Exercícios: Proporcionalidade inversa

Indique justificadamente se os seguintes pares de grandezas mantêm uma relação de proporcionalidade inversa:

1. a) O número de amigos que se reúnem para comprar um presente de $60 \text{ €}$ e a quantia de dinheiro que cada um deve dar.
2. b) O tempo que deixas um telemóvel a carregar e a percentagem de bateria que ele recupera.
3. c) A velocidade a que caminha um caminhante e o tempo que leva a percorrer um trajeto de $10 \text{ km}$.
4. d) O número de páginas de um livro e o peso total do mesmo.

Complete a tabela seguinte no seu caderno sabendo que as grandezas A e B são inversamente proporcionais. Calcule primeiro a constante de proporcionalidade inversa $k$.

Um grupo de $4$ alunos do 9.º ano decidiu limpar um troço de praia após um festival de música. Calculam que levarão $6$ horas para deixar tudo impecável. Se no final se juntarem mais $4$ amigos (sendo $8$ no total), quanto tempo levarão para terminar a limpeza se todos trabalharem ao mesmo ritmo?

Para a viagem de fim de ano, os alunos alugaram um autocarro. Se forem $40$ alunos, cada um deve pagar $15 \text{ €}$. À última hora, $10$ alunos ficam doentes e não podem ir. Quanto deverá pagar cada um dos alunos restantes para cobrir o custo total do autocarro?

Um pecuarista tem forragem armazenada para alimentar as suas $20$ vacas durante $30$ dias. Se decidir vender $5$ das suas vacas para reduzir despesas, durante quantos dias poderá alimentar as vacas restantes com a mesma quantidade de forragem?

Três torneiras iguais demoram $10$ horas a encher o depósito de água de um pavilhão desportivo. Se queremos que o depósito se encha em apenas $6$ horas para podermos abrir as instalações mais cedo, quantas torneiras iguais às anteriores precisaremos de ter abertas no total?

Um ciclista que avança a uma velocidade constante de $20 \text{ km/h}$ leva $45$ minutos para percorrer a distância entre duas vilas. Se aumentasse a sua velocidade para $30 \text{ km/h}$, quantos minutos levaria para realizar o mesmo percurso?

Numa pequena gráfica, $2$ máquinas a trabalhar a pleno rendimento demoram $40$ minutos a imprimir os panfletos de uma festa local. Se uma das máquinas avariar e apenas uma puder trabalhar, quanto tempo (em minutos e horas) demorará a completar o mesmo trabalho? E se tivessem $4$ máquinas iguais a funcionar?

O Marcos está a planear uma viagem de carro de $360\text{ km}$ entre Lisboa e Coimbra. Sabe que, conduzindo a uma velocidade média regulamentar de $120\text{ km/h}$, demora exatamente $3$ horas. Para consumir menos combustível, decide viajar a uma velocidade média de $90\text{ km/h}$ e escreve o seguinte raciocínio no seu caderno para calcular o tempo $t$ que demorará:

Conclui convencido de que demorará $2$ horas e $15$ minutos.

1. a) Sem realizares cálculos adicionais, fundamenta por que motivo o resultado obtido pelo Marcos contradiz o senso comum e explica que erro concetual cometeu relativamente à relação de proporcionalidade entre a velocidade e o tempo.
2. b) Corrige o exercício: determina a constante de proporcionalidade inversa $k$, indica que grandeza física representa neste contexto e calcula quanto tempo demorará realmente o Marcos a $90\text{ km/h}$ (expressa o resultado final em horas inteiras).

Um grupo de $4$ amigos aluga uma casa de turismo rural na Serra da Estrela para passar um fim de semana. O preço total do aluguer é fixo e combinaram dividi-lo em partes iguais, correspondendo exatamente $75$ € a cada um. Imediatamente antes de fazerem a reserva definitiva, juntam-se mais $2$ amigos à viagem, de modo que o grupo final passa a ser de $6$ pessoas.

