Exercícios: Teorema do resto

Determine o resto da divisão do polinómio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ por $x - 2$ sem efetuar a divisão.

Sabendo que o polinómio é $Q(x) = x^3 + 4x^2 - x + 10$, calcule o valor numérico $Q(-3)$ e explique que relação esse valor tem com a divisão de $Q(x)$ por $x + 3$.

Determine, utilizando o teorema do resto, se o polinómio $R(x) = 2x^3 - 5x^2 + x + 2$ é divisível por $x - 2$.

Calcule o resto de dividir o polinómio $S(x) = -x^5 + 3x^2 - 4$ por $x + 1$ aplicando o teorema do resto.

Verifique por meio do teorema do resto se $x = -2$ é uma raiz do polinómio $T(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 12$.

Calcule o resto de dividir $U(x) = \frac{1}{2}x^3 - x^2 + 3x - \frac{5}{2}$ por $x - 2$ sem realizar a divisão pela regra de Ruffini.

Sabendo que o resto da divisão de um polinómio $P(x)$ por $x - 4$ é $15$, indique qual é o valor numérico de $P(4)$ e justifique a sua resposta com base no teorema do resto.

Determine o resto da divisão de $V(x) = 4x^6 - 3x^4 + 2x^2 - 1$ por $x + 1$ avaliando o polinómio no valor adequado.

A Beatriz tem de encontrar o resto da divisão do polinómio $P(x) = 2x^3 - 5x + 7$ por $(x + 2)$ sem efetuar a divisão longa nem usar a regra de Ruffini. No seu caderno, escreve:

«Aplico o Teorema do resto substituindo diretamente o número que acompanha o $x$:

$R = P(2) = 2 \cdot 2^3 - 5 \cdot 2 + 7 = 2 \cdot 8 - 10 + 7 = 16 - 10 + 7 = 13$.

Como o resto é $13 \neq 0$, a divisão não é exata e $(x + 2)$ não é fator de $P(x)$».

1. a) Localiza o erro concetual que a Beatriz cometeu e explica, apoiando-te na identidade fundamental da divisão $P(x) = (x - a) \cdot C(x) + R$, que valor deveria ter substituído realmente no polinómio e porquê.
2. b) Corrige o exercício calculando o verdadeiro resto e indica se a conclusão sobre se $(x + 2)$ é fator de $P(x)$ se mantém ou muda.

Uma carrinha de distribuição de uma empresa de encomendas de Faro realiza a sua rota matinal. A energia restante na sua bateria (medida em quilowatts-hora, $\text{kWh}$) após $x$ horas de circulação contínua é modelada através do polinómio $B(x) = -x^3 + 3x^2 - 16x + 48$, com $0 \le x \le 3$.

1. a) Justifica, a partir do Teorema do resto, por que razão o resto da divisão de $B(x)$ por $(x - 3)$ indica exatamente quanta energia resta à carrinha ao completar-se a terceira hora de distribuição.
2. b) Aplica o Teorema do resto para calcular esse valor sem efetuar a divisão polinomial e interpreta o resultado na prática: a bateria esgotou-se por completo ou pode continuar a circular? É $(x - 3)$ um fator do polinómio $B(x)$?

Calcule o valor do parâmetro $k$ para que o resto da divisão do polinómio $P(x) = x^3 - kx^2 + 5x - 2$ por $x - 3$ seja igual a $10$.

A trajetória de um drone de corrida num troço de teste é dada pelo polinómio $A(t) = 2t^3 - mt^2 + 4t + 5$, onde $t$ é o tempo em segundos e $A(t)$ a altura em metros. Se aos $2$ segundos a altura é de $17$ metros, utiliza o teorema do resto para determinar o valor do parâmetro $m$.

Determine o valor de $a$ para que o polinómio $Q(x) = 2x^4 + ax^3 - 3x^2 + 5x - a$ seja divisível por $x + 2$.

Determine o valor de $b$ sabendo que, ao dividir o polinómio $R(x) = 3x^3 + bx^2 - 2x + 4$ por $x - 1$, se obtém o mesmo resto que ao dividi-lo por $x + 2$.

