Problemas com equações

Num torneio de eSports, a equipa do Alex conseguiu o triplo dos pontos da equipa da Salma. Se entre as duas equipas somaram um total de $152$ pontos, quantos pontos obteve cada equipa?

Um grupo de amigos compra bilhetes para um espetáculo. Os bilhetes de "plateia" custam $15$ € a mais que os de "bancada". Se comprarem um de cada tipo e o total da conta for de $85$ €, qual é o preço de cada bilhete?

Um estafeta de uma aplicação de comida ao domicílio leva na sua mochila o dobro de pizzas em relação ao número de hambúrgueres. Se no total transporta $12$ pedidos entre pizzas e hambúrgueres, quantos há de cada tipo?

Joana começou a poupar para comprar um tablet que custa $240$ €. Já tem guardados $60$ € e, a partir de agora, vai guardar $12$ € da sua mesada em cada semana. Quantas semanas serão necessárias para ter dinheiro suficiente para a compra?

A Aisha tem $4$ anos a mais do que o seu irmão mais novo, Tomás. Daqui a $6$ anos, a soma das idades de ambos será de $32$ anos. Calcule a idade atual de cada um, escrevendo uma equação do primeiro grau.

A soma de três números de dorsal de uma corrida, que são três números inteiros consecutivos, é igual a $63$. Que números levam esses três corredores na sua camisola?

Encontre três números inteiros consecutivos tais que a soma dos dois primeiros seja igual ao triplo do terceiro menos 14 unidades.

Atualmente, a idade de um pai é o triplo da idade da sua filha. Daqui a $12$ anos, a idade do pai será somente o dobro da idade da sua filha. Que idade tem cada um atualmente?

Determine um número natural tal que a diferença entre o seu quadrado e o seu triplo seja igual a $40$. A solução para este problema é única no conjunto dos números naturais? Justifique a sua resposta escrevendo a equação correspondente.

A idade atual de uma mãe é o quadrado da idade da sua filha. Daqui a $9$ anos, a idade da mãe será somente o triplo da idade que a filha tiver nesse momento. Determina as idades atuais de ambas.

Quer-se vedar uma horta escolar de forma retangular para proteger as plantações. Sabemos que o comprimento da horta mede $5$ metros a mais do que a largura e que, para a vedar completamente, foram necessários $38$ metros de vedação. Quais são as dimensões da horta?

Calcule o lado de um painel publicitário de forma quadrada sabendo que, se o seu lado aumentasse em $2$ metros, a sua área aumentaria em $16$ metros quadrados.

A Câmara Municipal de uma localidade quer vedar uma parcela retangular destinada a parque canino. Pelas características do terreno, o comprimento deve medir exatamente o triplo da largura, e dispõe-se de um orçamento fechado para comprar um rolo completo de $160\text{ m}$ de rede metálica.

1. a) Antes de calcular o que quer que seja, faz uma estimativa fundamentada: a largura poderia medir $30\text{ m}$? Justifica se com essa medida seria necessária mais rede do que a disponível, menos ou a quantidade exata.
2. b) Define a incógnita $x$, formula uma equação do primeiro grau que represente o perímetro total e resolve-a para determinar as dimensões exatas do parque (comprimento e largura).
3. c) Verifica se o resultado obtido confirma a tua estimativa inicial e calcula a área total que os cães terão para correr.

Está a ser projetada uma nova área de jogos retangular num parque municipal. Sabe-se que o comprimento da área deve ser $5$ metros maior que a largura. Se a área total destinada aos jogos é de $150$ $m^2$, calcule as dimensões (comprimento e largura) dessa área.

Calcule as dimensões de um triângulo isósceles sabendo que o lado desigual mede $4$ $cm$ a menos que cada um dos lados iguais e que o perímetro total é de $26$ $cm$. Depois de encontrar os lados, calcule a área do triângulo.

Um designer gráfico está a trabalhar no logótipo de uma nova empresa. O design consiste num retângulo central para o nome, rodeado por uma moldura decorativa de espessura uniforme $x$. O retângulo interior tem dimensões de $12\text{ cm}$ por $8\text{ cm}$. Se a área total do logótipo (incluindo a moldura) deve ser exatamente o dobro da área do retângulo interior, qual deve ser a espessura $x$ dessa moldura?

A área de um triângulo retângulo é de $30\text{ cm}^2$ e a sua hipotenusa mede $13\text{ cm}$. Calcule a medida dos dois catetos do triângulo.

