Exercícios: Conceito de função

Numa loja de aplicações, cada jogo premium tem um preço fixo de $2,50$ €. Queremos analisar a relação entre o número de jogos comprados e o custo total da compra.

1. a) Identifique qual é a variável independente e qual é a variável dependente.
2. b) Esta relação é uma função? Justifique a sua resposta com base na definição de função.
3. c) Escreva a expressão algébrica (fórmula) que relaciona ambas as grandezas, designando por $x$ o número de jogos e por $y$ o custo total.

Observe as seguintes relações entre grandezas e determine, em cada caso, se se trata de uma função ou não:

1. a) A cada número de telemóvel associamos o nome do seu proprietário na agenda.
2. b) A cada estudante da sua turma associamos a sua altura medida em centímetros.
3. c) A cada código de barras de um supermercado associamos o preço do produto correspondente.
4. d) A cada pessoa associamos a cor dos olhos dos seus irmãos.

A Maria está a controlar o consumo de bateria do seu smartphone enquanto joga um jogo eletrónico. O seguinte gráfico mostra a percentagem de bateria restante em função do tempo que está a jogar (em minutos):

A partir do gráfico, responde:

1. a) Que percentagem de bateria tinha ao começar a jogar (tempo = $0$)?
2. b) Quanta bateria resta após $20$ minutos de jogo?
3. c) Se a bateria chega a $0\%$, quantos minutos esteve a jogar no total?

Dada a função definida pela expressão algébrica $f(x) = 3x - 2$, completa a seguinte tabela de valores no teu caderno:

$x$ (Entrada)	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$ (Saída)

Depois de completada, indica qual é a imagem de $x = -1$.

Para que um gráfico represente uma função, qualquer reta vertical que tracemos deve cortar o gráfico num único ponto. Utiliza este "teste da reta vertical" para decidir qual dos seguintes gráficos NÃO é uma função:

Justifica a tua escolha explicando o que acontece no gráfico escolhido ao traçar uma reta vertical.

O preço de uma subscrição mensal de uma plataforma de séries é de $9$ €, mas o primeiro mês tem uma promoção e custa apenas $3$ €.

1. a) Elabore uma tabela que relacione o número de meses de subscrição (de $1$ a $4$ meses) com o gasto total acumulado.
2. b) Represente estes quatro pontos num sistema de eixos cartesianos.
3. c) Faz sentido unir os pontos com uma linha contínua? Explique porquê.

Um caminhante sobe uma montanha seguindo um trilho. A função que relaciona a sua altitude em relação ao nível do mar, $H$ (em metros), com a distância horizontal percorrida, $d$ (em quilómetros), é $H(d) = 400 + 150d$.

1. a) Em que altitude se encontra o ponto inicial da rota ($d = 0$)?
2. b) Se o caminhante percorreu $3$ km na horizontal, em que altitude se encontra?
3. c) Identifique as variáveis da função e explique o seu significado físico.

Observe os pontos representados no seguinte referencial cartesiano, que mostram a temperatura de uma estufa durante as primeiras horas da manhã:

Indique as coordenadas $(x, y)$ dos quatro pontos marcados no gráfico e explique o que significa cada uma delas no contexto do problema. (Exemplo: À hora $1$, a temperatura é de... ).

Numa escola, estão a ser analisadas diferentes relações entre grandezas. Determine de forma justificada quais das seguintes situações correspondem a uma função e, em caso afirmativo, identifique a variável independente e a variável dependente:

1. a) A cada número de documento de identificação dos alunos associa-se a sua idade atual.
2. b) A cada temperatura máxima atingida no pátio durante um dia associam-se as horas em que essa temperatura foi registada.
3. c) À quantidade de gigabytes ($GB$) consumidos num plano de telemóvel associa-se o preço mensal da fatura.
4. d) A cada número natural associam-se os seus divisores.

Uma empresa de aluguer de trotinetes elétricas cobra uma taxa fixa de $1,20$ € para desbloquear o veículo e uma taxa variável de $0,15$ € por cada minuto de uso.

