Exercícios: Frações algébricas

Simplifique a fração algébrica $\frac{12x^4y}{4x^2}$.

Simplifique a fração algébrica $\frac{3x + 6}{3}$.

Simplifique a fração algébrica $\frac{x^2 - 4}{x + 2}$.

Simplifique a fração algébrica $\frac{x^2 + 2x}{x^2}$.

Verifique se as frações algébricas $\frac{x - 1}{x^2 - 1}$ e $\frac{1}{x + 1}$ são equivalentes. Justifique a sua resposta.

Calcule e simplifique $\frac{2x}{3} \cdot \frac{6}{x^2}$.

Calcule e simplifique $\frac{x}{x + 1} : \frac{x^2}{x + 1}$.

Uma aluna afirma que $\frac{x + 5}{5} = x + 1$, porque "o $5$ de cima e o de baixo cancelam-se". Avalie se a sua afirmação é verdadeira ou falsa, verificando-a com um valor concreto de $x$, explique o erro e escreva a simplificação correta.

O Marcos, estudante do 4.º ano do ESO, deve simplificar a fração algébrica $\dfrac{2x + 6}{x^2 - 9}$ para um exercício de aula. No seu caderno faz o seguinte:

«Corto o $+6$ com o $-9$ dividindo ambos por $3$, e simplifico o $x$ do numerador com o $x^2$ do denominador. Fica $\dfrac{2 + 2}{x - 3} = \dfrac{4}{x - 3}$. Portanto, o único valor proibido da expressão é $x = 3$».

1. a) Localiza e explica detalhadamente os dois erros conceptuais que o Marcos cometeu: um no procedimento algébrico de simplificar e outro relativo ao domínio da fração.
2. b) Realiza a simplificação de forma matematicamente correta e determina todos os valores que devem ser excluídos do domínio original.

Um grupo de alunos de uma escola secundária de Évora organiza uma viagem cultural de autocarro para visitar o Castelo de Guimarães. A empresa de transporte cobra uma tarifa fixa de $360$ € pelo aluguer do veículo, e a entrada no monumento custa $4$ € por aluno.

1. a) Escreve a fração algébrica $C(x)$ que representa o custo médio por aluno em função do número $x$ de participantes na viagem.
2. b) Tem sentido calcular $C(0)$? Justifica a tua resposta do ponto de vista da álgebra e do ponto de vista prático. Se o autocarro dispõe de $55$ lugares e a escola exige um mínimo de $15$ participantes para autorizar a saída, indica qual é o domínio realista desta expressão.
3. c) Decompõe a fração na soma de uma quantidade fixa mais outra que depende de $x$. A partir dessa decomposição, deduz o que acontece ao custo médio por aluno se o número de participantes $x$ for muito grande.

Simplifique a fração algébrica $\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9}$.

Simplifique a fração algébrica $\frac{x^2 + x - 6}{x^2 - x - 2}$ fatorando previamente o numerador e o denominador.

Efetue e simplifique $\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1}$.

Efetue e simplifique $\frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}$.

Efetue e simplifique $\frac{3}{x^2 - 1} + \frac{1}{x + 1}$.

Efetue e simplifique $\frac{x^2 - 1}{x} \cdot \frac{x^2}{x + 1}$.

Efetue e simplifique $\frac{x^2 - 4}{x + 3} : \frac{x - 2}{x^2 + 3x}$.

Uma torneira leva $x$ minutos para encher um reservatório e outra torneira leva $5$ minutos a menos para encher o mesmo reservatório. a) Expresse, em função de $x$, a fração do reservatório que as duas torneiras enchem juntas num minuto, simplificando a expressão. b) Que fração do reservatório enchem num minuto se a primeira torneira leva $20$ minutos?

Constrói uma fração algébrica $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ que cumpra simultaneamente estas três condições:

1. Os seus únicos valores proibidos (aqueles para os quais a fração original não existe) são exatamente $x = 3$ e $x = -2$.

