Exercícios: Sistemas de equações

Observa a representação gráfica das duas retas que formam um sistema de equações. Determina, sem realizar cálculos algébricos, qual é a solução do sistema e classifica-o em Compatível Determinado, Compatível Indeterminado ou Incompatível.

Traduza para a linguagem algébrica a seguinte situação e formule um sistema de duas equações com duas incógnitas, indicando claramente o que cada variável representa:

"Num café, um grupo de amigos pagou $11 \text{ €}$ por $2$ refrigerantes e $3$ pacotes de batatas fritas. Outro grupo pagou $13 \text{ €}$ por $4$ refrigerantes e $1$ pacote de batatas fritas".

Resolva pelo método da substituição o seguinte sistema, aproveitando que uma das incógnitas já está isolada na primeira equação:

$\begin{cases} y = 3x \\ 2x + y = 10 \end{cases}$

Resolva pelo método da comparação o seguinte sistema de equações. Repare que a incógnita $x$ já está isolada em ambas as expressões:

$\begin{cases} x = 5 - y \\ x = 2y - 1 \end{cases}$

Resolva pelo método da adição o seguinte sistema. Observe que os coeficientes da incógnita $y$ são iguais, mas com sinais contrários, portanto é possível somar as equações diretamente:

$\begin{cases} 4x + y = 7 \\ 2x - y = 5 \end{cases}$

Copie e complete no seu caderno a seguinte tabela de valores para as duas equações do sistema. Depois, indique qual é a solução comum, observando os resultados:

Sistema: $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Numa loja de jogos eletrónicos são vendidos comandos e jogos usados. O Tomás comprou um comando e um jogo por $50 \text{ €}$. Se o preço do jogo é o triplo do preço do comando, quanto custa cada artigo?

Formule um sistema de equações e resolva-o pelo método que preferir.

Dois amigos, Beatriz e Marcos, estão a acumular pontos no seu jogo eletrónico favorito para desbloquear uma nova recompensa. As missões de sigilo representam-se pela incógnita $x$ e as missões de assalto pela incógnita $y$. O sistema de equações que descreve os objetivos que devem cumprir hoje é o seguinte:

Verifique de forma numérica se o par de valores $(x = 3, y = 2)$ é a solução do sistema. Com base no gráfico seguinte, indique se os amigos conseguiram encontrar o ponto exato onde se cumprem ambas as condições (missões totais e pontos acumulados).

Observa os seguintes dois sistemas de equações lineares sem os resolveres ainda:

Sistema A: $\begin{cases} y = 3x - 5 \\ 2x + 4y = 8 \end{cases}$

Sistema B: $\begin{cases} 5x + 3y = 19 \\ 2x - 3y = 2 \end{cases}$

1. a) Para o Sistema A, justifica por que razão o método de substituição é o caminho mais direto em relação ao de redução.
2. b) Para o Sistema B, justifica por que razão o método de redução é a opção mais conveniente à primeira vista.
3. c) Escolhe um dos dois sistemas e resolve-o passo a passo aplicando o método que justificaste.

O Carlos tenta resolver o seguinte sistema de equações no seu caderno:

Para isso, escreve os seguintes passos:

1. Isolo $x$ na primeira equação: $x = 8 - 2y$.

2. Substituo essa expressão na primeira equação: $(8 - 2y) + 2y = 8$.

3. Desenvolvo e obtenho: $8 = 8$.

4. Conclusão: Como $8 = 8$ é sempre verdade, o sistema é possível e indeterminado e tem infinitas soluções.

1. a) Explica qual é o erro conceptual que o Carlos cometeu no passo 2 e esclarece por que razão a sua conclusão final é falsa.
2. b) Corrige o exercício substituindo na equação adequada e calcula a solução real $(x, y)$ do sistema.

Observa a seguinte representação gráfica de um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas e responde às questões colocadas:

1. a) Indica as coordenadas do ponto de interseção $P$ de ambas as retas.
2. b) O que representa esse ponto em relação ao sistema de equações?
3. c) Classifica o sistema segundo o número de soluções que apresenta.
4. d) O ponto $P$ é solução do seguinte sistema?

$\begin{cases} 2x + y = 8 \\ x - 3y = -3 \end{cases}$

Explica brevemente porque é ou porque não é, verificando ambas as igualdades.

