Conceito de função

Observe as seguintes relações entre grandezas e determine, em cada caso, se se trata de uma função ou não:

1. a) A cada número de telemóvel associamos o nome do seu proprietário na agenda.
2. b) A cada estudante da sua turma associamos a sua altura medida em centímetros.
3. c) A cada código de barras de um supermercado associamos o preço do produto correspondente.
4. d) A cada pessoa associamos a cor dos olhos dos seus irmãos.

Numa escola, estão a ser analisadas diferentes relações entre grandezas. Determine de forma justificada quais das seguintes situações correspondem a uma função e, em caso afirmativo, identifique a variável independente e a variável dependente:

1. a) A cada número de documento de identificação dos alunos associa-se a sua idade atual.
2. b) A cada temperatura máxima atingida no pátio durante um dia associam-se as horas em que essa temperatura foi registada.
3. c) À quantidade de gigabytes ($GB$) consumidos num plano de telemóvel associa-se o preço mensal da fatura.
4. d) A cada número natural associam-se os seus divisores.

Numa loja de aplicações, cada jogo premium tem um preço fixo de $2,50$ €. Queremos analisar a relação entre o número de jogos comprados e o custo total da compra.

1. a) Identifique qual é a variável independente e qual é a variável dependente.
2. b) Esta relação é uma função? Justifique a sua resposta com base na definição de função.
3. c) Escreva a expressão algébrica (fórmula) que relaciona ambas as grandezas, designando por $x$ o número de jogos e por $y$ o custo total.

Uma empresa de aluguer de trotinetes elétricas cobra uma taxa fixa de $1,20$ € para desbloquear o veículo e uma taxa variável de $0,15$ € por cada minuto de uso.

1. a) Identifique as duas variáveis que intervêm e classifique-as em dependente e independente.
2. b) Escreva a expressão analítica ou fórmula que permite calcular o custo total do aluguer, $y$, em função do tempo de uso em minutos, $x$.
3. c) Calcule quanto pagará um aluno que utiliza a trotinete durante $22$ minutos para ir de sua casa à escola.

A área de um retângulo cuja base mede o dobro da sua altura pode ser expressa como uma função.

1. a) Se chamarmos $x$ à medida da altura do retângulo, escreve a expressão analítica da função área $A(x)$.
2. b) Qual é a variável independente e qual é a dependente?
3. c) Calcula a área quando a altura for de $4,5$ $cm$.
4. d) Se a área do retângulo for de $50$ $cm^2$, quanto mede a sua altura?

Dada a função definida pela expressão algébrica $f(x) = 3x - 2$, completa a seguinte tabela de valores no teu caderno:

$x$ (Entrada)	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$ (Saída)

Depois de completada, indica qual é a imagem de $x = -1$.

Um caminhante sobe uma montanha seguindo um trilho. A função que relaciona a sua altitude em relação ao nível do mar, $H$ (em metros), com a distância horizontal percorrida, $d$ (em quilómetros), é $H(d) = 400 + 150d$.

1. a) Em que altitude se encontra o ponto inicial da rota ($d = 0$)?
2. b) Se o caminhante percorreu $3$ km na horizontal, em que altitude se encontra?
3. c) Identifique as variáveis da função e explique o seu significado físico.

Dada a função $f(x) = \frac{x^2 - 4}{2}$, realiza as seguintes tarefas:

1. a) Calcula as imagens dos valores $x = 0$, $x = 2$ e $x = -4$.
2. b) Determina o valor de $x$ (objeto) cuja imagem é $f(x) = 6$.
3. c) O ponto $P(-1; -1,5)$ pertence ao gráfico da função? Justifica a tua resposta realizando os cálculos necessários.

Observa a seguinte tabela de valores que relaciona duas grandezas, $A$ e $B$:

Grandeza A ($x$)	-2	-1	0	1	2
Grandeza B ($y$)	5	2	1	2	5

1. a) Encontra uma expressão analítica (fórmula) que relacione $y$ com $x$.
2. b) Indica se é uma função e justifica porquê.
3. c) Determina os pontos de interseção com os eixos.
4. d) Se ampliarmos a tabela com o valor $x = 1$ e lhe atribuirmos $y = 3$, continuaria a ser uma função? Justifica a resposta.

