Exercícios: Semelhança

Um designer gráfico está a trabalhar no logótipo de uma nova aplicação. O desenho original é um retângulo que mede $8\text{ cm}$ de largura e $12\text{ cm}$ de altura. Para o ecrã de carregamento, precisa de criar uma versão maior que seja semelhante à original. Se a largura da versão ampliada deve ser de $20\text{ cm}$, qual será a altura do logótipo nesse ecrã?

Na planta de uma casa, a escala utilizada é $1:50$. Se a sala tem um comprimento de $12\text{ cm}$ no desenho, calcule quantos metros mede o comprimento real dessa divisão.

Dois triângulos estão em posição de Tales. Sabendo que os segmentos horizontais são paralelos e medem $6\text{ cm}$ e $10\text{ cm}$, e que o segmento vertical do triângulo menor mede $9\text{ cm}$, calcula o valor do segmento vertical desconhecido, designado por $x$, do triângulo maior.

Um aluno do 9.º ano mede $1,60\text{ m}$ de altura. A certa hora do dia, projeta uma sombra no chão de $2\text{ m}$. Se, mesmo ao lado, um poste de iluminação projeta uma sombra de $5\text{ m}$, qual é a altura do poste?

Indica se os seguintes pares de triângulos são semelhantes e justifica qual o critério que utilizaste (AAA, LLL ou LAL):

• Triângulo 1: Ângulos de $40^\circ$ e $70^\circ$.

• Triângulo 2: Ângulos de $70^\circ$ e $70^\circ$.

Uma pizzaria oferece dois tamanhos de pizza redonda que são semelhantes. A pizza "Pequena" tem um raio de $10\text{ cm}$ e uma área de aproximadamente $314\text{ cm}^2$. Se a pizza "Familiar" tem um raio de $20\text{ cm}$, qual será a sua área? (Lembra-te da relação entre a razão de semelhança $k$ e as áreas).

O Marcos quer fazer uma cópia ampliada de uma gravura artística retangular de $15\text{ cm} \times 20\text{ cm}$. Na reprografia oferecem-se para a ampliar proporcionalmente de modo a que a nova largura seja de $45\text{ cm}$. O Marcos calcula mentalmente: «Como a largura passa de $15\text{ cm}$ para $45\text{ cm}$, a figura triplica. A gravura original custava $2\text{ €}$, pelo que a nova gravura, ao ter o triplo do tamanho, vai custar-me exatamente $6\text{ €}$».

1. a) Identifica o erro no raciocínio do Marcos sobre o custo do papel. Que grandeza geométrica determina o gasto de material: o comprimento linear ou a área?
2. b) Encontra a razão de semelhança linear $k$ e calcula as dimensões (largura e comprimento) e a área da gravura ampliada.
3. c) Se o preço do papel especial de impressão for proporcional à superfície impressa, qual é o preço real e justo que o Marcos deveria pagar pela gravura grande?

Numa praça de Viseu, às onze da manhã, um sinal vertical de trânsito de $2\text{ m}$ de altura projeta sobre o pavimento uma sombra de $1,6\text{ m}$. Nesse mesmo instante, a torre de uma igreja próxima projeta uma sombra retilínea de $28\text{ m}$.

1. a) Antes de calcular com precisão, faz uma estimativa fundamentada: observando a relação entre a altura do sinal e a sua sombra, esperas que a altura da torre seja maior ou menor do que o comprimento da sua sombra? Estará mais próxima de $20\text{ m}$, de $35\text{ m}$ ou de $50\text{ m}$?
2. b) Apresenta a proporção matemática correspondente (recorrendo a triângulos semelhantes formados pelos raios solares) e calcula com exatidão a altura da torre.
3. c) Compara o valor numérico obtido com a tua estimativa prévia e avalia se o resultado faz sentido físico e arquitetónico para um campanário histórico.

Um designer gráfico está a trabalhar no logótipo de uma nova marca de roupa. O desenho original é um quadrilátero com lados que medem $6\text{ cm}$, $8\text{ cm}$, $9\text{ cm}$ e $12\text{ cm}$. O cliente pede uma versão maior para um cartaz publicitário, na qual o lado que antes media $9\text{ cm}$ agora deve medir $45\text{ cm}$.

