Exercícios: Aproximação e erros

No ecrã da sua calculadora aparece o número irracional $\sqrt{10} = 3,16227766...$

Copie a seguinte tabela para o seu caderno e complete-a realizando as aproximações indicadas para esse número:

Tipo de aproximação	Às unidades	Aos décimos	Aos centésimos	Aos milésimos
Por truncatura
Por arredondamento

Estás a ajudar a organizar uma corrida solidária na tua escola. Ao calcular a distância exata de um troço do percurso com o GPS, obténs 2,3458 km.

Para fazer os cartazes informativos, precisas de simplificar este valor. Escreve como ficaria esta distância se aproximarmos por arredondamento:

1. a) Às unidades (km).

1. b) Às décimas.

1. c) Às centésimas.

Para a alínea c), ajuda-te da seguinte reta numérica, que mostra o troço entre 2,34 e 2,35 e onde cai o número:

Um streamer famoso publicou um vídeo que tem exatamente 3 894 215 visualizações.

1. a) Escreva essa quantidade arredondada aos milhões.
2. b) Escreva a quantidade arredondada às centenas de milhar.
3. c) Quantos algarismos significativos utilizou na alínea b)?

Ao medir o comprimento da sua mesa de estudos, o valor real de fábrica é de 120 cm. Ao utilizar uma fita métrica, obtém-se uma medida de 119 cm.

1. a) Calcule o erro absoluto ($E_a$) cometido na sua medição. Lembre-se de que o erro absoluto é a diferença em valor positivo entre o valor real e o aproximado: $E_a = |V_{real} - V_{aprox}|$.
2. b) Se o teu colega mede o corredor da escola, que mede realmente 5000 cm, e obtém 4999 cm, o erro absoluto dele é de 1 cm, igual ao teu. Isto significa que ambas as medições têm a mesma precisão? Justifica a tua resposta (podes apoiar-te no conceito de erro relativo).

Vamos calcular o erro relativo ($E_r$) para comparar duas pesagens diferentes. Lembra-te de que a fórmula é $E_r = \frac{E_a}{|V_{real}|}$.

1. Caso A: Pesa-se uma maçã cujo peso real é 200 g e a balança marca 205 g.

2. Caso B: Pesa-se um cão cujo peso real é 20 000 g (20 kg) e a balança marca 20 005 g.

Calcule o erro relativo em ambos os casos (pode expressá-lo em forma decimal ou percentagem) e indique qual medição foi mais precisa (de maior qualidade).

Vê a seguinte imagem que representa o velocímetro digital de uma bicicleta elétrica:

O velocímetro mostra apenas números inteiros (sem casas decimais) e marca 24 km/h por arredondamento às unidades.

Isso significa que a velocidade real não é exatamente 24 km/h, mas está compreendida num intervalo. Entre quais dois valores (limite inferior e limite superior) se encontra a velocidade real da bicicleta?

Foste ao supermercado comprar ingredientes para um jantar. Os preços reais dos produtos são:

• Massa: 1,85 €

• Molho de tomate: 2,15 €

• Queijo ralado: 3,48 €

• Refrigerante: 1,25 €

1. a) Faz uma estimativa rápida do custo total, arredondando cada preço às unidades antes de somar.
2. b) Calcula a soma exata dos preços.
3. c) Calcula a diferença (erro absoluto) entre a tua estimativa e o preço real. Achas que foi uma boa estimativa para saber se tinhas 10 € no bolso?

Queremos calcular a área de um círculo cujo raio medimos com uma régua.

A medida do raio é $r = 5$ cm.

Sabemos que a área de um círculo é $A = \pi \cdot r^2$.

1. a) Se utilizarmos a aproximação de $\pi \approx 3$, qual é a área calculada?
2. b) Se utilizarmos a aproximação de $\pi \approx 3,14$, qual é a área calculada?
3. c) Sabendo que o valor "real" (usando a tecla $\pi$ da calculadora) é aproximadamente 78,54 cm², calcule o erro absoluto cometido na alínea a) e na alínea b). Qual aproximação de $\pi$ é mais adequada usar na matemática do 9.º ano?

O Marcos afirma na aula de Matemática que as quantidades $0,0350\text{ m}$ e $350\text{ m}$ têm exatamente a mesma quantidade de algarismos significativos porque «os zeros não acrescentam valor e ambos os números se reduzem a 35». Além disso, garante que em $0,0350\text{ m}$ o instrumento mediu com precisão de unidades porque não conta decimais.

