Frações e decimais

Observe a seguinte ilustração que representa o nível de carga da bateria de um telemóvel.

1. Escreva a fração que representa a parte carregada da bateria em relação ao total.

2. Simplifique essa fração até obter a sua fração irredutível.

3. Se a bateria tem uma capacidade total de $4000 \text{ mAh}$, quantos mAh de energia ficam disponíveis?

Indique se os seguintes pares de frações são equivalentes. Para justificar a sua resposta, utilize o método do produto cruzado (multiplicação cruzada) ou simplifique ambas as frações até obter a fração irredutível.

1. a) $\frac{3}{5}$ e $\frac{9}{15}$
2. b) $\frac{4}{7}$ e $\frac{10}{21}$
3. c) $\frac{-2}{3}$ e $\frac{8}{-12}$

Classifique os seguintes números decimais em decimais exatos, dízimas periódicas simples ou dízimas periódicas compostas. Depois, converta os dois primeiros (itens a e b) na sua correspondente fração geratriz.

1. a) $2,5$
2. b) $1,333...$
3. c) $4,1252525...$
4. d) $0,08$

O Mateo tem de calcular a fração geratriz da dízima infinita periódica mista $0,3\widehat{8}$ para resolver uma atividade na aula. No seu caderno, escreveu o seguinte:

$$0,3\widehat{8} = \frac{38}{90} = \frac{19}{45}$$

1. Localiza o erro que o Mateo cometeu no numerador e explica, de forma fundamentada, por que motivo o procedimento dele está incorreto.

2. Aplica a regra correta (subtraindo ao número sem vírgula a parte que não se repete) para determinar a fração geratriz e simplifica-a até obteres a fração irredutível.

3. Efetua à mão a divisão do numerador pelo denominador da fração que obtiveste para verificar que reproduz efetivamente a dízima $0,3888\dots$

Calcule o valor exato da seguinte expressão, convertendo primeiro todos os números decimais na sua fração geratriz. Não utilize aproximações decimais durante o processo.

$$ \frac{1,2 - 0,\widehat{6}}{1 - 0,8\widehat{3}} : 3^{-1} $$

Seja $x$ uma dízima infinita periódica mista cuja parte inteira é 0.

Sabendo que:

• A sua parte não periódica tem 2 algarismos.

• O seu período tem 1 algarismo.

• A fração geratriz irredutível desse número tem como denominador 900.

• O número satisfaz: $\frac{1}{8} < x < \frac{1}{7}$

Determina todos os valores possíveis de $x$ e expressa-os na forma de fração e na forma de numeral decimal.

Efetue as seguintes operações combinadas com frações. Lembre-se de simplificar o resultado final sempre que possível e respeite a ordem das operações (primeiro parênteses, depois multiplicações/divisões e, finalmente, adições/subtrações).

1. a) $\frac{2}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5}$
2. b) $\left( \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \right) : \frac{5}{2}$
3. c) $\frac{5}{6} - \frac{1}{2} + \frac{2}{3}$

Efetue as seguintes operações combinadas com frações, respeitando a ordem das operações. Lembre-se de simplificar o resultado final até obter a fração irredutível.

$$ \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \right)^{-2} + \frac{5}{3} \cdot \left( \frac{2}{5} - 1 \right) - \frac{1}{2} : \frac{3}{4} $$

Calcule o valor exato da seguinte expressão, convertendo previamente todos os números decimais na sua fração geratriz irredutível e simplificando o resultado passo a passo:

$$ \frac{1,1\widehat{6} - \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} \cdot 0,1}{2 - \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}} + \sqrt{0,\widehat{4}} $$

Nota: Lembra-te de respeitar a ordem das operações e de trabalhar com frações durante todo o processo para evitar erros de arredondamento.

Um grupo de amigos compra uma pizza gigante para o jantar.

• Ana come $\frac{1}{6}$ da pizza.

• Carlos come $\frac{2}{6}$ da pizza.

• Beatriz come $\frac{1}{3}$ da pizza.

1. a) Que fração da pizza comeram eles juntos? (Lembra-te de reduzir ao menor denominador comum, se necessário).
2. b) Que fração da pizza sobrou?

Calcule a fração irredutível equivalente a cada uma das seguintes percentagens e números decimais.

