Exercícios: Divisões proporcionais

Três amigos, Alex, Bea e Cris, participaram num torneio de videojogos por equipas e ganharam um baú com $240$ moedas de ouro virtuais. Decidiram dividir o saque de forma diretamente proporcional ao número de níveis que cada um superou: Alex superou $2$ níveis, Bea $3$ níveis e Cris $5$ níveis. Quantas moedas correspondem a cada um?

Uma associação juvenil recebeu uma subvenção de $1200$ € para organizar oficinas. O dinheiro deve ser dividido entre três grupos locais de forma diretamente proporcional ao número de voluntários que cada grupo possui: o Grupo A tem $10$ voluntários, o Grupo B tem $15$ e o Grupo C tem $25$. Calcule quanto dinheiro receberá cada grupo.

Num concurso de robótica, repartem-se $140$ pontos extra de forma inversamente proporcional ao número de erros cometidos no circuito. Se a equipa "Alfa" cometeu $1$ erro, a equipa "Beta" cometeu $2$ erros e a equipa "Gamma" cometeu $4$ erros, quantos pontos receberá cada equipa?

Três irmãos ajudam os seus avós a apanhar a colheita de amêndoas. Os avós dão-lhes uma gorjeta total de $90$ € para dividirem de forma diretamente proporcional às horas que cada um trabalhou. Se o mais velho trabalhou $5$ horas, o do meio $3$ horas e o mais novo $1$ hora, quanto dinheiro cabe a cada um?

Uma câmara municipal quer premiar a reciclagem e distribui $3000$ € entre três escolas de forma diretamente proporcional aos quilogramas de papel reciclado. A escola "O Carvalho" reciclou $600$ kg, a escola "A Azinheira" $900$ kg e a escola "O Pinheiro" $1500$ kg. Determine a quantidade de dinheiro que corresponde a cada escola.

Três amigos alugam um carro para fazer uma viagem e devem pagar uma caução de $180$ €. Decidem que a divisão da devolução da caução (se não houver danos) será inversamente proporcional às vezes que cada um teve de ser advertido pelo condutor por não usar o cinto de segurança. Se o Tomás teve $2$ avisos, a Leonor $3$ avisos e o Duarte $6$ avisos, que parte dos $180$ € recuperará cada um?

Três empregados de mesa de um café decidiram dividir o mealheiro das gorjetas da semana, que soma $210$ €, de forma diretamente proporcional aos dias que cada um trabalhou: João trabalhou $2$ dias, Marta $5$ dias e Pedro trabalhou a semana inteira ($7$ dias). Quanto dinheiro das gorjetas corresponde a cada um?

O Daniel quer repartir $180$ € entre os seus três sobrinhos de $6$, $8$ e $12$ anos de forma inversamente proporcional às suas idades para premiar os mais novos. Para o resolver, o Daniel afirma: «Como é uma divisão inversa, atribuo a cada um a idade do outro: ao de $6$ anos correspondem $12$ partes, ao de $12$ anos correspondem $6$ partes e ao de $8$ anos deixo $8$ partes. Somo $12 + 8 + 6 = 26$, calculo a constante dividindo $180$ por $26$ e multiplico pelas partes de cada um». a) Explica detalhadamente por que razão o raciocínio do Daniel é matematicamente erróneo havendo três participantes e que propriedade das frações ele não teve em conta. b) Corrige o exercício realizando a divisão inversamente proporcional de forma adequada e verifica que a soma das quantias repartidas coincide com os $180$ € disponíveis.

Três estudantes partilham casa em Coimbra durante o mês de julho e combinam repartir a fatura da luz e do ar condicionado ($90$ €) de forma diretamente proporcional aos dias em que cada um residiu na habitação: a Beatriz esteve $15$ dias, o Marcos esteve $20$ dias e a Sara esteve $25$ dias. a) Antes de calculares o resultado exato, estima de forma fundamentada a quantia aproximada que a Sara irá pagar: tendo em conta que a soma dos dias é $60$, a sua contribuição deve ser maior ou menor do que um terço do total ($30$ €)?, e maior ou menor do que a metade ($45$ €)? Justifica a tua previsão. b) Realiza a divisão proporcional direta exata calculando a constante de proporcionalidade $k$ (custo por dia) e a quantia que cada estudante deve pagar. c) Verifica que a soma das três contribuições é de $90$ € e analisa se o resultado obtido para a Sara confirma a tua estimativa inicial.