1. a) Calcule a razão de semelhança $k$ entre o logótipo do cartaz e o original.
2. b) Determine a medida dos outros três lados no logótipo do cartaz.
3. c) Se o perímetro do logótipo original é de $35\text{ cm}$, qual será o perímetro do logótipo do cartaz sem somar os seus lados um a um?

Para calcular a altura de uma torre de comunicação que projeta uma sombra muito longa, Marcos, que mede $1,70\text{ m}$, posiciona-se em pé de forma que a extremidade da sua própria sombra coincida com a extremidade da sombra da torre. Se Marcos está a $25\text{ m}$ da base da torre e a sua sombra mede $2,5\text{ m}$, responde:

1. a) Porque podemos afirmar que os triângulos formados por Marcos e pela torre com as suas respetivas sombras são semelhantes? Menciona o critério de semelhança utilizado.
2. b) Calcula a altura da torre.

Na seguinte figura, as rectas $r$, $s$ e $t$ são paralelas. Sabendo que $y = x + 1$, utiliza o Teorema de Tales para calcular os comprimentos desconhecidos $x$ e $y$ expressos em centímetros.

Um projetor de cinema está situado a $6\text{ metros}$ de um ecrã. O feixe de luz projeta uma imagem que no ecrã tem uma altura de $2,4\text{ metros}$.

1. a) Se colocarmos um obstáculo de $40\text{ cm}$ de altura paralelo ao ecrã para criar uma sombra chinesa, a que distância do projetor devemos colocá-lo para que a sua sombra ocupe exatamente toda a altura do ecrã?
2. b) Se afastarmos o projetor até aos $9\text{ metros}$ do ecrã, qual será a nova altura da imagem projetada?

Dois retângulos são semelhantes. O primeiro tem uma base de $12\text{ cm}$ e uma área de $96\text{ cm}^2$. O segundo retângulo tem uma área de $150\text{ cm}^2$.

1. a) Calcule a razão de semelhança entre o segundo e o primeiro retângulo. (Dica: utilize a relação entre áreas).
2. b) Calcule as dimensões (base e altura) do segundo retângulo.
3. c) Qual é a razão entre os seus perímetros?

Observe o triângulo retângulo da figura. A altura $h$ relativa à hipotenusa divide o triângulo original em dois triângulos menores.

1. a) Justifique por que razão os três triângulos (o original e os dois pequenos) são semelhantes entre si.
2. b) Se os segmentos em que a hipotenusa fica dividida medem $m = 4\text{ cm}$ e $n = 9\text{ cm}$, calcule a altura $h$ utilizando a semelhança dos dois triângulos pequenos.
3. c) Calcule a área do triângulo original.

Uma empresa de móveis fabrica mesas de centro hexagonais regulares. Há dois modelos: o modelo "Mini" tem um lado de $30\text{ cm}$ e o seu tampo de vidro custa $45\text{ €}$. O modelo "Grande Salão" é semelhante ao anterior e tem um lado de $60\text{ cm}$.

1. a) Qual é a razão de semelhança entre o modelo grande e o pequeno?
2. b) Sabendo que o preço do vidro é proporcional à sua superfície, quanto custará o tampo de vidro do modelo "Grande Salão"?
3. c) Se para contornar a mesa pequena com uma fita metálica são necessários $180\text{ cm}$, quanta fita será necessária para a mesa grande?

Num mapa do Instituto Geográfico do Exército (IGeoE) à escala $1:50\,000$, uma brigada de sapadores florestais analisa uma parcela triangular de monte. No papel, os três lados do triângulo medem exatamente $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ e $5\text{ cm}$.

1. a) Verifica numericamente que o triângulo do mapa é retângulo e calcula o seu perímetro (em $\text{cm}$) e a sua área (em $\text{cm}^2$).
2. b) Utilizando a escala como razão de semelhança linear, calcula os comprimentos reais dos três lados do terreno florestal em quilómetros e obtém o seu perímetro real.
3. c) Calcula a superfície real da parcela de duas formas independentes: primeiro, calculando a área a partir dos comprimentos reais em quilómetros da alínea anterior; segundo, multiplicando a área do mapa pela razão de áreas $k^2$ adequada. Verifica que ambos os métodos coincidem e expressa o resultado final em hectares ($1\text{ km}^2 = 100\text{ ha}$).