1. a) $25\%$
2. b) $0,75$
3. c) $10\%$
4. d) $1,5$

Numa escola de 500 alunos, foi realizado um inquérito sobre os seus desportos favoritos. Os resultados são os seguintes:

• $\frac{1}{2}$ dos alunos prefere futebol.

• $\frac{3}{10}$ dos alunos prefere basquetebol.

• Os restantes alunos preferem outros desportos.

1. a) Quantos alunos preferem futebol?
2. b) Quantos alunos preferem basquetebol?
3. c) Que fração do total de alunos prefere «outros desportos»?

O João esteve a rever o armazenamento do seu telemóvel, que tem uma capacidade total de $128 \text{ GB}$. Observa a seguinte distribuição dos seus dados:

1. O sistema operativo e as aplicações pré-instaladas ocupam $\frac{1}{8}$ do total.

2. As fotos e os vídeos das suas férias ocupam $\frac{2}{5}$ do restante (o que fica livre após descontar o sistema).

3. Os seus jogos ocupam $\frac{1}{4}$ do que restava após guardar as fotos.

Que fração do total representa o espaço que ele ainda tem livre? Quantos gigabytes (GB) são? Apoia-te no esquema seguinte para visualizares o problema.

Três amigos, Ana, Beto e Carla, decidem comprar um presente de aniversário que custa $120 \text{ €}$.

• A Ana contribui com $\frac{2}{5}$ do total.

• O Beto contribui com $\frac{1}{3}$ do total.

• A Carla contribui com o restante.

1. a) Que fração do total contribui a Carla?
2. b) Quantos euros paga cada um?
3. c) Se tivessem decidido pagar em partes iguais, que fração do total teria pago cada um e quanto dinheiro isso representaria?

Um servidor de armazenamento na nuvem sofreu uma série de carregamentos massivos de dados e eliminações acidentais durante o fim de semana.

1. No sábado de manhã, o servidor estava cheio até $\frac{3}{4}$ da sua capacidade total.

2. Ao meio-dia, um script automático eliminou $\frac{1}{5}$ dos dados armazenados nesse momento.

3. À tarde, foram enviados novos ficheiros, ocupando $\frac{2}{3}$ da capacidade que tinha ficado livre após a eliminação.

Se no final do dia ainda restavam 120 GB de espaço livre no disco rígido do servidor:

a) Que fração do total do disco representa o espaço livre final?

b) Qual é a capacidade total de armazenamento do servidor em GB?

Represente na reta numérica a seguir, de forma aproximada, os números racionais indicados abaixo.

Números a representar:

• $A = \frac{3}{2}$

• $B = -\frac{1}{2}$

• $C = \frac{3}{4}$

• $D = -1,5$

Classifique os seguintes números no menor conjunto numérico ao qual pertencem ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ ou $\mathbb{Q}$) e, para aqueles que forem decimais (exatos ou dízimas periódicas), determine a respetiva fração geratriz simplificada.

1. a) $4,25$
2. b) $-7$
3. c) $3,1\widehat{6}$
4. d) $5,\widehat{27}$
5. e) $-\frac{18}{3}$

Depois de obter as frações, ordene-as da menor para a maior.

Procura uma fração irredutível positiva $\frac{n}{d}$ que cumpra em simultâneo as quatro condições seguintes:

• O denominador $d$ é um número de um só algarismo ($d < 10$).

• Ao dividir $n$ por $d$, obtém-se uma dízima infinita periódica simples cujo período tem um único algarismo.

• O valor da dízima está compreendido estritamente entre $1,5$ e $2$ ($1,5 < \frac{n}{d} < 2$).

• A soma do numerador com o denominador é igual a $25$ ($n + d = 25$).

• Justifica que algarismos não podem ser, em caso algum, o denominador $d$ se queremos que a dízima seja periódica simples.

• Deduz os valores exatos de $n$ e de $d$ descartando com argumentos matemáticos as opções que não cumpram todas as pistas.

• Escreve a fração definitiva, verifica que é irredutível e expressa-a na forma de dízima indicando o seu período.

Encontra dois números racionais e dois números irracionais que estejam estritamente compreendidos no intervalo:

$$ \left( \frac{13}{9} \, , \, 1,4\widehat{5} \right) $$

Explica detalhadamente o procedimento que seguiste para os encontrar e demonstra que, efetivamente, pertencem a esse intervalo.

Temos duas balanças diferentes.

• Balança A: É utilizada num laboratório e, ao pesar uma proveta, dá-nos um valor de $24,5 \text{ g}$. O valor real exato é $\frac{49}{2} \text{ g}$.