Três amigos decidem participar num torneio de eSports por equipas. Depois de ganharem o primeiro prémio, a organização entrega-lhes um baú com $2700$ moedas virtuais. Para serem justos, decidem dividir as moedas de forma diretamente proporcional aos pontos de experiência (XP) que cada um contribuiu na partida final: o Álvaro contribuiu com $12$ pontos, a Beatriz com $15$ pontos e o Cristiano com $18$ pontos. Quantas moedas correspondem a cada um?

Para incentivar a leitura, uma biblioteca juvenil distribui um lote de $155$ livros de banda desenhada entre os três utilizadores que mais livros leram no último trimestre. A distribuição será diretamente proporcional ao número de livros lidos. Se os utilizadores leram $12$, $18$ e $32$ livros, respetivamente, quantos livros de banda desenhada receberá cada um? (Nota: Se o resultado não for inteiro, arredonda para a unidade mais próxima e justifica se a divisão é exata).

Três irmãos devem dividir as tarefas de casa. A mãe deles decidiu que o número de horas que cada um dedicará a limpar o jardim será inversamente proporcional às médias que obtiveram no ano letivo: o Tomás tem $9$, a Amina $8$ e o Jorge $6$. Se no total tiverem de cumprir $74$ horas de trabalho entre os três, quantas horas correspondem a cada um?

Três sócios de uma "startup" de entregas ecológicas investiram inicialmente quantias diferentes: $4000 \text{ €}$, $7000 \text{ €}$ e $9000 \text{ €}$. No final do ano, obtiveram um lucro líquido de $12000 \text{ €}$. Como devem ser divididos os lucros de forma diretamente proporcional ao investimento inicial de cada um?

Um grupo de três agricultores decide alugar uma máquina por $570 \text{ €}$. O custo será dividido de forma diretamente proporcional à área dos seus terrenos, que medem $3$, $5$ e $7$ hectares, respetivamente. No entanto, o proprietário da máquina faz-lhes um desconto de $10 \%$ sobre o total por ser baixa temporada. Quanto terá de pagar cada agricultor após a aplicação do desconto?

Uma competição de estafetas distribui $900 \text{ €}$ entre as três equipas que chegaram primeiro à meta. O prémio é inversamente proporcional ao tempo total gasto. A equipa "Rayo" demorou $10$ minutos, a equipa "Gacela" demorou $12$ minutos e a equipa "Flecha" demorou $15$ minutos. Que quantia em dinheiro corresponde a cada equipa? Explique por que razão a equipa que demorou menos tempo recebe a maior quantia.

Numa jornada escolar de atletismo organizada por um município repartem-se $420$ pontos de classificação entre três escolas de forma diretamente proporcional ao número de medalhas obtidas. A Escola Secundária São Vicente conseguiu $5$ medalhas e a Escola Secundária do Parque das Avenidas alcançou $7$ medalhas. Ao serem publicados os resultados oficiais, à terceira escola, a Escola Secundária do Morgado, couberam exatamente $180$ pontos. a) A partir da definição de constante de proporcionalidade ou formulando uma equação, deduz quantas medalhas obteve a Escola Secundária do Morgado. b) Calcula quantos pontos recebeu cada uma das outras duas escolas e verifica que a soma das pontuações dos três estabelecimentos perfaz os $420$ pontos totais.

Uma associação de regantes da horta algarvia recebe uma subvenção regional de $38\,000$ € destinada a modernizar as suas valas face à seca. A assembleia decide distribuir o dinheiro combinando dois critérios: de forma diretamente proporcional à área cultivada (em hectares) e inversamente proporcional ao consumo de água registado na campanha anterior (em milhares de $\text{m}^3$), premiando quem tem mais terra mas demonstrou maior poupança. Os dados de três terrenos agrícolas são: Parcela A ($12$ ha e consumo de $4$ milhares de $\text{m}^3$), Parcela B ($10$ ha e consumo de $2$ milhares de $\text{m}^3$) e Parcela C ($9$ ha e consumo de $6$ milhares de $\text{m}^3$). a) Modela a situação calculando o índice de repartição relativo de cada parcela ao combinar ambos os critérios. b) Determina o montante da subvenção correspondente a cada um dos terrenos e verifica que a soma total cobre exatamente os $38\,000$ € atribuídos.

