Exercícios: Raízes de polinômios

Avalie o polinómio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ para determinar analiticamente se os valores $x = 2$ e $x = -1$ são raízes dele.

Utilize a regra de Ruffini para verificar se $x = 3$ é uma raiz do polinómio $Q(x) = 2x^4 - 5x^3 - 4x^2 + 7x - 6$.

Escreva todos os números inteiros que são candidatos a raízes do polinómio mónico $R(x) = x^4 + 3x^3 - 5x^2 + x - 12$, com base no seu termo independente.

Determine as raízes do polinómio que já se encontra fatorado: $S(x) = 3x(x - 5)(x + 2)^2$, indicando quais são simples e quais são múltiplas.

Calcule o valor do parâmetro $k$ para que $x = -2$ seja uma raiz exata do polinómio $T(x) = x^3 + kx^2 - 3x + 10$.

Construa um polinómio de terceiro grau, desenvolvido e ordenado, que tenha como raízes exatas $x = 1$, $x = -3$ e $x = 4$, e cujo coeficiente principal seja $1$.

Observe o gráfico da função polinomial $y = P(x)$ e escreva quais são as suas raízes reais com base nos pontos de interseção com os eixos.

Justifique, sem realizar nenhum cálculo complexo nem usar a regra de Ruffini, porque é que $x = 0$ é obrigatoriamente uma raiz do polinómio $V(x) = 5x^5 - 7x^3 + 2x^2 - 9x$.

Na aula de Matemática, a Maria está à procura das raízes inteiras do polinómio $P(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$ e escreve no quadro a seguinte conclusão: «Como o termo independente é $12$, as únicas possíveis raízes inteiras são os seus divisores positivos: $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ e $12$. Verifiquei que ao substituir $x = 2$ se obtém $P(2) = 0$, pelo que concluo que o binómio $(x + 2)$ é um fator que divide exatamente $P(x)$». Identifica os dois erros concetuais cometidos pela Maria, explica detalhadamente por que contradizem a relação entre raízes, divisores e fatores, e redige as duas afirmações corrigidas.

Numa estação meteorológica do IPMA em Bragança, a temperatura $T$ (em graus Celsius) durante uma manhã de inverno é modelada em função do tempo decorrido $t$ (em horas decorridas desde as 8:00 h, no intervalo $t \in [0, 6]$) através do polinómio $T(t) = -t^2 + 5t - 6$.

1. a) Encontra analiticamente as raízes de $T(t)$ e explica que significado físico têm nos termómetros da estação.
2. b) A que horas exatas do relógio a temperatura foi de $0\text{ }^\circ\text{C}$?
3. c) Sabendo que entre ambas as raízes o gráfico não volta a intersetar o eixo horizontal, avalia o polinómio num valor horário intermédio para determinar de forma fundamentada se nesse intervalo de tempo a temperatura esteve acima de zero ou abaixo de zero.

Determine todas as raízes inteiras do polinómio de quarto grau $P(x) = x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12$ utilizando a regra de Ruffini de forma iterativa.

O lucro de uma empresa tecnológica, em milhares de euros, é dado pelo polinómio $B(x) = -x^3 + 6x^2 - 5x$, onde $x$ representa os meses decorridos desde o início do ano fiscal. Determine em que meses exatos o lucro da empresa é nulo.

Encontra os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que o polinómio $Q(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6$ tenha como raízes exatas $x = 1$ e $x = -2$.

Um engenheiro projeta uma peça metálica cujo volume, em centímetros cúbicos, depende de uma medida de ajuste $x$ segundo a expressão $V(x) = 2x^3 - 9x^2 + 10x - 3$. Determine quais os valores de $x$ que fazem com que o volume seja nulo (ou seja, determine todas as raízes do polinómio).

Escreva um polinómio de quarto grau, na sua forma desenvolvida, que tenha $x = 2$ como raiz dupla, $x = -1$ como raiz simples, que não tenha termo independente e cujo coeficiente do termo de maior grau seja $3$.

Determine todas as raízes racionais do polinómio $R(x) = 3x^3 + 5x^2 - 4x - 4$. Para isso, indique primeiro a lista completa de frações candidatas e, em seguida, verifique quais anulam o polinómio.

