Exercícios: Semelhança de triângulos retângulos

Num triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide-a em dois segmentos que medem $4$ cm e $9$ cm. Calcule o comprimento dessa altura utilizando o teorema correspondente.

A hipotenusa de um triângulo retângulo mede $25$ cm e a projeção de um dos seus catetos sobre ela mede $9$ cm. Calcule o comprimento desse cateto aplicando o teorema do cateto.

A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo mede $6$ cm. Se um dos segmentos em que divide a hipotenusa mede $3$ cm, quanto mede o outro segmento da hipotenusa?

Um cateto de um triângulo retângulo mede $8$ cm e a sua projeção ortogonal sobre a hipotenusa mede $3,2$ cm. Determine o comprimento total da hipotenusa.

Dois triângulos retângulos são semelhantes. O primeiro tem catetos que medem $3$ cm e $4$ cm. Se o cateto menor do segundo triângulo mede $9$ cm, quanto mede a hipotenusa deste segundo triângulo?

Dois esquadros de desenho (que têm a forma de um triângulo retângulo escaleno) são semelhantes. Se a hipotenusa do esquadro maior é o triplo da do esquadro menor, quantas vezes maior é a área do esquadro grande em relação ao pequeno?

Num triângulo retângulo, as projeções dos dois catetos sobre a hipotenusa medem $5$ cm e $12$ cm, respetivamente. Quanto mede a hipotenusa do triângulo?

Num exame de Matemática do 4.º de ESO, a Lucía tem de calcular o comprimento do cateto menor, $c$, de um triângulo retângulo. O enunciado indica que a projeção desse cateto sobre a hipotenusa mede $m = 3\text{ cm}$ e a projeção do outro cateto mede $n = 9\text{ cm}$. A Lucía escreve a seguinte resolução:

«Pelo teorema do cateto, sei que o quadrado do cateto é o produto das duas projeções: $c^2 = m \cdot n = 3 \cdot 9 = 27$, portanto $c = \sqrt{27} \approx 5,2\text{ cm}$».

1. a) Explica com precisão que erro conceptual a Lucía cometeu e que teorema ou fórmula confundiu.
2. b) Corrige o procedimento e calcula o valor exato do cateto $c$ sob a forma de radical simplificado e a sua aproximação arredondada às décimas.

Num triângulo retângulo, a altura traçada sobre a hipotenusa divide-a em dois segmentos de comprimentos $m = 2\text{ cm}$ e $n = 10\text{ cm}$.

1. a) Antes de operar, estima fundamentadamente entre que dois números inteiros consecutivos deve situar-se o comprimento da altura $h$. Achas que $h$ será maior, menor ou igual a metade da hipotenusa ($(m+n)/2 = 6\text{ cm}$)? Justifica a tua previsão.
2. b) Aplica o teorema correspondente para calcular o valor exato da altura $h$ e obtém a sua aproximação com duas casas decimais.
3. c) Verifica se o teu cálculo confirma a estimativa realizada na alínea a) e explica por que razão, em qualquer triângulo retângulo não isósceles, a altura sobre a hipotenusa é sempre estritamente menor do que a metade dessa hipotenusa.

No projeto de uma asna para um telhado de duas águas em forma de triângulo retângulo, a viga vertical (que atua como altura relativa à hipotenusa) mede $2,4$ m e separa a viga inferior (hipotenusa) em dois segmentos, um dos quais mede $1,8$ m. Calcule o perímetro total da estrutura externa da asna.

Para medir a altura de um edifício, um estudante coloca um espelho plano no chão a $15$ m da base do edifício. Ao recuar $1,2$ m a partir do espelho, vê a parte mais alta do edifício refletida nele. Se os olhos do estudante estão a $1,6$ m do chão, qual é a altura do edifício?

Uma rampa de acessibilidade tem um comprimento total de $12$ m apoiada sobre o solo e vence um desnível máximo de $1,5$ m. Se uma cadeira de rodas avançou $4$ m sobre a rampa desde o seu início na parte inferior, a que altura se encontra em relação ao nível do solo?

Numa câmara escura artesanal de $20$ cm de profundidade, forma-se a imagem invertida de uma árvore que se encontra a $15$ m do orifício estenopeico. Se a imagem formada no fundo da câmara tem uma altura de $8$ cm, qual é a altura real da árvore, em metros?