1. a) Antes de calculares o preço exato, faz uma estimativa fundamentada: o preço que cada um pagará estará entre $37,50$ € e $75$ €, ou será inferior a $37,50$ €? Justifica-o analisando o que teria acontecido se o número inicial de amigos tivesse duplicado.
2. b) Confirma a tua estimativa calculando a constante de proporcionalidade inversa $k$ (o preço total do alojamento) e o custo exato por pessoa para as $6$ pessoas. O resultado coincide com a tua previsão anterior?

Um grupo de estudantes do 3.º ano da ESO está a organizar um jantar de fim de ano. O restaurante deu-lhes um orçamento fixo pelo aluguer do salão e o menu especial, que será repartido em partes iguais por todos os presentes.

Copia para o teu caderno e completa a seguinte tabela para analisar como varia o preço por pessoa consoante o número de alunos que se inscreverem finalmente:

Calcula a constante de proporcionalidade inversa $k'$ e explica que significado tem neste contexto.

Para completar um desafio de uma aplicação de treino, Maria deve percorrer uma distância de $12$ km com o seu trotinete elétrico. Se mantiver uma velocidade constante de $15$ km/h, demora exatamente $48$ minutos.

Se no dia seguinte decidir ir mais devagar, a uma velocidade de $10$ km/h para poupar bateria, quantos minutos demorará a completar o mesmo percurso? E se quisesse demorar apenas meia hora, a que velocidade deveria circular?

Uma associação protetora de animais recebeu uma doação de sacos de ração. Com os $45$ cães que têm atualmente no abrigo, há comida suficiente para $20$ dias.

No entanto, após uma campanha de resgate, o número de cães aumenta para $60$. Quantos dias durará agora a mesma quantidade de ração? Se quisessem que a comida durasse $25$ dias, qual seria o número máximo de cães que poderiam manter no abrigo?

Três torneiras iguais levam $10$ horas a encher um reservatório de água destinado à rega de uma horta escolar. Pretende-se reduzir o tempo de enchimento para que a água esteja pronta antes do início das aulas.

Quantas torneiras do mesmo tipo seria necessário acrescentar para que o reservatório enchesse em apenas $6$ horas? Exprime o resultado em número de torneiras adicionais.

Num concurso de design de jogos eletrónicos, o júri distribui um prémio de $2800$ € de forma inversamente proporcional ao número de erros detetados na fase de testes.

A equipa "Pixel" teve $2$ erros, a equipa "Voxel" teve $4$ erros e a equipa "Sprite" teve $5$ erros. Que quantia em dinheiro receberá cada equipa?

Uma equipa de $8$ operários de uma empresa de eventos leva $12$ horas a montar todo o palco e a iluminação para um festival de música, a trabalhar a um ritmo constante.

Se o festival antecipar a sua abertura e dispuserem de apenas $6$ horas para a montagem, quantos operários deverão trabalhar no total? Se no final contarem com $16$ operários, em quanto tempo terminarão o trabalho?

Para envasar um lote de azeite biológico, foram utilizadas $400$ garrafas de $0,75$ litros cada uma. Por motivos de marketing, a cooperativa decide mudar o formato das garrafas para embalagens de um terço de litro ($1/3$ de litro).

Quantas garrafas deste novo tamanho serão necessárias para envasar a mesma quantidade de azeite? Se dispusermos de $1200$ garrafas de meio litro ($0,5$ litros), conseguiremos envasar todo o lote?

Cinco impressoras 3D de última geração demoram $4$ horas a imprimir as peças de $20$ maquetes de robôs escolares.

Calcule quantas impressoras das mesmas características seriam necessárias para fabricar essas mesmas $20$ maquetes em apenas $100$ minutos. (Tenha cuidado com as unidades de tempo antes de efetuar os cálculos).

Num lagar de Évora durante a campanha da apanha da azeitona, uma equipa de $8$ trabalhadores agrícolas equipados com varejadores mecânicos demora $15$ horas de trabalho contínuo a colher e a encher um reboque especial de grande capacidade.