A trajetória vertical de um drone submarino em fase de testes segue a curva dada por $A(t) = t^4 - 10t^3 + 35t^2 - 50t + 24$, onde $A$ é a profundidade em metros e $t$ o tempo em minutos desde o início do mergulho. Determine em que instantes $t$ o drone se encontra exatamente à superfície da água ($A(t) = 0$).

Demonstre de forma fundamentada que o polinómio $P(x) = x^4 + 3x^2 + 5$ não tem nenhuma raiz real, analisando o sinal que os seus diferentes termos assumem para qualquer valor de $x \in \mathbb{R}$.

Uma cooperativa de azeite em Santarém analisa a sua margem de lucro diária $B(x)$ (em centenas de euros) ao processar $x$ toneladas de azeitona através da função $B(x) = -x^3 + 8x^2 - 11x - 20$, com $x \ge 0$. O limiar de rentabilidade (ponto de equilíbrio onde não se ganha nem se perde dinheiro) é alcançado precisamente nas raízes de $B(x)$.

1. a) Antes de calcular o que quer que seja, justifica por que razão os divisores negativos do termo independente não têm sentido económico neste contexto. Se a capacidade técnica do lagar não ultrapassa as $6$ toneladas diárias, estima que possíveis candidatos inteiros positivos a raiz faz sentido avaliar.
2. b) Escolhe de forma justificada o candidato que consideres mais promissor e verifica através de substituição ou pela regra de Ruffini se é raiz de $B(x)$.
3. c) Fatoriza o polinómio para encontrar todas as raízes com significado económico e interpreta com que volume diário de processamento o lagar opera no ponto de equilíbrio sem perdas.

Um programador de videojogos em Valência está a desenhar o relevo de um ecrã de plataformas em duas dimensões, onde o nível do solo é dado pelo eixo horizontal $X$. O desenho requer um polinómio mónico $P(x)$ (com coeficiente principal $1$) que cumpra as seguintes condições:

1. O personagem cruza o nível do solo atravessando-o em $x = -1$ e em $x = 3$.

2. Em $x = 2$, o terreno toca a cota do solo ressaltando para cima sem se afundar (ou seja, $x = 2$ é uma raiz de multiplicidade $2$).

3. O polinómio tem o menor grau possível que permita estas características.

1. a) Escreve a forma fatorizada de $P(x)$ e deduz qual é o seu grau.
2. b) Sem necessidade de multiplicar todos os fatores, calcula de forma fundamentada o termo independente de $P(x)$ explicando como se relaciona com as raízes dadas.
3. c) Se o designer decidir multiplicar todo o polinómio por $3$ para triplicar a altura das colinas, os pontos em que o terreno toca o solo mudariam? Justifica a tua resposta utilizando a definição de raiz.

Sabendo que um polinómio de terceiro grau mónico $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ tem como raízes $x_1 = -1$, $x_2 = 2$ e $x_3 = 4$, determine o valor numérico do seu termo independente $c$ e do seu coeficiente de grau dois $a$. Justifique a sua resposta deduzindo-o a partir da forma fatorizada, sem necessidade de efetuar toda a multiplicação dos três binómios.

Uma caixa sem tampa é construída a partir de uma folha retangular de cartão de $40\text{ cm}$ por $30\text{ cm}$, recortando quadrados idênticos de lado $x$ nos quatro cantos e dobrando as abas para cima. Determine o polinómio $V(x)$ que define o volume da caixa e determine todas as suas raízes matemáticas (inclusive aquelas que não fazem sentido físico para a construção da caixa).

Encontra a expressão de um polinómio $Q(x)$ de grau 5 que satisfaça simultaneamente todas as seguintes condições:

• $x = \sqrt{2}$ e $x = -\sqrt{2}$ são raízes simples.

• $x = 3$ é uma raiz dupla.

• O gráfico do polinómio passa pela origem das coordenadas.

• O valor numérico do polinómio em $x = 1$ é $Q(1) = 8$.