1. a) Explica fundamentadamente os dois erros concetuais que o Marcos comete sobre a função dos zeros.
2. b) Indica o número correto de algarismos significativos de cada uma das duas medidas, justificando o papel de cada zero.
3. c) Se a medida $0,0350\text{ m}$ foi obtida com um instrumento cujo último algarismo indica a sensibilidade da leitura, qual é o limite de erro absoluto (a meia unidade do último algarismo) cometido ao medir?

Um número decimal positivo $x$ foi aproximado às décimas por arredondamento, obtendo-se como resultado $4,8$.

1. a) Se sabemos que ao arredondar o valor original aumentou e que o erro absoluto cometido foi exatamente de $0,03$, qual era o valor exato de $x$?
2. b) Escreve, através de um intervalo ou desigualdades, todos os possíveis números reais que, ao serem arredondados às décimas, dão como resultado $4,8$.
3. c) Qual é o erro absoluto máximo que se pode cometer ao arredondar qualquer número às décimas?

No âmbito científico e tecnológico, é crucial saber com que precisão estamos a trabalhar. Arredonde os seguintes números para três algarismos significativos:

1. a) A quantidade de visualizações de um vídeo viral: $14\,592\,301$.
2. b) A massa de uma partícula de pó: $0,00040961$ gramas.
3. c) O número $\pi$: $3,141592...$
4. d) A capacidade de um disco rígido em bytes: $1\,024\,576\,000$.

Depois, expresse cada resultado utilizando a notação científica.

Vamos analisar o erro que cometemos ao usar dízimas em vez de frações. Considere a fração $\frac{7}{3}$.

1. a) Escreva a sua representação decimal e arredonde-a às centésimas.
2. b) Calcule o erro absoluto ($E_a$) cometido com essa aproximação.
3. c) Calcule o erro relativo ($E_r$) e expresse-o em forma de percentagem.

Nota: Lembre-se de que, para o cálculo do erro, se deve usar o valor exato (a fração) como referência.

Dois estudantes realizam medições diferentes para um projeto de ciências.

• Maria mede o comprimento de um campo de futebol e obtém $105$ m, com um erro absoluto de $0,5$ m.

• Marcos mede o comprimento do ecrã de um telemóvel e obtém $15$ cm, com um erro absoluto de $0,1$ cm.

Qual das duas medições é mais precisa (tem maior qualidade)? Justifica a tua resposta calculando os erros relativos de ambas as medidas.

Em muitos postos de abastecimento, o preço do combustível é exibido com três casas decimais (milésimos de euro), embora paguemos com moedas que chegam apenas aos cêntimos (centésimos).

O preço do gasóleo hoje é de $1,489$ €/litro.

Vais abastecer exatamente $35$ litros.

1. a) Calcula o preço real exato multiplicando os $35$ litros pelo preço com três casas decimais.
2. b) Calcula o preço se arredondarmos primeiro o preço do litro para duas casas decimais ($1,49$ €/L).
3. c) Qual é a diferença em euros entre ambos os métodos? Quem sai a ganhar com o arredondamento prévio, o cliente ou o posto de abastecimento?

Queremos calcular a área de um retângulo cuja base mede $\sqrt{5}$ cm e cuja altura mede $\sqrt{3}$ cm.

1. a) Calcule a área exata utilizando radicais.
2. b) Aproxime $\sqrt{5}$ e $\sqrt{3}$ às centésimas e calcule a área aproximada com esses valores.
3. c) Determine o erro absoluto cometido ao usar os valores aproximados em relação ao valor exato da alínea a).

As balanças de casa de banho digitais costumam ter uma precisão de $100$ gramas ($0,1$ kg). Isto significa que, se a balança marca $54,2$ kg, o peso real poderá estar um pouco acima ou um pouco abaixo, mas arredondado a essa casa decimal.

1. a) Escreva o intervalo de valores reais possíveis para um peso medido de $54,2$ kg.
2. b) Qual é o majorante do erro absoluto desta balança?

Calcule o erro relativo cometido nas seguintes aproximações e indique qual delas é a pior aproximação (a que tem maior erro relativo):

1. a) Aproxime a fração $\frac{1}{3}$ por $0,33$.
2. b) Aproxime o número $\sqrt{2}$ por $1,41$.
3. c) Aproxime um orçamento de $150\,000$ € por $140\,000$ €.

Nas notícias, anunciaram que "aproximadamente 25 000 pessoas" compareceram a uma manifestação.

1. a) Se sabemos que essa citação foi obtida arredondando para os milhares, qual é o número máximo e mínimo de pessoas que poderiam ter comparecido realmente?
2. b) Represente este intervalo na reta numérica.
3. c) Qual é o erro absoluto máximo que se poderia estar a cometer com essa notícia?