Calcule o resto de dividir o polinómio $S(x) = x^{100} - 3x^{99} + 5$ por $x - 1$ aplicando o teorema do resto.

Numa experiência de química, a concentração de um reagente em função do tempo é modelada pelo polinómio $C(t) = t^4 - 4t^3 + kt + 8$. Sabendo que $C(t)$ é divisível por $t - 2$, determine o valor de $k$ e, em seguida, calcule o resto da divisão de $C(t)$ por $t - 3$.

Determine o resto da divisão do polinómio $P(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x - 1$ pelo binómio $2x - 1$. Considere o valor que anula o divisor para aplicar o teorema do resto.

A receita diária de uma loja, em centenas de euros, é aproximada pelo polinómio $I(x) = -x^3 + 12x^2 - 20x + c$, onde $x$ é o número de dias decorridos. Se o resto de dividir $I(x)$ por $x - 5$ é $80$, determine o valor do termo independente $c$ usando o teorema do resto.

Para verificar a estabilidade de um algoritmo de compressão de dados, uma equipa de programação precisa de determinar se o polinómio $P(x) = x^{24} - 5x^8 + 4$ é divisível exatamente por $(x - 1)$ e por $(x + 1)$. Dois elementos da equipa discutem o procedimento:

• O Sérgio afirma: «O mais seguro é aplicar a regra de Ruffini em ambos os casos, porque é o método padrão para dividir por binómios da forma $(x - a)$ e dá-nos também o quociente».

• A Marta responde: «Neste caso concreto, aplicar a regra de Ruffini é uma perda de tempo desnecessária e é muito mais razoável utilizar o Teorema do resto».

1. a) Analisa as dificuldades práticas e o risco de erro que suporia aplicar a regra de Ruffini neste polinómio (menciona quantos coeficientes seria necessário escrever e o seu valor).
2. b) Justifica qual das duas posições é a adequada tendo em conta a informação que o problema pede.
3. c) Utiliza o método mais eficiente para calcular os restos de ambas as divisões e conclui justificadamente se $(x - 1)$ e $(x + 1)$ são fatores de $P(x)$.

O Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) modela a temperatura $T(t)$ (em $^{\circ}\text{C}$) numa estação de Miranda do Douro (Bragança) durante uma noite de janeiro através do polinómio:

$T(t) = 0,5t^3 - 3t^2 + 2t + 4$

onde $t$ representa as horas decorridas desde a meia-noite ($0 \le t \le 6$). A equipa meteorológica deseja saber o resto da divisão de $T(t)$ por $(t - 4)$, o qual coincide com a temperatura exata às $4:00\text{ h}$ da madrugada.

1. a) Estima: Tendo em conta que às $0:00\text{ h}$ ($t = 0$) a temperatura era de $4\ ^{\circ}\text{C}$ e que durante as madrugadas de céu limpo de inverno nessa zona ocorrem geadas severas, realiza uma estimativa fundamentada prévia: esperas que o resto da divisão seja positivo ou negativo? Acreditas que a divisão será exata ($R = 0$)?
2. b) Verifica: Calcula o resto da divisão de $T(t)$ por $(t - 4)$ aplicando o Teorema do resto.
3. c) Compara o valor obtido com a tua estimativa, indica se $(t - 4)$ é fator de $T(t)$ e interpreta o que implica o resultado numérico em relação ao risco de congelamento da água no solo ($0\ ^{\circ}\text{C}$).

Um polinómio $P(x)$ de segundo grau satisfaz que, ao dividi-lo por $x - 1$, o resto é $4$, ao dividi-lo por $x + 2$, o resto é $19$, e ao dividi-lo por $x$, o resto é $1$. Determine a expressão algébrica completa de $P(x)$.

Ao dividir um polinómio $P(x)$ por $x - 2$, o resto é $5$. Ao dividir o mesmo polinómio por $x + 3$, o resto é $-5$. Calcule o resto da divisão de $P(x)$ pelo produto $(x - 2)(x + 3)$, sabendo que esse resto deve ser um polinómio de grau menor que $2$.