A vela principal de um veleiro tem a forma de um triângulo retângulo. A costura que marca a altura relativa ao vértice do ângulo reto, até à hipotenusa, mede $6$ m. Se a projeção do cateto menor da vela sobre a hipotenusa é de $4,5$ m, calcule a área total da vela em metros quadrados.

Um arco de ponte de pedra tem a forma de uma semicircunferência perfeita com um diâmetro de $20$ m. A $4$ m de uma das extremidades da ponte, é necessário colocar um pilar vertical que vá do chão até ao arco. Utilizando o teorema da altura, determine que comprimento exato deve ter esse pilar.

Numa mesa de bilhar retangular, bates numa bola sem efeito contra uma das tabelas, de modo que faz ricochete formando dois triângulos retângulos semelhantes na sua trajetória. A bola parte de uma posição situada a $40\text{ cm}$ dessa tabela e, após o ricochete, chega a um ponto situado a $60\text{ cm}$ da mesma tabela. Se a distância longitudinal total que a bola avança na direção paralela à tabela é de $150\text{ cm}$, determina:

1. a) A distância longitudinal percorrida pela bola antes do ricochete.
2. b) A distância longitudinal percorrida depois do ricochete.

No parque de Monsanto, em Lisboa, projeta-se construir um módulo para skate cuja secção lateral é um triângulo retângulo apoiado sobre o solo horizontal, que atua como hipotenusa e mede $3,2\text{ m}$ de comprimento. Para reforçar a estrutura de madeira, colocar-se-á uma viga de aço vertical a partir do vértice superior perpendicularmente ao solo (atuando como altura sobre a hipotenusa). As plantas indicam que essa viga divide a base em dois troços, sendo o troço mais longo exatamente o triplo do troço curto.

1. a) Modela a situação identificando os elementos geométricos do triângulo ($a$, $m$, $n$, $h$) e calcula o comprimento exato de cada um dos dois troços do solo.
2. b) Calcula a altura que deve ter a viga vertical de reforço e o comprimento das duas superfícies inclinadas da rampa (os catetos). Arredonda os resultados ao centímetro.
3. c) Se a regulamentação municipal de segurança para pistas de iniciação exige que a altura total não ultrapasse os $1,5\text{ m}$, determina fundamentadamente se o projeto cumpre a regulamentação.

Num triângulo retângulo conhecemos com exatidão os comprimentos dos seus dois catetos: $b = 15\text{ cm}$ e $c = 20\text{ cm}$. Para encontrar a altura relativa à hipotenusa, $h$, dois alunos propõem caminhos distintos:

• Método do Tomás: Calcula primeiro a hipotenusa $a$ através do teorema de Pitágoras. Depois, usa o teorema do cateto para encontrar as duas projeções, $m$ e $n$, sobre a hipotenusa. Finalmente, calcula $h$ aplicando o teorema da altura ($h^2 = m \cdot n$).

• Método da Leonor: Calcula primeiro a hipotenusa $a$ através de Pitágoras. De seguida, iguala duas formas de expressar a área do triângulo (o produto dos catetos a dividir por dois e o produto da hipotenusa pela altura a dividir por dois: $\frac{b \cdot c}{2} = \frac{a \cdot h}{2}$) para isolar $h$ diretamente.

1. a) Desenvolve passo a passo ambos os métodos e verifica que se obtém um resultado idêntico.
2. b) Se os catetos medissem valores com decimais não exatos (por exemplo, $b = 13,4\text{ cm}$ e $c = 18,1\text{ cm}$), qual dos dois métodos seria mais vantajoso e menos propenso a acumular erros de arredondamento? Justifica a tua escolha analisando o número de passos e as operações necessárias em cada caso.

Num terreno com a forma de um triângulo retângulo, foi aberta uma vala de rega que coincide com a altura relativa à hipotenusa e mede $12$ m. Se a razão entre os dois segmentos em que esta vala divide a hipotenusa é $\frac{9}{16}$, calcule as dimensões dos três lados que delimitam o terreno.

Num triângulo retângulo, a projeção do cateto menor sobre a hipotenusa mede $x$ cm, a projeção do cateto maior mede $(x+5)$ cm e a altura relativa à hipotenusa mede $(x+2)$ cm. Proponha a equação correspondente, encontre o valor de $x$ e calcule a área total do triângulo.