Uma empresa de "Escape Room" oferece um bónus mensal de $450 €$ a ser dividido entre as três equipas que conseguirem sair da sua sala mais difícil em menos de uma hora. A divisão é feita de forma inversamente proporcional ao tempo empregue. A equipa "Alpha" saiu em $40$ minutos, a equipa "Beta" em $45$ minutos e a equipa "Gamma" em $50$ minutos. Calcule a parte do prémio que corresponde a cada equipa.

Três municípios decidem subsidiar um projeto de reflorestamento com um total de $120000 €$. A contribuição de cada município será inversamente proporcional ao número de hectares de floresta queimados no seu território municipal no ano anterior. O município A teve $200$ ha queimados, o B teve $500$ ha e o C teve $800$ ha. Se o município com mais incêndios recorrer da decisão e se decidir que a divisão seja diretamente proporcional a esses hectares para ajudar os mais afetados, qual será a diferença de dinheiro para o município B entre o primeiro método e o segundo?

Um avô deseja dividir $44400 €$ entre os seus três netos de $15, 20$ e $30$ anos de maneira que a divisão seja inversamente proporcional às suas idades. Antes de realizar a divisão, o neto do meio decide doar $25\%$ da sua parte a uma ONG. Que quantia líquida o neto de $20$ anos acabará por receber?

Um clube de ciclismo dispõe de um prémio de $1860$ € para repartir entre três ciclistas de forma inversamente proporcional às penalizações de tempo acumuladas na temporada: o Gonçalo cometeu $2$ minutos de penalização, a Beatriz acumulou $3$ minutos e o Duarte teve $5$ minutos. Para o resolver, dois membros da direção propõem caminhos distintos: Método A (usar diretamente os inversos fracionários $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$ e $\dfrac{1}{5}$, somá-los e calcular $k = \dfrac{1860}{\sum \text{inversos}}$) e Método B (reduzir os inversos ao mesmo denominador através do $\text{m.m.c.}(2, 3, 5) = 30$, considerar os numeradores inteiros resultantes $15$, $10$ e $6$, e repartir diretamente a esses números). a) Desenvolve por completo ambos os métodos passo a passo e verifica que os valores atribuídos a cada ciclista coincidem nos dois casos. b) Justifica formalmente por que razão multiplicar todas as frações pelo m.m.c. no Método B não altera a proporção da partilha. c) Argumenta qual dos dois métodos se revela mais eficiente e com menor risco de erro num exame caso a repartição fosse entre quatro ou mais pessoas com denominadores grandes.

Uma empresa de entregas urgentes em Braga reparte uma gratificação trimestral de $6600$ € entre três dos seus estafetas (Alba, Bruno e Clara) de forma inversamente proporcional ao número de encomendas entregues com atraso. No registo consta que a Alba teve $2$ atrasos e o Bruno acumulou $6$ atrasos, mas o dado da Clara ($c$ atrasos) foi apagado por uma falha informática. Não obstante, o relatório contabilístico confirma que a Alba recebeu no seu vencimento exatamente $2200$ € a mais do que o Bruno. a) Modela a constante de proporcionalidade $k$ e a atribuição económica de cada trabalhador através de expressões algébricas em função do valor desconhecido $c$. b) A partir da diferença de dinheiro entre a Alba e o Bruno, formula e resolve uma equação do primeiro grau para determinar com exatidão quantos atrasos $c$ cometeu a Clara. c) Realiza a repartição definitiva com o número de atrasos encontrado e verifica que são satisfeitas simultaneamente as duas condições: que a soma dos três pagamentos seja $6600$ € e que a diferença entre a Alba e o Bruno seja de $2200$ €.