2. Ao simplificá-la cancelando os fatores comuns, obtém-se a fração irredutível $\dfrac{5}{x + 2}$.

3. O numerador original $P(x)$ é um polinómio de grau $1$ cujo termo independente é $-15$.

1. a) Escreve os polinómios $P(x)$ e $Q(x)$ na sua forma desenvolvida (como somas e subtrações de monómios, não fatorizados).
2. b) Justifica de forma fundamentada se a fração que construíste $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ e a fração reduzida $\dfrac{5}{x + 2}$ são exatamente equivalentes para todo o valor real de $x$, indicando o que acontece em particular se avaliarmos ambas em $x = 3$.

Um comboio urbano da CP realiza um trajeto de ida e volta de $60\text{ km}$ por sentido ($120\text{ km}$ no total). Na ida circula a uma velocidade média constante de $x\text{ km/h}$. Na viagem de volta, devido a obras de manutenção na infraestrutura de acordo com dados da IP, deve reduzir a sua velocidade média em $15\text{ km/h}$, circulando a $(x - 15)\text{ km/h}$.

1. a) Sabendo que o tempo se calcula dividindo a distância pela velocidade, escreve a soma de frações algébricas que modela o tempo total gasto (em horas) e soma-as para obter uma única fração algébrica reduzida $T(x)$.
2. b) Estima e verifica: imagina que habitualmente o comboio circula a $x = 75\text{ km/h}$.

• Antes de substituir na tua fórmula reduzida, faz uma estimativa fundamentada: se na ida demora $60/75 = 0,8\text{ horas}$ ($48\text{ minutos}$) e na volta vai a $60\text{ km/h}$, o tempo total de ida e volta será maior, menor ou igual a $1,7\text{ horas}$? Justifica por que razão não se pode calcular simplesmente o tempo supondo uma velocidade média global de $(75 + 60)/2 = 67,5\text{ km/h}$.

• Substitui $x = 75$ na tua fração algébrica $T(x)$, obtém o resultado exato em horas e minutos, e verifica se a tua estimativa prévia foi acertada.

Efetue e simplifique $\left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2} \right) : \frac{2}{x^2 + 2x}$.

Simplifique a fração complexa $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}$.

Determine o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos polinómios $x^2 - 9$ e $x^2 + 6x + 9$.

Resolva a equação $\frac{x + 1}{x - 2} = \frac{x + 5}{x - 4}$. Antes de começar, indique quais os valores que $x$ não pode assumir e explique porque é necessário descartá-los.

Um ciclista percorre $60$ km a uma velocidade média de $v$ km/h e regressa pelo mesmo caminho a $v + 10$ km/h. a) Exprime o tempo total da viagem em função de $v$, como uma única fração algébrica simplificada. b) Se a viagem completa durou $5$ horas, monta a equação que permitiria determinar $v$ (não é necessário resolvê-la) e indica de que tipo ela é.

1. a) Verifique que $\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$. b) Use essa identidade para calcular, sem fazer todas as somas uma a uma, o valor de $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{99 \cdot 100}$. c) Quanto vale a soma análoga com $n$ parcelas?

Um aluno simplifica assim: "$\frac{x^2 + 4}{x + 2} = x + 2$, porque o numerador é o quadrado do denominador". Explique o erro conceptual cometido (a que é igual na realidade $(x + 2)^2$?), verifique-o substituindo $x = 3$ e raciocine se a fração pode ser simplificada de alguma forma.

Uma frutaria mistura $x$ kg de nozes a $9\ \text{€}$ o quilo com $y$ kg de passas de uva a $5\ \text{€}$ o quilo. a) Expressa o preço de um quilograma de mistura em função de $x$ e $y$. b) Quanto vale esse preço se for misturado o dobro de nozes em relação às passas de uva? c) Que relação deve haver entre $x$ e $y$ para que o quilograma de mistura custe exatamente $7\ \text{€}$?