O design do perfil da carroçaria de um carro desportivo é modelado matematicamente por meio de um polinómio $D(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 4x + 4$. Para garantir uma aerodinâmica ideal, o polinómio deve ser divisível por $x - 2$ e deixar um resto de $15$ ao ser dividido por $x + 1$. Formule um sistema de equações utilizando o teorema do resto e calcule os valores de $a$ e $b$.

Determine o valor dos parâmetros $m$ e $n$ para que o polinómio $P(x) = x^3 + mx^2 + nx - 6$ seja divisível por $x^2 - 5x + 6$. Aplique o teorema do resto avaliando nas raízes do divisor.

Calcule o resto da divisão do polinómio $P(x) = (x - 3)^{2024} + (x - 2)^{2023} - x + 5$ por $x - 3$ aplicando o teorema do resto.

Demonstre, utilizando o teorema do resto, que o polinómio $P(x) = x^n - a^n$ é sempre divisível por $x - a$ para qualquer número natural $n \geq 1$.

Numa empresa de tecnologia, a função de custo de produção de um novo microchip é modelada por um polinómio de terceiro grau $C(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. Sabe-se que $C(0) = 10$, e que os restos da divisão de $C(x)$ por $x - 1$, $x + 1$ e $x - 2$ são $12$, $6$ e $30$, respetivamente. Calcule os coeficientes $a, b, c, d$.

Determine o valor do parâmetro $k$ para que o resto da divisão de $P(x) = x^3 - 2kx^2 + k^2x - 8$ por $x - 2$ seja exatamente o dobro do resto da divisão de $P(x)$ por $x - 1$.

Encontra a expressão analítica de um polinómio de segundo grau, $P(x) = ax^2 + bx + c$, que cumpra simultaneamente estas três condições:

1. O seu gráfico interseta o eixo vertical no ponto $(0, -6)$ (isto é, o resto ao dividir $P(x)$ por $x$ é $-6$).

2. Ao dividir $P(x)$ por $(x - 3)$, a divisão é exata.

3. Ao dividir $P(x)$ por $(x + 1)$ obtém-se um resto que é exatamente o simétrico (mesmo valor absoluto mas sinal contrário) do resto que resulta de o dividir por $(x - 2)$.

1. a) Traduz cada uma das condições em equações algébricas utilizando o Teorema do resto.
2. b) Resolve o sistema resultante para calcular com precisão os coeficientes $a$, $b$ e $c$, e escreve a fórmula completa de $P(x)$.
3. c) Verifica numericamente que o polinómio obtido cumpre a condição 2 demonstrando que $x = 3$ é uma raiz de $P(x)$.

Um estudo sobre transição ecológica elaborado com dados do Instituto Nacional de Estatística (INE) modela a taxa de reciclagem de resíduos plásticos numa região através do polinómio:

$R(t) = -t^3 + 9t^2 + k \cdot t + 30$

onde $t$ é o tempo em anos decorridos desde 2020 ($t = 0$ corresponde a 2020, $t = 1$ a 2021, etc.), $R(t)$ representa a percentagem de reciclagem alcançada e $k$ é um parâmetro que depende do investimento em campanhas de sensibilização.

1. a) A regulamentação europeia exigia para o ano de 2023 ($t = 3$) uma taxa de reciclagem de $75\,\%$. Sabendo que, de acordo com o Teorema do resto, a divisão de $R(t)$ por $(t - 3)$ deve ter como resto exatamente $75$, calcula o valor do parâmetro $k$.
2. b) Com o valor de $k$ obtido na alínea anterior, aplica o Teorema do resto para encontrar o resto da divisão de $R(t)$ por $(t - 5)$ e explica que grandeza real representa esse número no contexto do ano de 2025.
3. c) Avalia com sentido crítico o resultado obtido na alínea b): é admissível este modelo polinomial para realizar previsões no ano de 2025 e posteriores? Justifica a tua resposta tendo em conta a definição e os limites lógicos de uma taxa percentual.