Dois postes verticais de alturas $a = 3$ m e $b = 6$ m estão separados por uma distância desconhecida. Estendem-se dois cabos esticados a partir da base de cada poste até à extremidade superior do outro poste. Utilizando a semelhança dos triângulos retângulos que se formam, demonstre que a altura $h$ a que os cabos se cruzam é independente da distância que separa os postes e calcule o seu valor.

Num triângulo retângulo de catetos $8$ cm e $6$ cm, inscreve-se um quadrado de modo que um dos seus vértices coincida com o ângulo reto do triângulo, e os dois lados do quadrado que formam esse vértice fiquem sobre os catetos. Calcule a medida do lado do quadrado $x$ utilizando a semelhança dos triângulos retângulos que se formam.

A área de um painel solar com forma de triângulo retângulo é de $150$ dm$^2$ e a altura relativa à sua hipotenusa mede $12$ dm. Propondo um sistema de equações com as projeções dos catetos, determine o comprimento exato dos dois catetos do painel solar.

Num triângulo retângulo, a razão entre os quadrados dos catetos é $\frac{b^2}{c^2} = \frac{9}{16}$. Se a hipotenusa mede $50$ cm, utiliza a relação de proporcionalidade deduzida a partir dos teoremas do cateto para encontrares primeiro a medida das projeções de ambos os catetos sobre a hipotenusa e, posteriormente, o comprimento exato dos catetos.

Um copo cónico de vidro tem $15$ cm de profundidade total e $6$ cm de raio na sua abertura superior. Enche-se de água até que o líquido atinja uma altura de $10$ cm medida a partir do fundo (vértice inferior). Calcule o raio da superfície circular da água utilizando a semelhança de triângulos retângulos que se formam com o eixo central do copo.

Se considerarmos que a Terra é uma esfera de raio $R = 6371$ km, e uma pessoa se encontra num balão aerostático a uma altura $h = 2$ km sobre a superfície, a linha de visão tangente à superfície forma um triângulo retângulo no ponto do horizonte. Utiliza o teorema do cateto (ou o de Pitágoras em triângulos semelhantes) para encontrar a distância retilínea $d$ do balão aerostático até ao horizonte visível, arredondando o resultado às centésimas.

Recorda que numa equação quadrática unitária $x^2 - S\cdot x + P = 0$, o coeficiente $S$ representa a soma das suas duas soluções e o termo independente $P$ representa o seu produto.

1. a) Num triângulo retângulo, a hipotenusa completa é a soma das projeções ($a = m + n$) e o quadrado da altura sobre a hipotenusa é o produto dessas projeções ($h^2 = m \cdot n$). Sem resolver a equação, deduz o valor da hipotenusa $a$ e o da altura $h$ de um triângulo retângulo sabendo que as medidas das suas projeções $m$ e $n$ são as raízes da equação $x^2 - 13x + 36 = 0$ (com medidas em centímetros).
2. b) Formula o problema inverso: escreve a equação do segundo grau cujas soluções correspondam às projeções $m$ e $n$ de um triângulo retângulo que tem uma hipotenusa de $a = 25\text{ cm}$ e uma altura sobre a hipotenusa de $h = 12\text{ cm}$.
3. c) Resolve a equação que formulaste na alínea b) para encontrar $m$ e $n$, e calcula a partir delas os comprimentos exatos dos dois catetos do triângulo.

Num triângulo retângulo $ABC$ com ângulo reto em $A$, o cateto $b$ mede exatamente o dobro do cateto $c$ ($b = 2c$). Traça-se a altura $h$ sobre a hipotenusa, que divide esta em dois segmentos: $m$ (projeção do cateto menor $c$) e $n$ (projeção do cateto maior $b$). Essa altura divide o triângulo original em dois triângulos retângulos menores, $T_1$ e $T_2$.

1. a) Utilizando o teorema do cateto para ambos os catetos, demonstra de forma dedutiva que a projeção maior não é o dobro da menor, mas sim que se verifica $n = 4m$.
2. b) Demonstra, a partir do teorema da altura, que essa altura mede exatamente o dobro da projeção menor ($h = 2m$).
3. c) Uma equipa técnica cartografa uma parcela com estas proporções cuja hipotenusa mede no total $a = 45\text{ m}$. Calcula as medidas de $m$, $n$, $h$ e a razão exata entre a área de $T_2$ e a área de $T_1$. Explica como se deduz essa mesma razão de áreas diretamente a partir da semelhança de triângulos sem necessidade de calcular as áreas numéricas.