• Balança B: É utilizada num armazém e, ao pesar uma caixa, dá-nos um valor de $5,4 \text{ kg}$. O valor real exato é $\frac{16}{3} \text{ kg}$.

Calcule o erro absoluto e o erro relativo cometido em cada medição. Qual das duas medições é mais precisa? Justifique a sua resposta com base no erro relativo.

Num laboratório de química, estão a ser realizadas medições de precisão. Dois alunos, Alex e Bea, medem o comprimento de uma fibra microscópica.

• O valor real do comprimento da fibra é $2,345 \cdot 10^{-4}$ metros.

• Álex obtém uma medida de $2,3 \cdot 10^{-4}$ metros.

• Bea obtém uma medida de $2,4 \cdot 10^{-4}$ metros.

Responde, justificando as tuas respostas com cálculos:

a) Calcula o erro absoluto cometido por cada aluno. Expressa o resultado em notação científica.

b) Calcula o erro relativo de cada medição e expressa-o em percentagem.

c) Com base no erro relativo, qual das duas medições é mais precisa e porquê?

d) Se truncarmos o valor real às décimas milésimas, coincide com o arredondamento às décimas milésimas? Explica.

Para montar uma estante na aula de Educação Tecnológica, a Sofia precisa de emendar duas ripas de madeira. A primeira ripa mede $1,\widehat{6}\text{ m}$ de comprimento e a segunda ripa mede exatamente $\frac{9}{4}\text{ m}$.

1. Antes de efetuar cálculos com frações, faz uma estimativa mental aproximando cada medida a um número decimal com uma única casa decimal (décimas) e soma-os. Quanto mede aproximadamente a junção de ambas as ripas?

2. Determina a fração geratriz irredutível de $1,\widehat{6}$ e calcula a soma exata com a fração $\frac{9}{4}$, expressando o resultado final sob a forma de fração irredutível.

3. Converte a fração irredutível resultante para a forma decimal e compara-a com a tua estimativa inicial. Foi uma estimativa razoável? Justifica a que se deve a pequena diferença.

Deseja-se vedar um terreno retangular. Sabemos que o comprimento da sua base é de $\frac{15}{2}$ metros e a sua altura mede $\frac{2}{3}$ da medida da base.

1. a) Calcule o perímetro do retângulo em forma de fração e em forma decimal.
2. b) Calcule a área do terreno em metros quadrados ($\text{m}^2$).
3. c) Se o metro de vedação custa $8,50 \text{ €}$, quanto custará vedar todo o terreno?

Uma bactéria reproduz-se dividindo-se em duas a cada hora. Inicialmente, numa cultura há um número determinado de bactérias que ocupa $\frac{1}{64}$ da capacidade total da placa de Petri.

1. a) Se a cada hora a população duplica, que fração da placa estará ocupada após 3 horas? Expressa o resultado como uma potência de base 2.
2. b) Quantas horas no total terão de passar (desde o início) para que a placa esteja completamente cheia (ou seja, a fração seja 1)?
3. c) Se no início havia 500 bactérias (correspondentes a esses $\frac{1}{64}$), quantas bactérias haverá quando a placa estiver a metade da sua capacidade?

De acordo com os dados do boletim hidrológico de uma bacia hidrográfica portuguesa, uma albufeira tem uma capacidade máxima de $180\text{ hm}^3$. Após as últimas chuvas, a água armazenada distribui-se do seguinte modo:

• A água destinada ao consumo urbano representa $22,\widehat{2}\%$ da capacidade total da albufeira.

• A água reservada para rega agrícola equivale exatamente a $\frac{5}{12}$ da capacidade total da albufeira.

• O volume restante de água armazenada fica reservado como caudal ecológico do rio.

• Transforma a percentagem de consumo urbano ($22,\widehat{2}\%$) numa fração geratriz irredutível. Lembra-te de que uma percentagem equivale a uma fração com denominador 100.

• Calcula quantos hectómetros cúbicos ($\text{hm}^3$) de água correspondem exatamente a cada um dos três usos: urbano, agrícola e caudal ecológico.

• Para evitar sanções ambientais, a regulamentação exige que o caudal ecológico armazenado supere a quarta parte do volume total da albufeira. A partir dos teus cálculos, determina de forma justificada se se cumpre essa exigência.

