Exercícios: Polinômios

Calcule o valor numérico do polinómio $P(x, y) = 3x^2y - 5xy^2 + 2x - 3y + 1$ para $x = -2$ e $y = 3$.

Dados os polinómios $A(x) = 4x^3 - 2x^2 + 5x - 1$ e $B(x) = -x^3 + 3x^2 - 2x + 4$, calcule a expressão reduzida de $2 \cdot A(x) - 3 \cdot B(x)$.

Efetue o seguinte produto de polinómios e reduza os termos semelhantes para obter o polinómio final: $(2x^2 - 3x + 4) \cdot (x^2 + 5x - 2)$.

Realiza a divisão do polinómio $P(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 5x + 7$ por $Q(x) = x^2 - x + 2$, indicando claramente qual é o polinómio quociente $C(x)$ e o polinómio resto $R(x)$.

Utilize a regra de Ruffini para determinar o quociente e o resto da divisão $(2x^4 - 5x^3 + 4x - 6) : (x - 2)$.

Sem realizar a divisão, determine o resto que se obtém ao dividir o polinómio $P(x) = 3x^5 - 2x^3 + x^2 - 4$ por $x + 1$.

Verifique, utilizando o teorema do fator, se $x = -3$ é uma raiz do polinómio $P(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6$.

Coloque o fator comum em evidência e utilize os casos notáveis para fatorizar ao máximo o polinómio $P(x) = 5x^3 - 30x^2 + 45x$.

O Carlos tem de calcular o valor numérico do polinómio $P(x) = -2x^3 + 3x^2 - 5x + 4$ para $x = -2$. No seu caderno escreveu o seguinte procedimento:

Localiza o erro concreto que o Carlos cometeu ao aplicar a hierarquia das operações ou os sinais das potências, explica por palavras tuas por que razão a sua dedução está incorreta e calcula o valor numérico correto.

Uma empresa de aluguer de carrinhas de distribuição em Faro estabelece a sua tarifa em euros através do polinómio $C(t) = 0,05t^2 + 0,4t + 15$, onde $t$ representa o tempo de utilização em horas.

1. a) Identifica o grau do polinómio, o seu coeficiente principal e o seu termo independente.
2. b) Explica que significado económico real tem o termo independente no contexto do aluguer da carrinha.
3. c) Justifica se o polinómio é completo ou incompleto.
4. d) Calcula quanto pagará um cliente que utilize a carrinha durante $3$ horas.

A base de um painel solar retangular mede $2x + 5$ metros e a sua altura mede $3x - 2$ metros. Escreva as expressões algébricas (polinómios reduzidos) que representam o perímetro e a área do painel solar.

Determine o valor do parâmetro $k$ para que o polinómio $P(x) = x^3 - 2x^2 + kx + 8$ seja divisível por $x - 4$.

Pretende-se construir uma caixa sem tampa a partir de uma chapa de cartão retangular de $40$ cm de comprimento por $30$ cm de largura, recortando um quadrado de lado $x$ em cada canto e dobrando as abas. Expresse o volume da caixa como um polinómio em função de $x$ e determine o seu grau.

Dados os polinómios $P(x) = x^2 - 4$, $Q(x) = x + 2$ e $R(x) = 3x^2 - x + 1$, calcule e simplifique a expressão algébrica resultante de $\frac{P(x)}{Q(x)} \cdot R(x)$.

Fatorize completamente o polinómio $P(x) = x^3 - 4x^2 - 11x + 30$ sabendo que uma das suas raízes inteiras se encontra entre os divisores positivos de $30$.

A altura $h$ (em metros) de um drone em função do tempo $t$ (em segundos) é dada pelo polinómio $h(t) = -2t^2 + 12t + c$. Se aos $3$ segundos o drone se encontra a $25$ metros de altura, calcule o valor de $c$ e determine a altura inicial de onde levantou voo.

Simplifique a seguinte fração algébrica fatorando previamente o numerador e o denominador: $\frac{2x^2 - 8}{x^2 - 4x + 4}$.

Uma empresa de tecnologia estima que a sua receita mensal (em milhares de euros) é dada pelo polinómio $I(x) = -2x^2 + 50x$, e os seus custos de produção por $C(x) = 10x + 150$, onde $x$ é a quantidade de dispositivos fabricados (em centenas). Obtenha o polinómio que representa o lucro mensal $B(x)$ e calcule o lucro exato se forem fabricados $1000$ dispositivos.

De acordo com os registos de uma estação meteorológica do IPMA na Serra da Estrela durante um dia de inverno, a temperatura $T$ (em graus Celsius) entre a meia-noite e o meio-dia é aproximada pelo polinómio $T(t) = -0,1t^2 + 1,2t - 5$, onde $t$ é o tempo decorrido em horas ($0 \le t \le 12$).

1. a) Sem efetuar o cálculo exato, estima fundamentadamente se às $2:00$ da madrugada ($t = 2$) a temperatura será positiva ou abaixo de zero, comparando o peso do termo independente face aos restantes termos.
2. b) Verifica a tua estimativa calculando o valor numérico exato de $T(2)$ e avalia se o resultado é coerente com a tua previsão.
3. c) Um boletim informativo afirma que às $5:00$ da madrugada ($t = 5$) o termómetro marcou exatamente $0\text{ \textdegree C}$. Justifica se o valor $t = 5$ é uma raiz do polinómio $T(t)$ e determina se a afirmação do boletim é verdadeira ou falsa.

