Exercícios: Fator comum

Coloque em evidência o maior fator comum possível do polinómio $P(x) = 12x^4 - 18x^3 + 6x^2$.

Coloque o fator comum em evidência na seguinte expressão algébrica com duas variáveis: $15x^3y^2 - 20x^2y^3 + 5x^2y^2$.

Coloque em evidência o fator comum $-3x$ do polinómio $Q(x) = -3x^3 + 12x^2 - 9x$.

O perímetro de um recinto é dado pela expressão $P = 8x^2 + 12x$. Escreva esta expressão como o produto de dois fatores colocando o fator comum em evidência.

Coloque o fator comum em evidência na seguinte expressão com três variáveis: $7a^2bc - 14ab^2c + 21abc^2$.

Um aluno colocou o fator comum em evidência na expressão $4x^3 - 8x^2 + 4x$ obtendo como resultado $4x(x^2 - 2x)$. Identifique o erro cometido e escreva o resultado correto da fatorização.

Coloque o fator comum em evidência na expressão $M(x, y) = 18x^2y^4 - 24x^3y^3 + 30x^4y^2$.

Expresse o polinómio $R(t) = 16t^5 - 24t^4 + 32t^3$ colocando em evidência o maior fator comum possível.

Num complexo desportivo municipal de Lisboa, o custo de manutenção mensal dos campos de padel e ténis depende do número $x$ de torneios realizados e é dado pela expressão $C(x) = 15x^2 + 45x$ euros.

1. a) Antes de operares algebricamente, faz uma estimativa mental: se no mês de maio forem organizados $x = 10$ torneios, o custo estará mais perto dos $1\,500$ euros ou dos $2\,000$ euros? Justifica brevemente a tua aproximação sem calcular ainda o valor exato.
2. b) Põe em evidência o maior fator comum monómio de $C(x)$ para transformar a expressão num produto da forma $k \cdot x \cdot (x + a)$.
3. c) Calcula o custo exato substituindo $x = 10$ na expressão fatorizada que obtiveste e verifica se a tua estimativa inicial era razoável.

Ao simplificar uma fórmula na aula, a Irene tenta colocar o fator comum em evidência no polinómio $P(x) = 6x^4 - 3x^2$ e escreve no quadro:

Quando o seu professor a avisa de que a fatorização não está correta, a Irene contesta: «O termo $3x^2$ era exatamente a segunda parcela do polinómio, por isso, ao colocá-lo fora, já não fica nada dentro dos parênteses».

1. a) Explica detalhadamente qual é o erro da Irene e que termo deve ficar no seu lugar dentro dos parênteses, apoiando-te na propriedade distributiva para justificar a tua resposta.
2. b) Escreve a fatorização completa e correta de $P(x)$.

Realize uma dupla colocação de fator comum em evidência (fatorização por agrupamento) no polinómio $P(x, y) = x^3 - 2x^2y + 3x - 6y$.

A área total de um cilindro maciço de raio $r$ e altura $h$ é dada pela expressão $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$. Coloque o fator comum em evidência para obter uma fórmula mais compacta e calcule a área exata se $r = 5$ cm e $h = 12$ cm, usando a expressão fatorada.

Os custos de produção de uma empresa em função do número de unidades fabricadas $x$ são dados por $C(x) = \frac{3}{4}x^3 - \frac{9}{8}x^2 + \frac{15}{4}x$. Coloque em evidência o maior fator comum possível, com coeficientes fracionários, de modo que o polinómio interno tenha coeficientes inteiros.

Coloque o fator comum em evidência na expressão $E(x) = x(x-3)^2 - 4(x-3)^2 + x^2(x-3)^2$.

Coloque o fator comum em evidência no polinómio $P(x) = 5x^3 - 30x^2 + 45x$ e verifique se o fator de segundo grau resultante é um caso notável. Escreva a fatorização completa.

O volume de um prisma retangular reto é dado pelo polinómio $V(x) = 3x^3 + 12x^2 + 12x$. Coloque o fator comum em evidência e aplique os casos notáveis para expressar o volume como o produto de três polinómios de primeiro grau que representam as dimensões do prisma.

Fatorize a seguinte expressão colocando o fator comum em evidência por agrupamento de termos: $5a^2b + 15a^2 - 2b - 6$.

Num circuito elétrico, a potência dissipada por três resistências em série é expressa como $P(I) = 12I^3 - 18I^2 + 6I$. Coloca o fator comum em evidência e encontra os valores de intensidade $I$ para os quais a potência é nula.

Durante uma aula de revisão, o professor apaga o quadro e deixa apenas as pistas de um polinómio misterioso $P(x)$ de grau 3:

• O monómio de maior grau de $P(x)$ tem coeficiente $4$.

• Ao colocar em evidência o seu maior fator comum monómio, que é $4x$, fica entre parênteses um trinómio do segundo grau.

• Esse trinómio entre parênteses coincide exatamente com o desenvolvimento do quadrado de uma diferença: $(x - 3)^2$.

1. a) Reconstrói o polinómio original $P(x)$ escrevendo-o na sua forma desenvolvida e reduzida ($a x^3 + b x^2 + c x$). Mostra os passos intermédios desenvolvendo primeiro o caso notável e aplicando depois a propriedade distributiva.
2. b) Sem necessidade de fazer divisões nem cálculos adicionais, deduz a partir da sua expressão fatorizada quais são as raízes reais de $P(x)$ e explica como as obtiveste.