Uma família prepara uma viagem de carro de Madrid a Córdoba pela autoestrada A-4. A distância indicada pelo navegador é de $396,4\text{ km}$, o consumo médio do veículo é de $6,8\text{ litros}$ a cada $100\text{ km}$ e o preço da gasolina nesse momento é de $1,59\text{ €/litro}$.

1. a) Antes de operares com decimais, arredonda cada um dos três dados numéricos a um único algarismo significativo e faz uma estimativa mental do gasto total de combustível da viagem.
2. b) Utiliza a calculadora com os dados originais para calcular o custo real exato do trajeto (apresenta o resultado arredondado aos cêntimos de euro).
3. c) Calcula o erro absoluto e o erro relativo percentual da tua estimativa em relação ao valor real. A partir do resultado, avalia se a estimativa prévia foi razoável para planear o orçamento da viagem.

Numa oficina de caixilharia metálica dispõem de barras de alumínio de $300\text{ cm}$ de comprimento e precisam de cortar peças individuais de $14,6\text{ cm}$. Para descobrir quantas peças completas se obtêm de cada barra, dois operários dividem $300 : 14,6 = 20,5479...$:

• A Inês diz: «Devemos arredondar às unidades; como o algarismo das décimas é um 5, obtemos 21 peças».

• O Duarte diz: «Devemos truncar às unidades; portanto, obtemos 20 peças».

1. a) Qual dos dois métodos é o adequado para resolver este problema real? Explica que consequência prática teria aplicar o método incorreto.
2. b) Com o método correto, calcula quantos centímetros de alumínio sobram exatamente de uma barra após obter todas as peças possíveis.
3. c) Apresenta uma situação quotidiana diferente desta em que o truncamento seja mais conveniente ou realista do que o arredondamento matemático, e justifica o porquê.

Num laboratório de nanotecnologia e num observatório astronómico, foram realizadas duas medições distintas com os respetivos instrumentos de precisão:

1. O comprimento de um chip microscópico: $0,00045 \text{ m}$ (com um erro possível de $\pm 0,00001 \text{ m}$).

2. A distância entre dois satélites: $45000 \text{ km}$ (com um erro possível de $\pm 100 \text{ km}$).

Sem realizar cálculos complexos, pode pensar-se que a medição do chip é "mais precisa" por ser o número menor, mas qual das duas medições tem maior qualidade ou precisão científica?

Justifique a sua resposta calculando o erro relativo de ambas as medições e expressando-o em percentagem.

Queremos pintar uma pista de aterragem para helicópteros (heliporto) que tem formato circular. Para calcular a quantidade de tinta necessária, medimos o raio e obtemos $r = 12,5 \text{ m}$. Sabemos que a fórmula da área é $A = \pi \cdot r^2$.

1. a) Calcule a área "exata" utilizando a tecla $\pi$ da sua calculadora.
2. b) Calcule a área aproximada utilizando o valor arredondado $\pi \approx 3,14$.
3. c) Calcule o erro absoluto e o erro relativo cometidos ao usar a aproximação de $\pi$ em relação ao valor da calculadora.
4. d) Se uma lata de tinta cobre $5 \text{ m}^2$, o erro cometido afeta o número de latas que devemos comprar?

Uma empresa de joalharia compra ouro com base no peso. A sua balança digital mede com uma precisão de centésimos de grama ($0,01 \text{ g}$). No entanto, a fatura emitida trunca o peso a apenas uma casa decimal (décimos de grama) para efetuar a cobrança.

Esta semana, compraram 4 lotes de ouro cujos pesos reais na balança foram:

• Lote A: $12,48 \text{ g}$

• Lote B: $25,19 \text{ g}$

• Lote C: $8,76 \text{ g}$

• Lote D: $15,95 \text{ g}$

1. a) Calcule o peso total real somando as quantidades exatas da balança.
2. b) Calcule o peso total que aparece nas faturas somando as quantidades truncadas aos décimos.
3. c) Qual é o erro absoluto total cometido com esse método de faturação? Quem sai prejudicado: o comprador ou o vendedor?

Temos um reservatório de água com formato de paralelepípedo retângulo (caixa retangular). Medimos as suas dimensões com uma fita métrica que marca apenas decímetros, de modo que as nossas medições têm um limite de erro absoluto de $0,5 \text{ dm}$ (ou seja, o valor real poderia ser 0,5 dm maior ou menor).