Um criador de gado em Trás-os-Montes dispõe de $60\text{ metros}$ de cerca para delimitar um cercado retangular destinado ao pasto dos seus bezerros. Para poupar material, aproveitará um muro de pedra já existente, de modo que só precisa de vedar três lados: duas larguras iguais e um comprimento oposto ao muro. O seu objetivo é que o cercado tenha uma superfície de $400\text{ m}^2$.

Dois estudantes propõem formas diferentes de estruturar o problema:

• Método A: Chamar $x$ ao comprimento do lado paralelo ao muro, pelo que cada uma das duas larguras medirá $\frac{60 - x}{2}\text{ metros}$.

• Método B: Chamar $y$ ao comprimento de cada uma das duas larguras perpendiculares ao muro, pelo que o comprimento medirá $60 - 2y\text{ metros}$.

1. a) Escreve a equação do segundo grau obtida com cada método para calcular a área ($400\text{ m}^2$).
2. b) Analisa ambos os métodos: qual dos dois se revela algebricamente mais simples para operar à mão e porquê? Justifica a tua resposta considerando a presença ou ausência de denominadores.
3. c) Resolve a equação utilizando o método que consideraste mais vantajoso e determina as possíveis dimensões do cercado.
4. d) Interpreta o resultado: faz sentido físico existirem duas soluções válidas para as dimensões do cercado? Explica a forma que o recinto adotaria em cada caso.

Uma comunidade de regantes de Évora armazena água num reservatório retangular que mede $30\text{ m}$ de comprimento por $20\text{ m}$ de largura. Para enfrentar um período de seca, decidem ampliar o reservatório somando a mesma quantidade de metros, $x$, tanto ao comprimento como à largura. A nova superfície deve ser exatamente de $936\text{ m}^2$ e, por motivos de segurança ambiental, a regulamentação da bacia hidrográfica proíbe reservatórios que ultrapassem os $1000\text{ m}^2$.

1. a) Antes de resolver algebricamente, faz uma estimativa fundamentada do valor de $x$: calcula a área se $x = 5\text{ m}$ e se $x = 10\text{ m}$, e justifica entre que dois valores inteiros se deve situar a ampliação $x$.
2. b) Define a equação do segundo grau na sua forma geral $ax^2 + bx + c = 0$ que modela a situação e resolve-a passo a passo.
3. c) Analisa as duas soluções da equação: por que razão uma delas não tem sentido prático? Cumprem as dimensões finais do reservatório ampliado a regulamentação ambiental?
4. d) Se o custo de escavação e impermeabilização for de $35\text{ \euro}$ por cada metro quadrado de superfície adicionada em relação ao reservatório original, calcula o orçamento total de que a comunidade de regantes necessitará.

Dois ciclistas, Maria e Marcos, encontram-se a uma distância de $60$ $km$ e decidem encontrar-se num ponto intermédio. A Maria parte de $A$ em direção a Marcos a uma velocidade constante de $20$ $km/h$. Ao mesmo tempo, Marcos parte de $B$ em direção a Maria a uma velocidade de $10$ $km/h$. Quanto tempo demorarão a cruzar-se e a que distância do ponto $A$ ocorrerá o encontro?

Numa loja gourmet, quer-se misturar dois tipos de café. O café "Arábica" tem um preço de $12$ €/kg e o café "Robusta" custa $8$ €/kg. Se quisermos obter uma mistura de $20$ $kg$ que saia a um preço de $10,50$ €/kg, quantos quilogramas de cada tipo de café devemos utilizar?

Um grupo de amigos quer comprar um presente de aniversário que custa $120$ €. No início, era um número determinado de pessoas, mas no último momento entraram mais $2$ amigos, o que fez com que cada um tivesse de pagar $5$ € a menos. Quantos amigos havia inicialmente no grupo?

Uma empresa de entregas ecológica que opera em Lisboa oferece duas tarifas mensais para o comércio de proximidade:

• Tarifa Base: uma mensalidade fixa de $15\text{ \euro}$ por mês mais $4,50\text{ \euro}$ por cada envio realizado.

• Tarifa Eco-Plus: sem mensalidade fixa; cobra $7\text{ \euro}$ por envio para os primeiros $10$ envios do mês, e reduz o preço para $3,50\text{ \euro}$ por cada envio adicional a partir do décimo primeiro.

Uma livraria do bairro enviou no mês passado mais de $10$ encomendas e verificou que a fatura final teria sido exatamente a mesma com qualquer uma das duas tarifas.

1. a) Define a incógnita $x$ como o número total de envios mensais e escreve a expressão algébrica do custo total com cada tarifa para o caso em que $x > 10$.
2. b) Formula e resolve a equação correspondente para descobrir quantos envios a livraria realizou no mês passado.
3. c) A partir da solução, explica aos proprietários da livraria que tarifa lhes conviria contratar se preveem que os seus envios vão aumentar no próximo mês.