1. a) Identifique as duas variáveis que intervêm e classifique-as em dependente e independente.
2. b) Escreva a expressão analítica ou fórmula que permite calcular o custo total do aluguer, $y$, em função do tempo de uso em minutos, $x$.
3. c) Calcule quanto pagará um aluno que utiliza a trotinete durante $22$ minutos para ir de sua casa à escola.

Observe os seguintes gráficos representados no plano cartesiano. Utilizando o critério da reta vertical, indique justificadamente qual deles representa uma função e qual não representa.

Dada a função $f(x) = \frac{x^2 - 4}{2}$, realiza as seguintes tarefas:

1. a) Calcula as imagens dos valores $x = 0$, $x = 2$ e $x = -4$.
2. b) Determina o valor de $x$ (objeto) cuja imagem é $f(x) = 6$.
3. c) O ponto $P(-1; -1,5)$ pertence ao gráfico da função? Justifica a tua resposta realizando os cálculos necessários.

A seguinte tabela mostra a quantidade de água (em litros) que resta numa piscina desmontável enquanto está a ser esvaziada por meio de uma bomba de extração:

Tempo (minutos)	0	5	10	15	20
Água (litros)	4500	3600	2700	1800	900

1. a) É uma relação funcional? Explica porquê.
2. b) Representa os pontos num sistema de eixos coordenados, escolhendo uma escala adequada.
3. c) Se a tendência se mantiver constante, quanto tempo levará a piscina a esvaziar completamente?
4. d) Que volume de água haverá aos $12$ minutos após o início do esvaziamento?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

A área de um retângulo cuja base mede o dobro da sua altura pode ser expressa como uma função.

1. a) Se chamarmos $x$ à medida da altura do retângulo, escreve a expressão analítica da função área $A(x)$.
2. b) Qual é a variável independente e qual é a dependente?
3. c) Calcula a área quando a altura for de $4,5$ $cm$.
4. d) Se a área do retângulo for de $50$ $cm^2$, quanto mede a sua altura?

Um caminhante regista a percentagem de bateria restante no seu telemóvel ao longo de uma caminhada pela montanha. O gráfico resultante é o seguinte:

Perante o gráfico, responde:

1. a) Quais são as variáveis independente e dependente? Indica as unidades de medida.
2. b) Qual era a percentagem de bateria no início da caminhada?
3. c) É uma função crescente ou decrescente? Qual é o significado físico disso no contexto do problema?
4. d) Estima quanto tempo passou quando o telemóvel tem exatamente $50$% de carga.

Considere a relação que associa a cada número inteiro $x$ o seu valor absoluto mais três unidades, isto é, $y = |x| + 3$.

1. a) Elabore uma tabela de valores para os números inteiros compreendidos entre $-3$ e $3$.
2. b) Represente os pontos obtidos num referencial cartesiano.
3. c) Faz sentido unir os pontos com uma linha contínua se o enunciado diz que $x$ é um número inteiro? Explique porquê.
4. d) Indique qual seria o contradomínio (conjunto de valores que a variável dependente assume) com base na sua tabela e no seu gráfico.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um programador de videojogos está a desenhar o sistema de recompensas de um novo nível. A quantidade de "Créditos Estelares" ($C$) que um jogador recebe depende do tempo ($t$) em minutos que demora a completar uma missão, segundo a relação:

$$C(t) = \frac{600}{t-5}$$

A figura mostra o gráfico desta relação para os tempos que o jogo permite.

1. a) Indica de forma fundamentada se esta relação é uma função para qualquer valor de $t$ maior do que zero.

1. b) Se o tempo mínimo para completar a missão fisicamente é de 6 minutos e o máximo permitido pelo servidor é de 60 minutos, determina o domínio e o contradomínio desta função neste contexto real.

1. c) O que acontece com a recompensa à medida que o jogador se aproxima do tempo de 5 minutos? Faria sentido que o domínio incluísse o valor $t = 5$?

Considere a relação que associa a cada número real $x$ a sua distância ao número inteiro mais próximo. Por exemplo, se $x = 2,3$, a sua distância ao inteiro mais próximo (2) é $0,3$. Se $x = 2,8$, a sua distância ao inteiro mais próximo (3) é $0,2$.