Desenha a expressão algébrica de um polinómio $P(x)$ que cumpra simultaneamente estas quatro condições:

1. É de grau $3$ e o seu coeficiente principal é $-2$.

2. É um polinómio incompleto ao qual falta o termo de grau $1$.

3. O seu termo independente é $8$.

4. O número $2$ é uma das suas raízes.

1. a) Deduz passo a passo o valor de cada um dos coeficientes e escreve o polinómio ordenado do termo de maior grau para o de menor grau.
2. b) Verifica formalmente através do cálculo do valor numérico que $x = 2$ é, com efeito, raiz do polinómio que obtiveste.

Determine os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que o polinómio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 5x + 6$ seja divisível simultaneamente por $(x - 1)$ e por $(x + 2)$.

No projeto de uma peça mecânica, inscreve-se um cilindro reto dentro de um cone de raio da base $R = 10$ cm e altura $H = 15$ cm. Se o raio da base do cilindro é $x$, expresse o volume do cilindro como um polinómio em função de $x$. Qual é o domínio geométrico válido para a variável $x$?

Realize as seguintes operações com frações algébricas e simplifique o resultado ao máximo: $\left( \frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 2} \right) : \frac{4x}{x^2 - 4}$.

Um polinómio $P(x)$ de terceiro grau tem como raízes $x = 1$, $x = -2$ e $x = 3$. Sabendo que ao dividir $P(x)$ por $x + 1$ o resto da divisão é $24$, determine a expressão geral expandida do polinómio $P(x)$.

Demonstre algebricamente que a diferença entre o quadrado da soma de dois números quaisquer $a$ e $b$, e o quadrado da sua diferença, é sempre igual a quatro vezes o produto desses números.

Fatorize o polinómio de quarto grau $P(x) = x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12$ utilizando a regra de Ruffini e a resolução de equações do segundo grau. Indique claramente todas as suas raízes.

O custo de fabrico de um cabo de fibra ótica de comprimento $x$ metros é dado por um polinómio do segundo grau $C(x) = ax^2 + bx + c$. Sabendo que fabricar $10$ metros custa $150$ €, $20$ metros custam $380$ € e os custos fixos (fabricar $0$ metros) são de $40$ €, determine a expressão do polinómio $C(x)$ e calcule o custo exato de fabricar $50$ metros.

Num projeto de arquitetura, modela-se a forma de um arco parabólico através do polinómio $A(x) = -kx^2 + 6x$. Sabendo que o arco tem uma altura máxima no seu vértice e que o polinómio é divisível por $x - 12$, determine o valor de $k$, fatorize o polinómio e determine a largura total do arco na base (a distância entre os pontos onde $A(x) = 0$).

O balanço económico anual de uma cooperativa de azeite em Évora (em milhares de euros) entre os anos de 2018 e 2024 foi modelado com o polinómio $S(t) = t^3 - 8t^2 + 11t + 20$, onde $t$ representa o número de anos decorridos desde 2018 (ou seja, $t = 0$ corresponde a 2018, $t = 1$ a 2019, etc.).

1. a) No contexto socioeconómico da cooperativa, explica que significado prático tem o facto de um valor de $t$ ser uma raiz do polinómio $S(t)$.
2. b) A gerência afirma no seu relatório que tanto em 2022 ($t = 4$) como em 2023 ($t = 5$) a cooperativa atingiu o ponto de equilíbrio orçamental (saldo exatamente igual a zero). Verifica algebricamente se $t = 4$ e $t = 5$ são raízes de $S(t)$ e determina se a afirmação do relatório é rigorosamente verdadeira em ambos os casos.
3. c) Se calculares o valor numérico para $t = -1$, obterás que $S(-1) = 0$. Justifica se, do ponto de vista do modelo real aplicado, faz sentido interpretar $t = -1$ como uma raiz válida para a gestão da empresa.

O departamento de sustentabilidade de um município analisa o rendimento energético mensal de uma instalação solar comunitária através do polinómio $R(m) = 2m^3 - 11m^2 + 17m - 6$, onde $m \in \{1, 2, 3, \dots, 12\}$ representa o mês do ano (janeiro $= 1$, fevereiro $= 2$, etc.). Pretende-se descobrir em que meses o rendimento desce para zero (ou seja, que valores de $m$ são raízes de $R(m)$).

Dois técnicos propõem estratégias distintas:

• Técnica A (Beatriz): Propõe calcular sistematicamente o valor numérico $R(m)$ substituindo os $12$ meses do ano, um a um, até encontrar quais resultam em $0$.

• Técnico B (Tomás): Recorda que as raízes inteiras de um polinómio com coeficientes inteiros devem ser divisores do seu termo independente. Como o termo independente é $-6$, propõe testar unicamente os valores de $m$ que sejam divisores positivos de $6$ contidos no conjunto do ano.

1. a) Compara a validade matemática e a eficiência prática de ambos os métodos. Justifica qual dos dois caminhos é o mais recomendável para resolver o problema sem realizar cálculos desnecessários.
2. b) Aplica o método escolhido para verificar quais desses meses candidatos são efetivamente raízes de $R(m)$ e interpreta o resultado obtido indicando os meses concretos em que o rendimento se anula.