As medidas obtidas são:

• Comprimento: $20 \text{ dm}$

• Largura: $10 \text{ dm}$

• Altura: $15 \text{ dm}$

Calcule o volume do reservatório ($V = \text{largo} \times \text{ancho} \times \text{alto}$) e determine entre quais dois valores (intervalo) se encontra o volume real do reservatório, considerando os limites de erro de cada medida.

Vamos aproximar o número irracional $\sqrt{10}$.

1. a) Escreva a aproximação de $\sqrt{10}$ por arredondamento às décimas, às centésimas e às milésimas.
2. b) Calcule o erro absoluto cometido em cada um dos três casos anteriores (usando o valor da calculadora como "valor real").
3. c) Quantas casas decimais precisamos de considerar para que o erro absoluto seja menor que $0,0001$? Justifique a sua resposta sem necessidade de escrever todos os algarismos, usando a lógica dos majorantes do erro.

Um velocímetro digital de uma bicicleta marca a velocidade com apenas uma casa decimal. Num determinado momento, marca $24,5 \text{ km/h}$.

Sabemos que este aparelho aproxima por arredondamento às décimas.

1. a) Escreve o intervalo de valores reais possíveis no qual se encontra a velocidade exata da bicicleta. Ou seja, qual é a velocidade mínima e máxima a que o ciclista poderia estar a deslocar-se para que o aparelho marque 24,5?
2. b) Se o ciclista mantiver essa velocidade durante 2 horas exatas, qual é a diferença máxima em quilómetros (majorante do erro absoluto) entre a distância calculada com o valor 24,5 e a distância real possível?

Deseja-se dividir um terreno retangular em lotes para construir moradias.

As dimensões do terreno são $\frac{200}{3}$ metros de comprimento e $\frac{100}{7}$ metros de largura.

Se trabalharmos com frações, o cálculo é exato, mas os operários precisam de números decimais.

1. a) Calcule a área exata do terreno usando as frações.
2. b) Aproxime cada dimensão a duas casas decimais (centésimos) e calcule a área com esses valores aproximados.
3. c) Qual é o erro relativo cometido ao calcular a área com os valores aproximados em relação ao valor exato da fração?

Calcula passo a passo a cota de erro absoluto e a cota de erro relativo na seguinte operação combinada, tendo em conta a ordem das operações.

Dados os números $A = 2,86$ e $B = 4,13$, aproximações de uns valores reais desconhecidos, mas sabendo que ambos foram arredondados às centésimas.

1. a) Calcula o valor de $C = \frac{A + B}{2}$.

1. b) Raciocina: qual é a cota de erro absoluto do resultado $C$? (Pista: pensa no valor máximo e mínimo que $A$ e $B$ poderiam ter antes de serem arredondados).

1. c) Calcula a cota de erro relativo de $C$, dividindo a cota de erro absoluto pelo valor de $C$.

Nos comunicados de imprensa sobre o recenseamento municipal do Instituto Nacional de Estatística (INE), a população recenseada em Teruel é publicada como $36\,000$ habitantes (arredondada aos milhares mais próximos), enquanto a de Madrid é publicada como $3\,340\,000$ habitantes (arredondada às dezenas de milhar mais próximas).

1. a) Determina o limite de erro absoluto (erro máximo possível) cometido no valor de cada uma das duas cidades.
2. b) Calcula o limite de erro relativo percentual de cada medição tomando como referência o valor publicado.
3. c) Um título de jornal afirma: «O valor oficial de Madrid é dez vezes menos preciso e fiável do que o de Teruel porque a sua margem de erro absoluto é de $5\,000$ pessoas face às $500$ de Teruel». Utiliza os conceitos de erro absoluto e erro relativo para rebater matematicamente a afirmação do jornalista e concluir qual dos dados tem maior qualidade.

Um laboratório farmacêutico fabrica cápsulas nas quais a massa teórica de princípio ativo deve ser de $0,250\text{ g}$. O protocolo de controlo de qualidade exige de forma estrita que o erro relativo da massa real relativamente ao valor teórico não ultrapasse $1,6\,\%$.

1. a) Estabelece a condição matemática e determina o intervalo de massa real $[m_{\text{mín}}, m_{\text{máx}}]$ que torna uma cápsula aceitável.
2. b) Para realizar o controlo, o laboratório dispõe de duas balanças analíticas:

• Balança A: precisão de $\pm 0,005\text{ g}$.

• Balança B: precisão de $\pm 0,001\text{ g}$.

Calcula o erro relativo máximo percentual introduzido unicamente pela imprecisão de cada instrumento ao pesar $0,250\text{ g}$. Justifica de forma fundamentada se a Balança A é adequada para certificar o cumprimento do protocolo ou se é imprescindível utilizar a Balança B.