Comprimentos, áreas e volumes

Dois pentágonos são semelhantes com uma razão de semelhança $k = 3$. Se o perímetro do pentágono menor é de $15 \text{ cm}$ e a sua área é de $20 \text{ cm}^2$, calcule o perímetro e a área do pentágono maior.

A área de um triângulo é de $12 \text{ cm}^2$. Desenha-se um segundo triângulo semelhante ao primeiro, mas com os lados a medir exatamente metade. Calcule a área deste novo triângulo.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

A razão entre as áreas de dois hexágonos semelhantes é $\frac{16}{25}$. Determine qual é a razão de semelhança entre os seus lados correspondentes.

Existem dois cubos semelhantes. O volume do cubo menor é de $8 \text{ cm}^3$ e o volume do cubo maior é de $64 \text{ cm}^3$. Determine a razão de semelhança $k$ entre as arestas de ambos os cubos.

Dois campos de cultivo triangulares são semelhantes. As dimensões do campo menor são $30 \text{ m}$, $40 \text{ m}$ e $50 \text{ m}$, e a sua área é de $600 \text{ m}^2$. Se o perímetro do campo maior é de $360 \text{ m}$, calcule a área deste segundo campo.

Um mapa rodoviário está desenhado numa escala de $1:50\,000$. Se um troço reto de estrada mede $4 \text{ cm}$ no mapa, calcule quantos quilómetros mede esse troço na realidade.

Um terreno retangular tem uma área real de $400 \text{ m}^2$. Num plano urbanístico, esse mesmo terreno ocupa uma área de $4 \text{ cm}^2$. Calcule a escala numérica em que o plano está desenhado.

A Beatriz consulta no balcão eletrónico do Cadastro a planta à escala $1:500$ de um terreno retangular que a sua família quer vedar e semear com relva em Évora. Na planta, o terreno mede $4\text{ cm}$ de largura por $6\text{ cm}$ de comprimento. Para calcular a área real, a Beatriz faz a seguinte operação: «Como a área no papel é $4 \cdot 6 = 24\text{ cm}^2$, a área real do terreno será $24 \cdot 500 = 12\,000\text{ cm}^2 = 1,2\text{ m}^2$». Identifica e explica detalhadamente o duplo erro (geométrico e de senso comum) que a Beatriz comete, e calcula corretamente a área real do terreno em metros quadrados.

Num mapa topográfico com uma escala de $1:250\,000$, um parque natural ocupa uma extensão de $12 \text{ cm}^2$. Sabendo que $1 \text{ hectárea (ha)}$ equivale a $10\,000 \text{ m}^2$, calcule a extensão real do parque natural expressa em hectares.

Uma maquete de um carro desportivo é fabricada a uma escala de $1:24$. Se o carro real tem um comprimento de $4,8 \text{ m}$, determine qual é o comprimento da maquete expresso em centímetros.

A maquete de um monumento histórico foi construída numa escala de $1:40$. Se o volume da maquete é de $0,05 \text{ m}^3$ e a sua superfície exterior mede $1,2 \text{ m}^2$, determina o volume real do monumento em $\text{m}^3$ e a sua superfície real em $\text{m}^2$.

Uma designer imprime em 3D uma pequena figura de plástico que pesa $30 \text{ g}$. Ao ver o resultado, decide imprimir uma versão semelhante, mas ampliada para $150\%$ do seu tamanho original. Supondo que a densidade do preenchimento de plástico seja idêntica em ambas as impressões, calcule o peso da nova figura.

Duas garrafas de água têm formas semelhantes. A garrafa maior é $1,5$ vezes mais alta que a garrafa pequena. Se a garrafa pequena tem uma capacidade de $500 \text{ ml}$, determine a capacidade da garrafa maior.

Uma oficina artesanal de olaria em Caldas da Rainha fabrica bilhas de barro tradicionais semelhantes de dois tamanhos. O modelo padrão tem uma capacidade de $1\text{ litro}$ e pintá-lo com um verniz especial impermeável custa $3,50\text{ \euro}$. O artesão deseja desenhar um modelo gigante com uma capacidade de exatamente $8\text{ litros}$. Se o custo de envernizar é diretamente proporcional à superfície exterior da bilha e o cliente fixou um limite de despesa de $15\text{ \euro}$ para o envernizamento deste novo modelo:

1. a) Encontra a razão de semelhança linear $k$ que as dimensões da bilha gigante devem ter relativamente ao modelo padrão.
2. b) Determina se o custo do verniz do modelo gigante respeitará o orçamento fixado pelo cliente.