Uma oficina de cerâmica artesanal de Estremoz (Évora) fabrica azulejos decorativos semelhantes com a forma de paralelogramo. O molde básico tem uma base de $12\text{ cm}$, uma altura de $5\text{ cm}$ e lados laterais inclinados de $6,5\text{ cm}$. Para um mural num edifício público, recebem a encomenda de fabricar peças semelhantes cuja superfície individual seja exatamente de $1\,500\text{ cm}^2$.

1. a) Calcula a área e o perímetro do azulejo básico.
2. b) Apresenta a relação matemática entre as áreas de duas figuras semelhantes para deduzir a razão de semelhança linear $k$ que transforma o azulejo básico no azulejo grande do mural.
3. c) A partir dessa razão $k$, calcula as dimensões completas (base, altura e lados oblíquos) do azulejo grande, bem como os metros de fita protetora que serão necessários para embalar o contorno perimétrico de cada uma das peças grandes.

Um arquiteto está a projetar a fachada de um auditório moderno. Desenhou um triângulo retângulo principal e, para melhorar a acústica, precisa de traçar a altura relativa à hipotenusa. Esta altura divide o triângulo original em outros dois triângulos menores. Sabendo que os catetos do triângulo original medem $18\text{ m}$ e $24\text{ m}$, utilize a semelhança de triângulos para calcular:

1. a) O comprimento da altura relativa à hipotenusa.
2. b) Os comprimentos dos dois segmentos em que a hipotenusa fica dividida.

Uma empresa de impressão 3D criou uma maquete em escala de uma praça circular. Na maquete, a área da praça é de $450\text{ cm}^2$. O cliente solicita uma segunda maquete onde o perímetro seja $20\%$ maior do que o da primeira maquete.

1. a) Qual será a área da praça nesta segunda maquete?
2. b) Se a praça real tem um raio de $30\text{ m}$, qual é a escala utilizada na primeira maquete? (Exprime a escala no formato $1:n$).

Para medir a altura de uma torre de refrigeração de uma central elétrica, uma equipa de engenheiros utiliza um espelho colocado no chão. O engenheiro posiciona-se de modo que, ao olhar para o espelho, vê refletida a parte superior da torre. O espelho está a $45\text{ m}$ da base da torre. O engenheiro, cujos olhos estão a uma altura de $1,75\text{ m}$, encontra-se a $1,5\text{ m}$ do espelho. Entre o espelho e a torre há uma vedação de segurança de $5\text{ m}$ de altura.

A que distância mínima do espelho deve estar a vedação para que não oculte o reflexo da parte superior da torre nos olhos do engenheiro?

Duas cidades, A e B, estão separadas por um rio de margens paralelas. Para calcular a distância entre um ponto $P$ na margem da cidade A e um ponto $Q$ na margem da cidade B (situado bem em frente), um topógrafo percorre $60\text{ m}$ pela margem da cidade A até um ponto $R$. A partir de $R$, caminha outros $20\text{ m}$ na mesma direção até um ponto $S$. Em $S$, vira $90^\circ$ e afasta-se do rio até que os pontos $Q$ e $R$ fiquem alinhados com a sua posição atual ($T$). Se a distância $ST$ é de $15\text{ m}$:

1. a) Calcule a largura do rio ($PQ$).
2. b) Calcule a distância em linha reta entre o topógrafo no ponto $T$ e o ponto $Q$ do outro lado do rio.

Um drone projeta um feixe de luz cónico sobre um terreno plano. A uma altura de $10\text{ m}$, o feixe ilumina um círculo de $4\text{ m}$ de raio. O drone desce até uma altura em que a área iluminada fica reduzida exatamente a um quarto da original.

Desenha o esquema no teu caderno.

1. a) A que altura se encontra agora o drone?
2. b) Se no centro da área iluminada houver um objeto cilíndrico de $1,5\text{ m}$ de altura e $0,85\text{ m}$ de raio, que raio terá a sombra projetada por esse objeto quando o drone estava a $10\text{ m}$ de altura?

Podes fazer no papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Num mapa de uma zona florestal, um incêndio afetou uma superfície em forma de trapézio. As bases do trapézio no mapa medem $4\text{ cm}$ e $7\text{ cm}$, e a sua altura é de $3\text{ cm}$. Sabe-se que a superfície real afetada é de $16,5\text{ hectáreas}$ ($1\text{ ha} = 10\,000\text{ m}^2$).