Observe a seguinte figura geométrica que representa um terreno quadrado dividido em diferentes parcelas de cultivo.

Calcule qual fração da área total do quadrado representa a área sombreada (cor laranja). Expresse o resultado como uma fração irredutível.

Três torneiras ($A$, $B$ e $C$) despejam água num reservatório, e um dreno ($D$) permite esvaziá-lo.

• A torneira $A$ enche o reservatório em 4 horas se funcionar sozinha.

• A torneira $B$ enche o reservatório em 6 horas se funcionar sozinha.

• A torneira $C$ enche o reservatório em 12 horas se funcionar sozinha.

• O dreno $D$ esvazia o reservatório cheio em 8 horas.

O reservatório está inicialmente vazio. Abrem-se as três torneiras ($A$, $B$, $C$) e o dreno ($D$) em simultâneo. No entanto, após 2 horas de funcionamento, fecha-se a torneira $A$ por causa de uma avaria, deixando as outras duas e o dreno a funcionar.

Calcule o tempo total (em horas e minutos) que o reservatório levará a encher completamente desde o início.

Um joalheiro dispõe de dois lingotes de uma liga de ouro e cobre.

• O primeiro lingote tem uma pureza tal que, para cada 5 partes de ouro, há 2 de cobre.

• O segundo lingote é de menor qualidade, tendo 3 partes de ouro para cada 4 partes de cobre.

O joalheiro funde uma certa quantidade do primeiro lingote com uma certa quantidade do segundo para obter um novo lingote de 420 gramas. Se ele deseja que a fração final de ouro no novo lingote seja exatamente $\frac{2}{3}$ do peso total:

Quantos gramas ele deve cortar e fundir de cada um dos dois lingotes originais?

Num teste, pede-se para calcular o valor exato da seguinte operação combinada:

$$M = \frac{0,\widehat{7} - 0,4\widehat{6}}{0,\widehat{3}}$$

Três alunos do 3.º ano do Ensino Secundário Obrigatório propõem caminhos distintos:

• O Hugo arredonda previamente cada dízima às centésimas ($0,78$; $0,47$ e $0,33$) e efetua os cálculos com a calculadora.

• A Elena afirma que se podem subtrair diretamente os períodos no numerador e depois dividir os números decimais resultantes.

• O David converte cada termo na sua fração geratriz irredutível e opera com as frações passo a passo.

• Aplica o método do Hugo e calcula o valor decimal que ele obtém.

• Aplica o método do Duarte utilizando frações geratrizes irredutíveis e simplifica o resultado até obteres uma fração irredutível. Obtém a sua expressão decimal periódica exata.

• Avalia criticamente as propostas:

a) Calcula o erro absoluto que o Hugo comete comparando o seu resultado com o valor exato do Duarte e reflete sobre o risco de arredondar antes de operar em situações de precisão científica ou financeira.

b) Justifica por que razão a ideia da Inês de operar diretamente com os algarismos das dízimas periódicas não é um método válido em geral para a multiplicação ou divisão.

Pretende-se conceber um código numérico a partir de uma fração irredutível $\frac{a}{b}$ (com $a, b \in \mathbb{N}$ e $a < b$) que cumpra as seguintes condições:

• O seu desenvolvimento decimal é uma dízima infinita periódica mista, com um anteperíodo de um algarismo e um período de dois algarismos: $0,x\widehat{yz}$.

• A fração está compreendida na reta real estritamente entre $0,15$ e $0,20$.

• O denominador $b$ é o menor número natural possível que permite obter essa estrutura decimal.

• Analisa a fração geratriz teórica $\frac{N - a}{990}$ e deduz que fatores primos deve conter obrigatoriamente o denominador simplificado $b$. Demonstra por que razão o menor denominador possível não pode ser $22$ e tem de ser $b = 55$.

• Encontra o único numerador $a$ que faz com que $\frac{a}{55}$ seja irredutível e se situe no intervalo $(0,15;\; 0,20)$. Determina o seu desenvolvimento decimal identificando o anteperíodo e o período.

• Determina a fração geratriz irredutível do número $0,1\widehat{9}$. Tendo em conta o resultado, classifica-o no conjunto numérico mais restrito a que pertence ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ ou $\mathbb{Q}$) e escreve um exemplo de número irracional que esteja situado estritamente entre a tua fração $\frac{a}{55}$ e este número $0,1\widehat{9}$.