Sabe-se que o polinómio $R(x) = x^4 - 4x^3 + x^2 + 6x + k$ tem uma raiz em $x = 2$. Determine primeiro o valor do parâmetro $k$. Em seguida, verifique por meio da regra de Ruffini se $x = 2$ é uma raiz múltipla (dupla, tripla...) e encontre as demais raízes reais do polinómio.

Num estudo de dinâmica de populações, o crescimento de uma colónia de bactérias é dado pelo modelo $C(t) = t^4 - 8t^3 + 22t^2 - 24t + 9$. Um biólogo afirma que a população se anula em exatamente dois instantes de tempo diferentes e, em ambos os casos, com multiplicidade par. Fatorize o polinómio para verificar se o biólogo tem razão e indique os instantes nos quais $C(t) = 0$.

Demonstre analiticamente que se um polinómio $P(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$ tem todos os seus coeficientes inteiros e tanto $P(0)$ como $P(1)$ resultam em números ímpares, então $P(x)$ não pode ter nenhuma raiz que seja um número inteiro. (Dica: raciocina sobre a paridade de $x$ quando ele é par e quando é ímpar).

O custo de produção de um componente tecnológico segue a função polinomial $C(x) = 8x^3 - 36x^2 + 46x - 15$. Sabendo que $x = \frac{3}{2}$ é uma das raízes exatas deste polinómio, determine as outras duas raízes resolvendo a equação resultante após a divisão.

Um designer 3D cria uma superfície curva cujo perfil de corte transversal é modelado pelo polinómio $P(x) = x^5 - 2x^4 - 6x^3 + 8x^2 + 5x - 6$. Determine todas as raízes deste perfil para saber em que pontos exatos ele interseta o eixo horizontal de referência.

Para averiguar quais dos números $x = -1$, $x = 2$ e $x = 5$ são raízes do polinómio $P(x) = x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 24$, dois estudantes propõem caminhos diferentes:

• O Sérgio sugere aplicar diretamente a regra de Ruffini de forma sucessiva com cada um dos três números.

• A Marta propõe atentar primeiro nos divisores do termo independente e, para os valores que não sejam descartados, calcular o valor numérico $P(a)$.

1. a) Compara criticamente ambos os métodos: que vantagens e desvantagens apresenta cada um consoante se procure apenas verificar as raízes ou também fatorizar o polinómio?
2. b) Aplicando a propriedade das raízes inteiras sobre o termo independente, justifica por que razão um dos três valores propostos pode ser descartado imediatamente sem efetuar nenhuma operação aritmética longa.
3. c) Seleciona e aplica a estratégia mais conveniente para verificar quais dos valores restantes são efetivamente raízes de $P(x)$ e obtém o polinómio quociente resultante após extrair esses fatores para encontrar as raízes que faltam.

A Direção-Geral de Viação e o Instituto para a Diversificação e Poupança de Energia estudam o consumo de combustível de carrinhas de distribuição em troços interurbanos. Para um veículo tipo, o desvio no consumo de combustível relativamente ao nível ótimo de referência (em litros por $100\text{ km}$) é descrito pelo polinómio $C(v) = v^3 - 27v^2 + 236v - 660$, onde $v$ representa a velocidade de circulação em dezenas de quilómetros por hora (ou seja, $v = 6$ corresponde a $60\text{ km/h}$, $v = 10$ a $100\text{ km/h}$, etc.).

1. a) Sabendo que a $100\text{ km/h}$ ($v = 10$) o veículo atinge com exatidão um dos seus regimes de consumo de referência ($C(10) = 0$), verifica através da regra de Ruffini que $v = 10$ é raiz e decompõe $C(v)$ em produto de três fatores de primeiro grau.
2. b) Encontra todas as raízes reais do polinómio e interpreta quais delas são aplicáveis à condução real de acordo com os limites legais de velocidade em autoestradas e vias rápidas portuguesas ($60\text{ km/h}$ de velocidade mínima e $120\text{ km/h}$ de velocidade máxima).
3. c) Sem calcular o valor numérico desenvolvido de $C(8)$, utiliza o sinal individual de cada um dos três fatores obtidos na alínea a) para justificar se, ao circular a $80\text{ km/h}$ ($v = 8$), o consumo do veículo se situa acima ou abaixo do nível ótimo de referência.