1. a) Modela a situação: define as duas variáveis intervenientes, escreve a fórmula da função de proporcionalidade inversa $y = \frac{k}{x}$ que as relaciona e interpreta o significado físico concreto que tem a constante $k$ neste contexto de trabalho agrícola.
2. b) Para evitar que a azeitona perca propriedades organoléticas, o lagar exige que o reboque seja cheio num prazo máximo de $6$ horas. Supondo que todos os trabalhadores rendem ao mesmo ritmo, quantos trabalhadores agrícolas, no mínimo, deverão trabalhar em simultâneo para o conseguir?
3. c) Do ponto de vista matemático e físico, explica por que razão o gráfico desta função (uma hipérbole) nunca pode intersetar o eixo das ordenadas ($x = 0$) nem o eixo das abcissas ($y = 0$).

Uma função de proporcionalidade inversa tem como expressão algébrica $y = \frac{k}{x}$ (com $x > 0$). O seu gráfico passa por um ponto desconhecido $(a, b)$. Verifica-se que, se à variável independente forem somadas $6$ unidades (ou seja, passa a valer $a + 6$), o valor da variável dependente reduz-se para a quarta parte do seu valor original, transformando-se em $\frac{b}{4}$. Além disso, sabe-se como dado adicional que, para $x = 8$, o valor da função é $y = 4,5$.

1. a) Formula uma equação igualando os produtos cruzados das duas situações que envolvem a constante $k$ para deduzir o valor exato de $a$.
2. b) A partir do valor de $a$ e do dado adicional, calcula a constante $k$, escreve a fórmula definitiva da função e indica as coordenadas exatas do ponto $(a, b)$.
3. c) Inventa uma situação quotidiana verosímil (indicando grandezas e unidades de medida) que fique descrita com exatidão pela fórmula que obtiveste.

Uma empresa de logística utiliza drones para distribuir encomendas numa zona residencial. Verificou-se que $12$ drones, a trabalhar $8$ horas por dia, levam $6$ dias para entregar todos os pedidos de uma semana. Devido a uma atualização do software, a eficiência de cada drone aumenta $20\%$. Se a empresa decidir reduzir a jornada dos drones para apenas $5$ horas diárias e o volume de pedidos tiver aumentado de modo que agora há $25\%$ a mais de encomendas, quantos drones serão necessários para completar a distribuição em apenas $4$ dias?

O sistema de transmissão de uma bicicleta de competição consiste num prato (ligado aos pedais) e num carreto (ligado à roda traseira). Quando o ciclista usa um prato de $52$ dentes e um carreto de $13$ dentes, a cada pedalada completa, a roda traseira dá $4$ voltas. Se o ciclista mudar para um carreto de $26$ dentes para subir uma ladeira, quantas voltas dará a roda traseira a cada pedalada? Se no topo mudar o prato para um de $34$ dentes mantendo o carreto de $26$, calcule a nova relação de transmissão (voltas de roda por pedalada). Justifique por que razão a relação entre o número de dentes e as voltas é inversamente proporcional.

Um município contrata uma equipa de $15$ operários para construir uma pista de skate em $20$ dias, a trabalhar $6$ horas diárias. Após $8$ dias de trabalho, a câmara municipal solicita que a obra esteja concluída $4$ dias antes do previsto para coincidir com as festas locais. Nesse mesmo momento, $3$ operários entram de licença. Quantas horas diárias deverão trabalhar os operários restantes para cumprir o novo prazo de entrega?

Um grupo de biólogos marinhos estuda a relação entre a pressão e o volume de um gás no interior de um dispositivo de amostragem (Lei de Boyle). Ao nível do mar ($1$ atm de pressão), o gás ocupa um volume de $24$ litros. Ao submergir a uma determinada profundidade, a pressão aumenta para $3,2$ atm. Qual será o novo volume do gás? Se o dispositivo suporta apenas uma compressão máxima que deixe o volume em $5$ litros, qual é a pressão máxima que ele pode suportar antes de se partir?

Para renderizar (processar) um filme de animação de $90$ minutos, um estúdio utiliza uma "quinta" de $40$ servidores a trabalhar a pleno rendimento durante $12$ dias. O estúdio quer lançar uma nova curta-metragem de apenas $15$ minutos, mas precisa que a renderização esteja pronta em apenas $2$ dias. No entanto, os novos servidores adquiridos são $50\%$ mais potentes do que os antigos. Quantos novos servidores serão necessários para renderizar a curta-metragem a tempo?

