreverem finalmente:

Calcula a constante de proporcionalidade inversa $k'$ e explica que significado tem neste contexto.

Um ciclista que avança a uma velocidade constante de $20 \text{ km/h}$ leva $45$ minutos para percorrer a distância entre duas vilas. Se aumentasse a sua velocidade para $30 \text{ km/h}$, quantos minutos levaria para realizar o mesmo percurso?

Para completar um desafio de uma aplicação de treino, Maria deve percorrer uma distância de $12$ km com o seu trotinete elétrico. Se mantiver uma velocidade constante de $15$ km/h, demora exatamente $48$ minutos.

Se no dia seguinte decidir ir mais devagar, a uma velocidade de $10$ km/h para poupar bateria, quantos minutos demorará a completar o mesmo percurso? E se quisesse demorar apenas meia hora, a que velocidade deveria circular?

Uma função de proporcionalidade inversa tem como expressão algébrica $y = \frac{k}{x}$ (com $x > 0$). O seu gráfico passa por um ponto desconhecido $(a, b)$. Verifica-se que, se à variável independente forem somadas $6$ unidades (ou seja, passa a valer $a + 6$), o valor da variável dependente reduz-se para a quarta parte do seu valor original, transformando-se em $\frac{b}{4}$. Além disso, sabe-se como dado adicional que, para $x = 8$, o valor da função é $y = 4,5$.

1. a) Formula uma equação igualando os produtos cruzados das duas situações que envolvem a constante $k$ para deduzir o valor exato de $a$.
2. b) A partir do valor de $a$ e do dado adicional, calcula a constante $k$, escreve a fórmula definitiva da função e indica as coordenadas exatas do ponto $(a, b)$.
3. c) Inventa uma situação quotidiana verosímil (indicando grandezas e unidades de medida) que fique descrita com exatidão pela fórmula que obtiveste.

Um grupo de $4$ alunos do 9.º ano decidiu limpar um troço de praia após um festival de música. Calculam que levarão $6$ horas para deixar tudo impecável. Se no final se juntarem mais $4$ amigos (sendo $8$ no total), quanto tempo levarão para terminar a limpeza se todos trabalharem ao mesmo ritmo?

Para a viagem de fim de ano, os alunos alugaram um autocarro. Se forem $40$ alunos, cada um deve pagar $15 \text{ €}$. À última hora, $10$ alunos ficam doentes e não podem ir. Quanto deverá pagar cada um dos alunos restantes para cobrir o custo total do autocarro?

Um pecuarista tem forragem armazenada para alimentar as suas $20$ vacas durante $30$ dias. Se decidir vender $5$ das suas vacas para reduzir despesas, durante quantos dias poderá alimentar as vacas restantes com a mesma quantidade de forragem?

Três torneiras iguais demoram $10$ horas a encher o depósito de água de um pavilhão desportivo. Se queremos que o depósito se encha em apenas $6$ horas para podermos abrir as instalações mais cedo, quantas torneiras iguais às anteriores precisaremos de ter abertas no total?

Numa pequena gráfica, $2$ máquinas a trabalhar a pleno rendimento demoram $40$ minutos a imprimir os panfletos de uma festa local. Se uma das máquinas avariar e apenas uma puder trabalhar, quanto tempo (em minutos e horas) demorará a completar o mesmo trabalho? E se tivessem $4$ máquinas iguais a funcionar?

Uma associação protetora de animais recebeu uma doação de sacos de ração. Com os $45$ cães que têm atualmente no abrigo, há comida suficiente para $20$ dias.

No entanto, após uma campanha de resgate, o número de cães aumenta para $60$. Quantos dias durará agora a mesma quantidade de ração? Se quisessem que a comida durasse $25$ dias, qual seria o número máximo de cães que poderiam manter no abrigo?

Uma equipa de $8$ operários de uma empresa de eventos leva $12$ horas a montar todo o palco e a iluminação para um festival de música, a trabalhar a um ritmo constante.

Se o festival antecipar a sua abertura e dispuserem de apenas $6$ horas para a montagem, quantos operários deverão trabalhar no total? Se no final contarem com $16$ operários, em quanto tempo terminarão o trabalho?

Três torneiras iguais levam $10$ horas a encher um reservatório de água destinado à rega de uma horta escolar. Pretende-se reduzir o tempo de enchimento para que a água esteja pronta antes do início das aulas.

Quantas torneiras do mesmo tipo seria necessário acrescentar para que o reservatório enchesse em apenas $6$ horas? Exprime o resultado em número de torneiras adicionais.

Cinco impressoras 3D de última geração demoram $4$ horas a imprimir as peças de $20$ maquetes de robôs escolares.

Calcule quantas impressoras das mesmas características seriam necessárias para fabricar essas mesmas $20$ maquetes em apenas $100$ minutos. (Tenha cuidado com as unidades de tempo antes de efetuar os cálculos).

Um município contrata uma equipa de $15$ operários para construir uma pista de skate em $20$ dias, a trabalhar $6$ horas diárias. Após $8$ dias de trabalho, a câmara municipal solicita que a obra esteja concluída $4$ dias antes do previsto para coincidir com as festas locais. Nesse mesmo momento, $3$ operários entram de licença. Quantas horas diárias deverão trabalhar os operários restantes para cumprir o novo prazo de entrega?

Num concurso de design de jogos eletrónicos, o júri distribui um prémio de $2800$ € de forma inversamente proporcional ao número de erros detetados na fase de testes.

A equipa "Pixel" teve $2$ erros, a equipa "Voxel" teve $4$ erros e a equipa "Sprite" teve $5$ erros. Que quantia em dinheiro receberá cada equipa?

Para envasar um lote de azeite biológico, foram utilizadas $400$ garrafas de $0,75$ litros cada uma. Por motivos de marketing, a cooperativa decide mudar o formato das garrafas para embalagens de um terço de litro ($1/3$ de litro).

Quantas garrafas deste novo tamanho serão necessárias para envasar a mesma quantidade de azeite? Se dispusermos de $1200$ garrafas de meio litro ($0,5$ litros), conseguiremos envasar todo o lote?

Um grupo de biólogos marinhos estuda a relação entre a pressão e o volume de um gás no interior de um dispositivo de amostragem (Lei de Boyle). Ao nível do mar ($1$ atm de pressão), o gás ocupa um volume de $24$ litros. Ao submergir a uma determinada profundidade, a pressão aumenta para $3,2$ atm. Qual será o novo volume do gás? Se o dispositivo suporta apenas uma compressão máxima que deixe o volume em $5$ litros, qual é a pressão máxima que ele pode suportar antes de se partir?