Duas cidades, $A$ e $B$, estão separadas por uma distância de $155\text{ km}$. Às 10:00 h, um ciclista parte de $A$ em direção a $B$ a uma velocidade constante de $20\text{ km/h}$. Uma hora e meia mais tarde, uma mota parte de $B$ em direção a $A$ a uma velocidade de $80\text{ km/h}$. A que horas se cruzarão e a que distância da cidade $A$ ocorrerá o encontro?

Num laboratório de química, são necessários $20\text{ litros}$ de uma solução ácida a $25\%$. O técnico dispõe de dois garrafões: um com uma mistura a $10\%$ de ácido e outro com uma mistura concentrada a $50\%$. Quantos litros de cada garrafão deve misturar para obter a concentração pretendida?

O Mário ganhou $1200\text{ €}$ num concurso de programação e dividiu essa quantia em duas partes para as depositar em dois produtos financeiros diferentes. O primeiro oferece um rendimento de $4\%$ ao ano, enquanto o segundo, mais arriscado, oferece $7\%$ ao ano. Se no final do ano os lucros totais obtidos foram de $63\text{ €}$, que quantia destinou a cada produto?

Duas tubagens ligadas a um reservatório podem enchê-lo juntas em $4\text{ horas}$. Se forem utilizadas separadamente, a tubagem de menor diâmetro demora $6\text{ horas}$ a mais do que a tubagem de maior diâmetro para encher o reservatório completo. Quanto tempo demoraria cada tubagem sozinha?

Para resolver o problema: «Maria tem $38$ anos e o seu filho Hugo tem $10$. Daqui a quantos anos a idade de Maria será exatamente o dobro da do seu filho?», o Tomás escreveu no seu exame:

$38 + x = 2 \cdot 10 + x$

1. a) Explica por palavras tuas os dois erros concetuais que o Tomás cometeu ao traduzir o enunciado para linguagem algébrica.
2. b) Define com precisão o que representa a incógnita $x$ e apresenta a equação correta.
3. c) Resolve a equação passo a passo e verifica que a solução responde com sentido à pergunta do enunciado.

Imagina que és professor de Matemática e deves criar uma questão para um exame de 3.º de ESO que cumpra exatamente estas três condições:

1. Deve ser sobre uma horta escolar retangular cuja área total seja de $140\text{ m}^2$.

2. O seu comprimento deve ser $4\text{ metros}$ maior do que a sua largura.

3. Deve resolver-se mediante uma equação do segundo grau que tenha uma solução positiva e uma solução negativa.

1. a) Redige o enunciado completo do problema de forma clara e precisa, sem o resolver no próprio enunciado.
2. b) Define a incógnita $x$, escreve a equação do segundo grau que se deduz do teu enunciado e resolve-a passo a passo.
3. c) Argumenta que critério geométrico os alunos devem aplicar para descartar uma das duas soluções matemáticas e determina as dimensões finais da horta escolar.

Desafio do tema. É viável organizar uma minifira juvenil sustentável no teu município? Transforma-te em gestor do projeto e apresenta um breve relatório de viabilidade estruturado em três fases:

1. Consumo e 1.º grau: Consulta no site da REN ou da E-Redes o preço médio do kWh de hoje. Com um custo fixo da banca de $12,50$ € e um gasto elétrico estimado de $1,20$ €/hora, formula e resolve uma equação do primeiro grau para calcular quantas horas podes ter aberto com um orçamento de $24,50$ €.

2. Espaço e sistemas: Desenha no GeoGebra ou em papel uma tenda retangular de $54\text{ m}^2$ onde o comprimento meça mais $3\text{ m}$ do que a largura ($x(x+3)=54$); determina as suas dimensões resolvendo a equação do segundo grau. Depois, formula um sistema linear sabendo que há $15$ bancas entre alimentação e oficinas ecológicas, e que pagam no total $330$ € ($30$ € e $15$ € cada uma, respetivamente) para calcular quantas há de cada tipo.

3. Inquérito e probabilidade: Pergunta a $10$ vizinhos se preferem ir na sexta-feira ou no sábado. Regista os dados numa folha de cálculo, calcula a probabilidade experimental de um vizinho preferir cada dia e redige a tua proposta final fundamentada.

Será valorizado:

• Precisão matemática na formulação e resolução algébrica de equações e sistemas.

• Obtenção rigorosa de dados reais e tratamento probabilístico com folha de cálculo ou GeoGebra.

• Coerência, clareza e sentido crítico nas conclusões do relatório final.