Um abrigo de animais tem reservas de ração para alimentar os seus $80$ cães durante $45$ dias, dando-lhes $3$ refeições diárias de $200$ g cada uma. Após $10$ dias, chegam mais $20$ cães resgatados de uma inundação. Além disso, o veterinário recomenda aumentar a quantidade de cada refeição para $250$ g, mas reduzindo o número de refeições para $2$ diárias para melhorar a digestão. Quantos dias durará a ração restante para todos os cães com as novas condições?

Num laboratório de física, está a ser testado um motor magnético. Sabe-se que a velocidade de rotação ($V$) é inversamente proporcional ao peso da carga ($P$) e diretamente proporcional à tensão aplicada ($U$). Com uma tensão de $120$ V e uma carga de $10$ kg, o motor gira a $2\,400$ rpm. Se mantivermos o motor a girar a $2\,400$ rpm, mas aumentarmos a carga para $15$ kg, qual deve ser a nova tensão? Se finalmente baixarmos a tensão para $80$ V com essa carga de $15$ kg, a que velocidade girará o motor?

Durante a campanha de prevenção de incêndios florestais na Galiza, uma brigada composta por $6$ sapadores florestais consome uma reserva de água de $18\,000\text{ litros}$ em $10$ dias durante os seus trabalhos de vigilância e limpeza de mato. O centro de comando necessita de calcular quantos dias durará um novo reservatório de $25\,200\text{ litros}$ se a equipa for alargada para $7$ sapadores, assumindo que o consumo diário por sapador não se altera.

Dois técnicos de emergência propõem estratégias distintas:

• Método 1 (Redução à unidade): Calcular quantos litros consome um único sapador num único dia e, a partir dessa taxa, calcular os dias que durará a nova reserva para os $7$ sapadores.

• Método 2 (Proporcionalidade composta): Identificar a relação (direta ou inversa) de cada grandeza com o número de dias e formular a equação de frações correspondente.

1. a) Resolve o problema aplicando ambos os métodos passo a passo e verifica que se obtém exatamente o mesmo resultado.
2. b) Analisa criticamente os dois procedimentos: qual dos métodos oferece uma maior compreensão do significado físico de cada passo intermédio e qual resultaria computacionalmente mais ágil se tivesses de programar uma folha de cálculo para avaliar $20$ cenários com diferentes brigadas e reservatórios? Justifica a tua resposta.

O Consórcio de Transportes de uma cidade portuguesa gere uma linha circular de autocarro urbano cujo percurso total mede $18\text{ km}$. Fora das horas de ponta, os autocarros circulam a uma velocidade média constante de $15\text{ km/h}$ (incluindo paragens e trocas de passageiros). A frequência de passagem ou intervalo de espera entre autocarros consecutivos numa paragem ($y$, em minutos) depende exclusivamente do número de veículos afetos à linha ($x$).

1. a) Demonstra que o tempo que um autocarro demora a dar uma volta completa ao percurso é de $72$ minutos e deduz a expressão da função de proporcionalidade inversa $y = \frac{k}{x}$ que determina a frequência $y$ (em minutos) em função do número de autocarros $x$.
2. b) Na hora de ponta, o congestionamento do tráfego reduz a velocidade comercial da linha para $12\text{ km/h}$. A Câmara Municipal fixa por contrato que a frequência máxima entre autocarros não deve ultrapassar os $6$ minutos ($y \le 6$). Se fora das horas de ponta a linha operava com uma frequência de $12$ minutos, quantos autocarros adicionais é necessário incorporar no serviço durante a hora de ponta para cumprir a exigência municipal?
3. c) Se o Consórcio pretendesse reduzir o tempo de espera entre autocarros exatamente para $0$ minutos ($y = 0$), que resposta dá o modelo matemático? Explica por que razão, numa via urbana real, este modelo de proporcionalidade inversa colapsa quando o valor de $x$ se torna excessivamente grande.