Na organização de um evento de eSports, foi vendido um total de 250 bilhetes. Existem dois tipos de bilhetes: os "Gamer", que custam $15\ €$, e os "Pro", que custam $25\ €$. Se a receita total foi de $4\ 700\ €$, formule um sistema de equações e calcule quantos bilhetes de cada tipo foram vendidos utilizando o método da substituição.

Está a ser projetada uma nova área de jogos retangular no pátio da escola. O arquiteto estabeleceu que o perímetro total deve ser de $56$ metros. Além disso, para que haja espaço suficiente para os cestos de basquetebol, o comprimento da área deve ser $4$ metros menor que o triplo da largura.

Calcule as dimensões da área de jogos formulando um sistema de equações e resolvendo-o pelo método de comparação.

Dois conhecidos streamers estão a comparar os seus anos de experiência na plataforma. A soma das suas idades atuais é de $44$ anos. Daqui a $10$ anos, a idade do mais velho será exatamente o dobro da idade que o mais novo tem atualmente.

Formule um sistema de equações lineares e determine a idade atual de cada um.

Numa loja de produtos a granel, queremos preparar uma mistura especial de $20\ kg$ de frutos secos que custe $8,50\ €/kg$. Para isso, vamos utilizar castanhas-de-caju que custam $10\ €/kg$ e amendoins que custam $6\ €/kg$.

Aplique o método da adição para descobrir quantos quilogramas de castanhas-de-caju e quantos de amendoins devemos misturar.

Observe a seguinte representação gráfica de duas funções lineares que formam um sistema de equações.

1. a) Identifique as equações de ambas as retas a partir dos seus pontos de interseção e do seu declive.
2. b) Determine graficamente a solução do sistema.
3. c) Classifique o sistema segundo o seu número de soluções (SPD, SPI ou SI).

Um número de dois algarismos tem uma propriedade curiosa: o algarismo das dezenas é o dobro do algarismo das unidades. Se subtrairmos $27$ desse número, obtemos o número resultante da inversão da ordem dos seus algarismos.

Traduza o enunciado para um sistema de equações (lembre-se de expressar o número na forma polinomial: $10x + y$) e encontre de que número se trata.

Dois ciclistas, Paula e Sérgio, percorrem uma pista circular de $400$ metros. Se correm em sentidos opostos, cruzam-se a cada $20$ segundos. Se correm no mesmo sentido, Paula (que é mais rápida) ultrapassa Sérgio a cada $100$ segundos.

Sabendo que a distância percorrida é igual à velocidade multiplicada pelo tempo ($e = v \cdot t$), formule um sistema de equações para calcular a velocidade de cada ciclista em metros por segundo.

Num posto de turismo colocam-se à venda dois tipos de passes de transporte urbano: o passe 'Básico' a $8,50$ € e o passe 'Plus' a $15,00$ €. No fecho de caixa vendeu-se um total de $50$ passes e a receita total foi de $542,00$ €.

1. a) Identifica com precisão as incógnitas e formula o sistema de duas equações lineares que representa a situação.
2. b) Resolve o sistema pelo método algébrico que consideres mais adequado para determinar quantos passes de cada classe se venderam.
3. c) Se por um erro informático a receita registada tivesse sido de $540,00$ €, demonstra algebricamente por que razão esse montante não seria possível na realidade com esses preços e esse número de passes.

Cria um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas ($x$ e $y$) que cumpra simultaneamente estas três condições:

1. A sua única solução deve ser o par ordenado $(x, y) = (3, -2)$.

2. Nenhum dos coeficientes das incógnitas nem dos termos independentes pode ser igual a $0$, $1$ nem $-1$.

3. Os coeficientes da incógnita $y$ em ambas as equações devem ser números inteiros simétricos (por exemplo, $4$ e $-4$), de modo a que o sistema fique preparado para a anular somando diretamente ambas as equações por redução.

Escreve o sistema que construíste e verifica formalmente que $(3, -2)$ satisfaz as duas igualdades.

Resolve a seguinte equação do primeiro grau, prestando especial atenção à simplificação das frações e ao sinal negativo antes dos parênteses:

Estude o discriminante da seguinte equação do segundo grau e determine para que valor do parâmetro $k$ a equação tem uma única solução real (solução dupla). Depois de encontrado $k$, resolva a equação:

Uma empresa de estafetas utiliza drones e carrinhas para as suas entregas. Sabemos que o dobro do número de drones excede em 2 unidades o triplo do número de carrinhas. Além disso, se comprassem mais 2 drones e perdessem uma carrinha, teriam o triplo de drones em relação a carrinhas. Apresenta um sistema de equações lineares e descobre quantos veículos de cada tipo a empresa tem.