Para que um gráfico represente uma função, qualquer reta vertical que tracemos deve cortar o gráfico num único ponto. Utiliza este "teste da reta vertical" para decidir qual dos seguintes gráficos NÃO é uma função:

Justifica a tua escolha explicando o que acontece no gráfico escolhido ao traçar uma reta vertical.

Observe os seguintes gráficos representados no plano cartesiano. Utilizando o critério da reta vertical, indique justificadamente qual deles representa uma função e qual não representa.

Analise os seguintes gráficos e determine se representam uma função ou não. Justifique a sua resposta utilizando o conceito de relação entre variável independente e dependente.

1. a) $x^2 + y^2 = 25$ (Uma circunferência de raio 5 centrada na origem).
2. b) $y = \sqrt{x}$ (Considerando apenas a raiz positiva).
3. c) Uma linha vertical no plano cartesiano que passa por $x = 4$.
4. d) Uma parábola na horizontal cuja equação é $x = y^2$.

A Maria está a controlar o consumo de bateria do seu smartphone enquanto joga um jogo eletrónico. O seguinte gráfico mostra a percentagem de bateria restante em função do tempo que está a jogar (em minutos):

A partir do gráfico, responde:

1. a) Que percentagem de bateria tinha ao começar a jogar (tempo = $0$)?
2. b) Quanta bateria resta após $20$ minutos de jogo?
3. c) Se a bateria chega a $0\%$, quantos minutos esteve a jogar no total?

Observe os pontos representados no seguinte referencial cartesiano, que mostram a temperatura de uma estufa durante as primeiras horas da manhã:

Indique as coordenadas $(x, y)$ dos quatro pontos marcados no gráfico e explique o que significa cada uma delas no contexto do problema. (Exemplo: À hora $1$, a temperatura é de... ).

Um caminhante regista a percentagem de bateria restante no seu telemóvel ao longo de uma caminhada pela montanha. O gráfico resultante é o seguinte:

Perante o gráfico, responde:

1. a) Quais são as variáveis independente e dependente? Indica as unidades de medida.
2. b) Qual era a percentagem de bateria no início da caminhada?
3. c) É uma função crescente ou decrescente? Qual é o significado físico disso no contexto do problema?
4. d) Estima quanto tempo passou quando o telemóvel tem exatamente $50$% de carga.

O preço de uma subscrição mensal de uma plataforma de séries é de $9$ €, mas o primeiro mês tem uma promoção e custa apenas $3$ €.

1. a) Elabore uma tabela que relacione o número de meses de subscrição (de $1$ a $4$ meses) com o gasto total acumulado.
2. b) Represente estes quatro pontos num sistema de eixos cartesianos.
3. c) Faz sentido unir os pontos com uma linha contínua? Explique porquê.

A seguinte tabela mostra a quantidade de água (em litros) que resta numa piscina desmontável enquanto está a ser esvaziada por meio de uma bomba de extração:

Tempo (minutos)	0	5	10	15	20
Água (litros)	4500	3600	2700	1800	900

1. a) É uma relação funcional? Explica porquê.
2. b) Representa os pontos num sistema de eixos coordenados, escolhendo uma escala adequada.
3. c) Se a tendência se mantiver constante, quanto tempo levará a piscina a esvaziar completamente?
4. d) Que volume de água haverá aos $12$ minutos após o início do esvaziamento?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Considere a relação que associa a cada número inteiro $x$ o seu valor absoluto mais três unidades, isto é, $y = |x| + 3$.

1. a) Elabore uma tabela de valores para os números inteiros compreendidos entre $-3$ e $3$.
2. b) Represente os pontos obtidos num referencial cartesiano.
3. c) Faz sentido unir os pontos com uma linha contínua se o enunciado diz que $x$ é um número inteiro? Explique porquê.
4. d) Indique qual seria o contradomínio (conjunto de valores que a variável dependente assume) com base na sua tabela e no seu gráfico.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um programador de videojogos está a desenhar o sistema de recompensas de um novo nível. A quantidade de "Créditos Estelares" ($C$) que um jogador recebe depende do tempo ($t$) em minutos que demora a completar uma missão, segundo a relação:

$$C(t) = \frac{600}{t-5}$$

A figura mostra o gráfico desta relação para os tempos que o jogo permite.