Para calcular e simplificar a seguinte operação combinada com frações algébricas:

$E(x) = \left( \dfrac{3}{x - 2} - \dfrac{2}{x + 2} \right) \cdot \dfrac{x^2 - 4}{x + 10}$

dois colegas de turma propõem estratégias diferentes:

• Método da Alba: Opera primeiro o interior dos parênteses procurando o denominador comum, reduz o numerador obtido e, por último, realiza o produto fatorizando a segunda fração.

• Método do Bruno: Aplica a propriedade distributiva multiplicando diretamente a fração $\dfrac{x^2 - 4}{x + 10}$ por cada um dos dois termos dos parênteses, simplificando cada multiplicação antes de subtrair.

1. a) Resolve a operação seguindo passo a passo o método da Alba.
2. b) Resolve a operação seguindo passo a passo o método do Bruno.
3. c) Compara ambos os caminhos: analisa qual dos dois evita manipular polinómios de grau superior e minimiza o risco de cometer erros com os sinais. Justifica qual consideras mais vantajoso.
4. d) Embora o resultado final simplificado seja uma constante numérica, indica o domínio de definição da expressão inicial e explica por que razão essas restrições devem ser mantidas.

Segundo modelos de gestão ambiental utilizados em Portugal, o custo municipal anual $C_1$ (em milhares de euros) para recolher e processar $p\,\%$ dos resíduos plásticos de um concelho estima-se através da fração algébrica:

$C_1(p) = \dfrac{120p}{100 - p}$, com $0 \le p < 100$.

O município avalia modernizar as instalações com um sistema semiautomatizado financiado por fundos europeus, cujo custo anual estimado seria:

$C_2(p) = 30 + \dfrac{60p}{100 - p}$ (milhares de euros).

1. a) Exprime $C_2(p)$ como uma única fração algébrica reduzida com denominador comum.
2. b) Modela a função de poupança $A(p) = C_1(p) - C_2(p)$ como uma única fração algébrica irredutível.
3. c) Analisa o domínio destas expressões no contexto real: por que razão não é possível avaliar nenhuma das duas fórmulas em $p = 100$? Que significado físico tem o facto de o denominador tender para $0$ à medida que a percentagem de reciclagem $p$ se aproxima de $100\,\%$?
4. d) Estuda o sinal do numerador de $A(p)$ para determinar a partir de que percentagem de reciclagem $p$ a estação automatizada se torna mais económica em comparação com a tradicional. Se a lei nacional de resíduos fixa como objetivo municipal atingir pelo menos $60\,\%$ de reciclagem, fundamenta que opção tecnológica deve o município escolher.

Desafio do tema. Otimiza a embalagem de um envio postal sustentável.

1. Recolha de dados: Mede um objeto quotidiano de casa e consulta no site dos CTT as tarifas e medidas padrão permitidas. Modela uma caixa com base quadrada de lado $(x+3)\text{ cm}$ e altura $x\text{ cm}$. Aplica casos notáveis da multiplicação para expressar a área da base.

2. Modelização: Obtém, mediante operações com monómios e polinómios, o volume $V(x)$ e a área de superfície total de cartão $S(x)$. Estabelece a fração algébrica $\frac{S(x)}{V(x)}$ (gasto de material por unidade de capacidade) e analisa-a.

3. Cálculo e combinatória: Com o GeoGebra ou uma folha de cálculo, determina o volume para $x=10\text{ cm}$ aplicando o teorema do resto (avaliando a divisão por $x-10$). Se vais combinar $4$ artigos distintos dentro da embalagem, calcula quantas disposições lineares admitem através de $4!$. Determina as raízes de $V(x)-1500=0$ para conseguir uma capacidade exata de $1,5\text{ litros}$.

4. Proposta: Redige um relatório breve fundamentando as dimensões ótimas para minimizar custos.

Avaliar-se-á:

• Correção ao operar polinómios, casos notáveis da multiplicação e frações algébricas.

• Aplicação adequada do teorema do resto, raízes e o fatorial.

• Manuseamento de dados reais e software digital (GeoGebra ou folha de cálculo) no relatório final.