Raízes de polinómios

Avalie o polinómio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ para determinar analiticamente se os valores $x = 2$ e $x = -1$ são raízes dele.

Justifique, sem realizar nenhum cálculo complexo nem usar a regra de Ruffini, porque é que $x = 0$ é obrigatoriamente uma raiz do polinómio $V(x) = 5x^5 - 7x^3 + 2x^2 - 9x$.

Observe o gráfico da função polinomial $y = P(x)$ e escreva quais são as suas raízes reais com base nos pontos de interseção com os eixos.

Determine as raízes do polinómio que já se encontra fatorado: $S(x) = 3x(x - 5)(x + 2)^2$, indicando quais são simples e quais são múltiplas.

Utilize a regra de Ruffini para verificar se $x = 3$ é uma raiz do polinómio $Q(x) = 2x^4 - 5x^3 - 4x^2 + 7x - 6$.

Determine todas as raízes inteiras do polinómio de quarto grau $P(x) = x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12$ utilizando a regra de Ruffini de forma iterativa.

Sabe-se que o polinómio $R(x) = x^4 - 4x^3 + x^2 + 6x + k$ tem uma raiz em $x = 2$. Determine primeiro o valor do parâmetro $k$. Em seguida, verifique por meio da regra de Ruffini se $x = 2$ é uma raiz múltipla (dupla, tripla...) e encontre as demais raízes reais do polinómio.

Escreva todos os números inteiros que são candidatos a raízes do polinómio mónico $R(x) = x^4 + 3x^3 - 5x^2 + x - 12$, com base no seu termo independente.

Determine todas as raízes racionais do polinómio $R(x) = 3x^3 + 5x^2 - 4x - 4$. Para isso, indique primeiro a lista completa de frações candidatas e, em seguida, verifique quais anulam o polinómio.

Um designer 3D cria uma superfície curva cujo perfil de corte transversal é modelado pelo polinómio $P(x) = x^5 - 2x^4 - 6x^3 + 8x^2 + 5x - 6$. Determine todas as raízes deste perfil para saber em que pontos exatos ele interseta o eixo horizontal de referência.

Construa um polinómio de terceiro grau, desenvolvido e ordenado, que tenha como raízes exatas $x = 1$, $x = -3$ e $x = 4$, e cujo coeficiente principal seja $1$.

Escreva um polinómio de quarto grau, na sua forma desenvolvida, que tenha $x = 2$ como raiz dupla, $x = -1$ como raiz simples, que não tenha termo independente e cujo coeficiente do termo de maior grau seja $3$.

Sabendo que um polinómio de terceiro grau mónico $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ tem como raízes $x_1 = -1$, $x_2 = 2$ e $x_3 = 4$, determine o valor numérico do seu termo independente $c$ e do seu coeficiente de grau dois $a$. Justifique a sua resposta deduzindo-o a partir da forma fatorizada, sem necessidade de efetuar toda a multiplicação dos três binómios.

Demonstre de forma fundamentada que o polinómio $P(x) = x^4 + 3x^2 + 5$ não tem nenhuma raiz real, analisando o sinal que os seus diferentes termos assumem para qualquer valor de $x \in \mathbb{R}$.

Demonstre analiticamente que se um polinómio $P(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$ tem todos os seus coeficientes inteiros e tanto $P(0)$ como $P(1)$ resultam em números ímpares, então $P(x)$ não pode ter nenhuma raiz que seja um número inteiro. (Dica: raciocina sobre a paridade de $x$ quando ele é par e quando é ímpar).