Uma marca de sopas comercializa o seu produto em duas latas cilíndricas semelhantes. A quantidade de folha de flandres necessária para fabricar a lata grande (a sua área superficial) é $4$ vezes maior do que a necessária para a lata pequena. Se a lata pequena contém $250 \text{ ml}$ de sopa, determine quantos litros contém a lata grande.

Uma bola de basquetebol regulamentar tem um diâmetro de $24 \text{ cm}$, enquanto uma bola de ténis tem um diâmetro de $6 \text{ cm}$. Supondo que ambas são esferas perfeitas, determine quantas vezes maior é a superfície da bola de basquetebol em relação à bola de ténis, e quantas vezes maior é o seu volume.

Um pintor quer realizar um mural numa parede, ampliando um esboço prévio. O esboço está desenhado sobre uma tela retangular de $20 \text{ cm}$ de largura por $30 \text{ cm}$ de altura. A parede destinada ao mural tem uma área total de $24 \text{ m}^2$ e o mural final será exatamente semelhante ao esboço, ocupando toda a parede. Quais serão as dimensões do mural em metros?

Uma pizzaria oferece as suas pizzas circulares em dois tamanhos semelhantes: média e familiar. A pizza média tem um diâmetro de $28 \text{ cm}$ e custa $8 \text{ €}$. Se o preço da pizza é estritamente proporcional à área que ocupa, determine que diâmetro deve ter a pizza familiar se o seu preço na ementa é de $18 \text{ €}$.

Um reservatório de água tem a forma de um cone invertido. Sabe-se que o líquido no seu interior atinge uma profundidade equivalente a $\frac{2}{3}$ da altura total do reservatório. Determine que fração do volume total do reservatório está atualmente cheia de água.

Uma fábrica de brinquedos produz pirâmides maciças de madeira. Pintar a superfície de uma pirâmide pequena custa $2,50 \text{ €}$ (o custo é diretamente proporcional à área da superfície) e, para o seu fabrico, utilizam-se $100 \text{ cm}^3$ de madeira. Se for fabricada uma pirâmide maior, semelhante à primeira, que requer $800 \text{ cm}^3$ de madeira, qual será o custo para pintar essa pirâmide grande?

A Grande Pirâmide de Gizé tinha originalmente uma altura aproximada de $146 \text{ m}$. Imagina que era construída uma réplica semelhante nas proximidades, mas projetada para ter exatamente metade do volume da pirâmide original. Calcula qual seria a altura exata dessa réplica, expressando o resultado por meio de radicais.

O ecrã de um smartphone tem uma área de $A \text{ cm}^2$. O fabricante lança um novo modelo "Pro" com exatamente a mesma proporção (ou seja, um ecrã semelhante), mas cuja diagonal é $20\%$ maior do que a do modelo padrão. Em que percentagem exata a área do ecrã aumenta? Adicionalmente, se todas as dimensões tridimensionais do telemóvel aumentarem $20\%$, em que percentagem aumentará o seu volume total?

Uma praça de forma quadrada tem um perímetro de $160 \text{ m}$. A Câmara Municipal decide remodelá-la para construir uma nova praça quadrada semelhante, de tal forma que a área pavimentada da nova praça seja exatamente o triplo da área da antiga. Calcule o perímetro da nova praça, dando o valor exato utilizando radicais.

Existem dois polígonos semelhantes. A área do primeiro polígono é $S_1 = 45 \text{ cm}^2$ e a área do segundo é $S_2 = 80 \text{ cm}^2$. Se a soma dos perímetros de ambos os polígonos é de $70 \text{ cm}$, determine o perímetro de cada um deles.

Uma estátua de bronze exposta numa praça tem uma massa de $432 \text{ kg}$. Na loja do museu vende-se uma réplica à escala fabricada exatamente com a mesma liga de bronze, cuja massa é de $2 \text{ kg}$. Se a área superficial da réplica é de $450 \text{ cm}^2$, determina a área superficial da estátua original expressa em $\text{m}^2$.

Na biologia, a relação entre a superfície e o volume de uma célula determina a sua capacidade de trocar nutrientes. Considere uma célula esférica de raio $r$. Se a célula crescer de forma que o seu novo raio seja $k \cdot r$ (com $k > 1$), demonstre matematicamente que a relação superfície/volume é reduzida por um fator de $\frac{1}{k}$. Em seguida, calcule o valor exato da nova relação superfície/volume se o raio original era de $2 \,\mu\text{m}$ e o fator de crescimento é $k = 3$.