1. a) Indica de forma fundamentada se esta relação é uma função para qualquer valor de $t$ maior do que zero.

1. b) Se o tempo mínimo para completar a missão fisicamente é de 6 minutos e o máximo permitido pelo servidor é de 60 minutos, determina o domínio e o contradomínio desta função neste contexto real.

1. c) O que acontece com a recompensa à medida que o jogador se aproxima do tempo de 5 minutos? Faria sentido que o domínio incluísse o valor $t = 5$?

Pretende-se construir uma moldura retangular de madeira para um espelho. Dispomos de uma ripa de madeira de $4$ metros de comprimento total para fazer todo o contorno.

1. a) Se designarmos por $x$ o comprimento da base da moldura (em metros), exprime a função $A(x)$ que calcula a área delimitada pela moldura.
2. b) Qual é o domínio desta função, tendo em conta as restrições físicas do problema?
3. c) Calcula a área quando a base mede $0,5 m$ e quando mede $1,5 m$.
4. d) Para que valor de $x$ se obtém a área máxima? Que forma geométrica tem a moldura nesse caso?

Um depósito de água tem a forma de um cone invertido. Está a ser enchido com água a um ritmo constante. A relação entre o volume de água ($V$) e a altura que a água atinge ($h$) é dada pela função:

$$V(h) = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (0,5h)^2 \cdot h$$

1. a) Simplifique a expressão da função $V(h)$.
2. b) É uma função linear? Justifique a sua resposta observando o grau da variável $h$.
3. c) Calcule o objeto cuja imagem é $V = \frac{2\pi}{3}$, ou seja, a altura $h$ necessária para ter esse volume.
4. d) Se o depósito tem uma altura total de $4 metros$, qual é o domínio e o contradomínio da função nesta situação?

Uma empresa de entregas com drones cobra pelos seus serviços da seguinte forma: um custo fixo de $5\,€$ por gestão e, além disso, $2\,€$ por cada quilograma de peso. No entanto, se o pacote ultrapassar os $10\,\text{kg}$, o custo por quilograma adicional (apenas os quilogramas que passem de 10) reduz-se para metade.

1. a) Escreve a função $P(x)$ que representa o preço total do envio em função dos quilogramas $x$ do pacote. Atenção: a função deve ter duas expressões (uma função definida por ramos).

1. b) Calcula $P(8)$ e $P(15)$.

1. c) Representa graficamente a função.

1. d) Se um cliente pagou $31\,€$, quantos quilogramas pesava o seu pacote?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Uma operadora de telecomunicações oferece um tarifário para adolescentes chamado "Gamer Pro". O custo mensal ($C$) em euros depende dos Gigabytes ($g$) consumidos:

• Os primeiros $20\ \text{GB}$ são gratuitos (incluídos na mensalidade fixa de $15\ €$).

• A partir de $20\ \text{GB}$, cada Gigabyte extra custa $1,5\ €$, mas apenas até um máximo de $50\ \text{GB}$ de consumo total.

• Se forem consumidos mais de $50\ \text{GB}$, a velocidade é reduzida e não se cobra mais nada.

1. a) Representa graficamente a função $C(g)$ para um consumo entre $0$ e $80\ \text{GB}$.

1. b) Define a função mediante uma expressão analítica por ramos.

1. c) Indica os intervalos onde a função é constante e onde é crescente.

1. d) Qual é o domínio e o contradomínio desta função?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Considere a relação que associa a cada número real $x$ a sua distância ao número inteiro mais próximo. Por exemplo, se $x = 2,3$, a sua distância ao inteiro mais próximo (2) é $0,3$. Se $x = 2,8$, a sua distância ao inteiro mais próximo (3) é $0,2$.

1. a) Represente graficamente esta relação no intervalo $x \in [0, 3]$.
2. b) Explique porque é que esta relação é uma função.
3. c) Determine o contradomínio da função.
4. d) É uma função periódica? Em caso afirmativo, indique qual é o seu período.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.