Numa associação de regantes do Alentejo (Alqueva), uma estação de bombagem fornece água a dois setores agrícolas em função das horas $t$ de funcionamento contínuo ($0 \le t \le 10$). Os volumes diários fornecidos (em metros cúbicos) são modelados por:

• Setor dos citrinos: $V_1(t) = 8t^2 + 24t$

• Setor dos hortícolas: $V_2(t) = 4t^3 + 12t^2$

1. a) Escreve a expressão do volume total fornecido $V_T(t) = V_1(t) + V_2(t)$ na forma reduzida e fatoriza-a colocando em evidência o maior fator comum monómio possível.
2. b) Para avaliar a eficiência energética, os técnicos estudam o quociente entre ambos os consumos através da fração algébrica $\frac{V_2(t)}{V_1(t)}$. Fatoriza o numerador e o denominador, simplifica a fração cancelando os fatores comuns completos e calcula para quantas horas de rega ($t$) o volume consumido pelos hortícolas triplica o dos citrinos.

Fatorize completamente o polinómio $P(x) = x^{n+3} - 4x^{n+2} + 4x^{n+1}$ colocando primeiro o fator comum adequado em evidência, assumindo que $n$ é um número natural.

A figura mostra um retângulo dividido em quatro regiões de áreas $A_1 = x^2$, $A_2 = 3x$, $A_3 = 2x$ e $A_4 = 6$. Expresse a área total como um polinómio, coloque o fator comum em evidência por agrupamento de termos e deduza as expressões da base e da altura do retângulo total.

Encontra o valor dos parâmetros $a$ e $b$ sabendo que, ao colocar o fator comum $2x^2$ em evidência no polinómio $P(x) = 2x^4 + ax^3 + bx^2$, o polinómio resultante é o quadrado de um binómio, o coeficiente de $x^3$ é negativo e se verifica que $P(1) = 18$.

Fatorize a seguinte expressão algébrica complexa, realizando colocações sucessivas do fator comum em evidência: $M(x, y) = x^2(x-y) - y^2(x-y) - x(x-y)^2 + y(x-y)^2$.

Um arquiteto projeta uma estrutura cujo peso suportado em função de uma variável estrutural $x$ é $W(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3 + 2x^2$. Coloque o fator comum em evidência e fatorize completamente o polinómio. Para quais valores de $x > 0$ a estrutura não suporta peso algum?

Fatorize por agrupamento de termos o polinómio de três variáveis $Q(a, b, c) = a^2b - a^2c + ab^2 - ac^2 - b^2c + bc^2$. Agrupe em pares e procure um fator comum binomial.

No estudo da deflexão de uma viga, aparece o polinómio $D(x) = kx^5 - 3kx^4 + 3kx^3 - kx^2$, onde $k$ é uma constante não nula. Coloque o fator comum em evidência e fatorize o polinómio restante sabendo que $x=1$ é uma raiz múltipla.

Demonstre algebricamente que a expressão $E = (2n+1)^2 - (2n-1)^2$ é sempre múltiplo de $8$ para qualquer número inteiro $n$, desenvolvendo os quadrados e colocando o fator comum em evidência no resultado.

Para fatorizar completamente o polinómio $P(x) = 3x^3 - 15x^2 - 12x + 60$ e encontrar as suas raízes, dois alunos propõem caminhos diferentes:

• O Tomás afirma que o mais seguro é usar diretamente a regra de Ruffini, tentando a sua sorte com os divisores inteiros do termo independente $60$.

• A Leonor defende que é muito mais rápido e elegante colocar primeiro o fator comum numérico $3$ em evidência, agrupar os quatro termos resultantes aos pares (fatorização por agrupamento) e depois aplicar um caso notável.

1. a) Desenvolve por completo o procedimento da Leonor: coloca o fator comum numérico em evidência, realiza a dupla colocação em evidência agrupando termos e decompõe a diferença de quadrados final para obter os três fatores de grau 1.
2. b) Compara ambos os métodos e justifica de forma crítica por que razão a proposta da Leonor é claramente mais vantajosa do que a do Tomás neste caso: quantos divisores de $60$ teria o Tomás de testar, no máximo, e que riscos de cálculo acarreta o seu método?

De acordo com dados técnicos da Red Eléctrica de España (REE), a curva estimada de potência gerada (em quilowatts, kW) por uma pequena central solar fotovoltaica no Alentejo durante um dia de sol é modelada pelo polinómio:

onde $t$ representa o tempo em horas decorrido desde o nascer do sol às 6:00 h (ou seja, $t = 0$ são as 6:00 h e $t = 12$ são as 18:00 h do pôr do sol).

1. a) Põe em evidência o maior fator comum monómio possível da expressão $P(t)$.
2. b) Verifica que o trinómio que fica dentro dos parênteses é um trinómio quadrado perfeito (caso notável) e escreve a fatorização completa do polinómio $P(t)$.
3. c) A partir da fatorização anterior e sem resolver nenhuma equação do segundo grau, deduz a que horas do dia a potência gerada é exatamente $0\text{ kW}$.
4. d) Em matemática, se um fator está ao quadrado, como $(t - a)^2$, diz-se que $a$ é uma «raiz dupla». Justifica por que razão faz sentido físico que às 18:00 h ($t = 12$) haja uma raiz dupla (a curva toca suavemente no zero sem passar para valores negativos de potência) em vez de um corte brusco com o eixo.