1. a) Represente graficamente esta relação no intervalo $x \in [0, 3]$.
2. b) Explique porque é que esta relação é uma função.
3. c) Determine o contradomínio da função.
4. d) É uma função periódica? Em caso afirmativo, indique qual é o seu período.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Uma empresa de entregas com drones cobra pelos seus serviços da seguinte forma: um custo fixo de $5\,€$ por gestão e, além disso, $2\,€$ por cada quilograma de peso. No entanto, se o pacote ultrapassar os $10\,\text{kg}$, o custo por quilograma adicional (apenas os quilogramas que passem de 10) reduz-se para metade.

1. a) Escreve a função $P(x)$ que representa o preço total do envio em função dos quilogramas $x$ do pacote. Atenção: a função deve ter duas expressões (uma função definida por ramos).

1. b) Calcula $P(8)$ e $P(15)$.

1. c) Representa graficamente a função.

1. d) Se um cliente pagou $31\,€$, quantos quilogramas pesava o seu pacote?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Pretende-se construir uma moldura retangular de madeira para um espelho. Dispomos de uma ripa de madeira de $4$ metros de comprimento total para fazer todo o contorno.

1. a) Se designarmos por $x$ o comprimento da base da moldura (em metros), exprime a função $A(x)$ que calcula a área delimitada pela moldura.
2. b) Qual é o domínio desta função, tendo em conta as restrições físicas do problema?
3. c) Calcula a área quando a base mede $0,5 m$ e quando mede $1,5 m$.
4. d) Para que valor de $x$ se obtém a área máxima? Que forma geométrica tem a moldura nesse caso?

Analise os seguintes gráficos e determine se representam uma função ou não. Justifique a sua resposta utilizando o conceito de relação entre variável independente e dependente.

1. a) $x^2 + y^2 = 25$ (Uma circunferência de raio 5 centrada na origem).
2. b) $y = \sqrt{x}$ (Considerando apenas a raiz positiva).
3. c) Uma linha vertical no plano cartesiano que passa por $x = 4$.
4. d) Uma parábola na horizontal cuja equação é $x = y^2$.

Um depósito de água tem a forma de um cone invertido. Está a ser enchido com água a um ritmo constante. A relação entre o volume de água ($V$) e a altura que a água atinge ($h$) é dada pela função:

$$V(h) = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (0,5h)^2 \cdot h$$

1. a) Simplifique a expressão da função $V(h)$.
2. b) É uma função linear? Justifique a sua resposta observando o grau da variável $h$.
3. c) Calcule o objeto cuja imagem é $V = \frac{2\pi}{3}$, ou seja, a altura $h$ necessária para ter esse volume.
4. d) Se o depósito tem uma altura total de $4 metros$, qual é o domínio e o contradomínio da função nesta situação?

Observa a seguinte tabela de valores que relaciona duas grandezas, $A$ e $B$:

Grandeza A ($x$)	-2	-1	0	1	2
Grandeza B ($y$)	5	2	1	2	5

1. a) Encontra uma expressão analítica (fórmula) que relacione $y$ com $x$.
2. b) Indica se é uma função e justifica porquê.
3. c) Determina os pontos de interseção com os eixos.
4. d) Se ampliarmos a tabela com o valor $x = 1$ e lhe atribuirmos $y = 3$, continuaria a ser uma função? Justifica a resposta.

Uma operadora de telecomunicações oferece um tarifário para adolescentes chamado "Gamer Pro". O custo mensal ($C$) em euros depende dos Gigabytes ($g$) consumidos:

• Os primeiros $20\ \text{GB}$ são gratuitos (incluídos na mensalidade fixa de $15\ €$).

• A partir de $20\ \text{GB}$, cada Gigabyte extra custa $1,5\ €$, mas apenas até um máximo de $50\ \text{GB}$ de consumo total.

• Se forem consumidos mais de $50\ \text{GB}$, a velocidade é reduzida e não se cobra mais nada.

1. a) Representa graficamente a função $C(g)$ para um consumo entre $0$ e $80\ \text{GB}$.

1. b) Define a função mediante uma expressão analítica por ramos.

1. c) Indica os intervalos onde a função é constante e onde é crescente.

1. d) Qual é o domínio e o contradomínio desta função?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.