Num laboratório de química, pretende-se misturar duas soluções salinas. A primeira tem uma concentração de $15\%$ de sal e a segunda de $40\%$. Se é necessário obter exatamente $20$ litros de uma mistura com uma concentração de $30\%$, quantos litros de cada solução devem ser utilizados? Formula e resolve o sistema de equações.

Encontre as dimensões de uma moldura retangular de madeira sabendo que o seu perímetro é de $60\text{ cm}$ e que a sua área é de $216\text{ cm}^2$. Para o resolver, deverá formular um sistema em que uma das equações seja do segundo grau ou resolvê-lo por meio de uma equação do segundo grau usando a relação entre a soma e o produto das raízes.

Dois ciclistas, Ioana e Boris, participam numa corrida de longa distância. Boris parte da linha de partida a uma velocidade constante de $24\text{ km/h}$. Meia hora mais tarde, Ioana parte em sua perseguição a uma velocidade de $32\text{ km/h}$.

1. a) Quanto tempo demorará Ioana a alcançar Boris?
2. b) A que distância da linha de partida ocorrerá o encontro?

Sugestão: Utiliza o sistema de equações baseado na fórmula $e = v \cdot t$.

Encontra um número de dois algarismos sabendo que a soma dos seus algarismos é $12$ e que, se a ordem desses algarismos for invertida, o número resultante é $18$ unidades maior que o número original.

Nota: Lembra-te de que um número de algarismos $xy$ é escrito algebricamente como $10x + y$.

Observe a representação gráfica das retas $r$ e $s$ que formam um sistema de equações.

1. a) Identifique as equações de ambas as retas a partir dos seus pontos de interseção com os eixos.
2. b) Determine, analiticamente e por meio do gráfico, se o sistema é possível determinado, indeterminado ou impossível.
3. c) Encontre o ponto de interseção $(x, y)$.

Uma cooperativa agrícola embala garrafões de $5$ litros misturando dois tipos de azeite e óleo: azeite virgem extra, com um custo de produção de $9,00$ € por litro, e óleo de girassol, com um custo de $2,00$ € por litro. Pretende-se que o custo médio resultante do litro de mistura em cada garrafão seja exatamente de $4,80$ € (o que implica um custo total de $24,00$ € por garrafão).

1. a) Antes de calculares o que quer que seja, estima de forma fundamentada se no garrafão haverá mais de $2,5$ litros de azeite virgem extra ou mais de $2,5$ litros de girassol. Para isso, compara a proximidade do preço médio ($4,80$ €) aos preços de cada um dos componentes.
2. b) Formula e resolve o sistema de equações lineares para calcular com exatidão quantos litros de azeite virgem extra e quantos de girassol contém cada garrafão. O resultado confirma a tua estimativa anterior?
3. c) Se a cooperativa pretendesse obter uma mistura de $5$ litros cujo custo final fosse de $48,00$ € usando exclusivamente estes dois tipos de produto, analisa algebricamente o que aconteceria ao resolver o sistema e explica que significado físico tem esse resultado na prática.

Duas empresas de distribuição urgente aplicam as seguintes tarifas para a entrega de encomendas:

• Empresa Veloz: cobra uma tarifa fixa de $12,00$ € mais $0,80$ € por cada quilómetro percorrido.

• Empresa Rápida: cobra uma tarifa fixa de $k$ € mais um preço por quilómetro de $m$ €/km.

Designamos por $x$ os quilómetros de distância do trajeto e por $y$ o custo final em euros.

1. a) Escreve a equação que modela o custo da Empresa Veloz.
2. b) Determina fundamentadamente que valores devem ter os parâmetros $k$ e $m$ para que o sistema formado pelas duas tarifas seja:

• Impossível (as duas retas são paralelas e nunca coincidem no preço para nenhuma distância). Explica a consequência para o cliente.

• Possível e indeterminado (ambas as tarifas resultam idênticas em qualquer distância).

1. c) Se a Empresa Rápida fixar $k = 18,00$ € e $m = 0,50$ €/km, formula o sistema de equações, determina o ponto de interseção e interpreta a partir de quantos quilómetros contratados se torna mais económica a Empresa Rápida em relação à Empresa Veloz.