1. a) Calcule a escala do mapa.
2. b) Se for decidido reflorestar uma área adjacente que no mapa é um triângulo semelhante ao que se formaria ao prolongar os lados não paralelos do trapézio, e cuja base é a base menor do trapézio, que superfície real terá essa área de reflorestamento?

Projeta-se um slide sobre um ecrã situado a $6\text{ m}$ de distância. O tamanho da imagem projetada é de $1,8\text{ m}$ de altura por $2,4\text{ m}$ de largura.

1. a) Se o slide original tem dimensões de $24\text{ mm}$ por $32\text{ mm}$, a que distância do slide se encontra o foco de luz do projetor?
2. b) Se movermos o ecrã para que fique a $9\text{ m}$ do projetor, quantas vezes a área da imagem aumentará em relação à projeção anterior?

Considere um triângulo isósceles $ABC$ onde o lado desigual $BC$ mede $12\text{ cm}$ e os lados iguais medem $10\text{ cm}$ cada um. Inscrito nele, coloca-se um quadrado cuja base se apoia sobre o lado $BC$ do triângulo e cujos outros dois vértices tocam os lados $AB$ e $AC$.

Utilize a semelhança entre o triângulo original e o triângulo pequeno que fica acima do quadrado para calcular o lado do quadrado.

Para garantir a acessibilidade numa estação de caminhos de ferro, instala-se uma rampa reta contínua que vence um desnível vertical de $1,2\text{ m}$ sobre uma distância horizontal no solo de $9\text{ m}$. Por motivos estruturais, deve colocar-se um pilar vertical de apoio a $3\text{ m}$ de distância horizontal a partir do início da rampa. É necessário calcular a altura $h$ desse pilar e o comprimento $d$ do troço inclinado de rampa que vai desde o solo até ao topo do pilar.

Para o resolver, dois técnicos discutem qual o caminho mais conveniente:

• Estratégia 1 (Semelhança geométrica direta): Considerar o triângulo grande completo e o triângulo pequeno sob o pilar como semelhantes em posição de Tales; calcular a hipotenusa grande por Pitágoras e depois reduzi-la com a razão de semelhança horizontal.

• Estratégia 2 (Declive e Pitágoras local): Calcular o declive constante da rampa como quociente vertical/horizontal ($1,2 / 9$), aplicar esse declive ao troço de $3\text{ m}$ para obter diretamente $h$, e depois aplicar o Teorema de Pitágoras unicamente sobre o triângulo menor.

1. a) Resolve o problema aplicando detalhadamente os passos da Estratégia 1.
2. b) Resolve o problema aplicando detalhadamente os passos da Estratégia 2.
3. c) Compara ambos os procedimentos: analisa qual dos dois evita arrastar dízimas periódicas ou aproximações intermédias e justifica fundamentadamente qual recomendarias para minimizar erros nas plantas de uma obra.

Para avaliar as perdas por seca numa propriedade agrícola de Santarém, um perito utiliza uma câmara fotográfica com um sensor retangular de $36\text{ mm} \times 24\text{ mm}$ e uma objetiva com uma distância focal fixa de $50\text{ mm}$. A câmara é montada num drone que aponta perpendicularmente para o solo, de modo que a objetiva atua como vértice comum de duas pirâmides de visão invertidas e semelhantes (a que vai da objetiva ao sensor interno e a que vai da objetiva ao terreno exterior).

1. a) Se o drone voar a uma altura fixa de $150\text{ m}$ sobre o solo da propriedade, demonstra por que razão o terreno abrangido pela foto é semelhante ao sensor da câmara e determina a razão de semelhança linear $k$ entre o terreno real e a imagem captada no sensor (atenção à coerência de unidades).
2. b) Calcula as dimensões reais em metros (comprimento e largura) do retângulo de cultivo que aparece numa fotografia e calcula a área de terreno abrangida em cada disparo (em metros quadrados e em hectares).
3. c) Problema inverso: Supõe que, para uma inspeção mais detalhada, a normativa exige que cada fotografia abranja uma área de terreno de exatamente $2\,160\text{ m}^2$. Utilizando a relação matemática entre a razão de áreas e a razão de comprimentos, deduz a que altura exata sobre o solo deve voar o drone para cumprir esse requisito.