Na biologia, a regra ecológica de Bergmann descreve a adaptação térmica dos animais através da relação entre a sua superfície corporal (por onde dissipam calor) e o seu volume (que gera calor). Considera dois mamíferos de silhueta semelhante e densidade idêntica: um rato-do-campo de comprimento $6\text{ cm}$ e uma lontra de comprimento $60\text{ cm}$. A energia metabólica que devem queimar por cada grama de massa corporal para manter constante a sua temperatura é proporcional ao quociente superfície/volume ($S/V$).

1. a) Antes de efetuar qualquer cálculo numérico, estima fundamentadamente: quem achas que deve queimar proporcionalmente mais alimento por dia relativamente ao seu próprio peso para não arrefecer, o rato ou a lontra? Formula uma hipótese qualitativa.
2. b) Sabendo que a razão de semelhança linear da lontra em relação ao rato é $k = 10$, deduz algebricamente como varia o quociente $S/V$ de um corpo quando os seus comprimentos se multiplicam por $k$ e calcula o valor da razão $\dfrac{(S/V)_{\text{rato}}}{(S/V)_{\text{lontra}}}$.
3. c) Verifica se a tua estimativa inicial estava correta e interpreta o resultado: se o rato necessita de ingerir diariamente o equivalente a $30\,\%$ da sua massa corporal em comida para compensar a sua perda térmica, que percentagem da sua própria massa corporal necessitaria de ingerir a lontra para o mesmo fim?

Uma escultora fundiu em bronze uma maquete maciça de $25\text{ cm}$ de altura para um monumento que será instalado numa praça pública. A maquete pesa $3,2\text{ kg}$ e aplicar uma pátina especial protetora sobre toda a sua superfície custou $6\text{ \euro}$. A comissão de urbanismo estabelece duas condições rigorosas para encomendar a escultura definitiva, que será uma figura à escala geometricamente semelhante e do mesmo bronze maciço:

1. Por motivos de segurança no transporte com grua, a massa total da escultura não pode ultrapassar os $1\,350\text{ kg}$.

2. A dotação económica máxima atribuída para a pátina protetora da escultura é de $216\text{ \euro}$ (o custo do tratamento por metro quadrado é idêntico ao da maquete).

Formula as inequações correspondentes a ambas as restrições em função da razão de semelhança $k$, determina o valor máximo admissível para $k$ e calcula a altura máxima que o monumento definitivo poderá ter. Justifica detalhadamente qual das duas restrições (o peso ou o orçamento da pátina) é a que impõe o limite real ao tamanho da obra.

Desafio do tema. Como medir o inacessível e reproduzi-lo à escala? Vais elaborar um relatório técnico calculando as dimensões reais de um elemento urbano próximo (árvore, candeeiro ou edifício) e as da sua maquete virtual.

1. Recolha de dados reais: Escolhe um dia de sol e mede com uma fita métrica o comprimento da sombra do elemento escolhido e, simultaneamente, a tua própria sombra e a tua altura (ou a de uma vara de $1\text{ m}$).

2. Geometria e cálculo: Modela os triângulos retângulos semelhantes formados pelos raios solares no GeoGebra ou numa folha de cálculo. Aplica o teorema de Tales para deduzir a altura do objeto. Com a calculadora e o teorema de Pitágoras, determina a distância desde o ponto mais alto do elemento até ao extremo da sua sombra.

3. Escala tridimensional: Associa o objeto a um sólido geométrico básico (cilindro, cone ou prisma) e estima o seu volume e área lateral reais. Se construísses uma maquete com razão de semelhança $k = 0,05$ ($1:20$), calcula a área de superfície e o volume que ocuparia aplicando as razões $k^2$ e $k^3$.

Apresenta o teu relatório com os dados obtidos, os cálculos justificados e uma captura de ecrã do modelo digital.

Será valorizado:

• Aplicação rigorosa de Tales e Pitágoras em triângulos retângulos semelhantes.

• Uso correto da calculadora e justificação das razões de semelhança em comprimentos ($k$), áreas ($k^2$) e volumes ($k^3$).

• Clareza do relatório técnico e uso adequado de ferramentas digitais (GeoGebra ou folha de cálculo).