Función logarítmica

Calcula el valor de los siguientes logaritmos aplicando directamente la definición, sin utilizar la calculadora:

a) $\log_2 32$

b) $\log_3 \frac{1}{9}$

c) $\log 10000$

Halla el valor de la incógnita $x$ en cada una de las siguientes igualdades utilizando la definición de logaritmo:

a) $\log_x 25 = 2$

b) $\log_5 x = 3$

c) $\log_2 64 = x$

Sabiendo que, aproximadamente, $\log 2 = 0.301$, calcula el valor de $\log 8$ utilizando exclusivamente las propiedades de los logaritmos.

Desarrolla la siguiente expresión aplicando las propiedades de los logaritmos (logaritmo de un producto, cociente y potencia), de forma que queden logaritmos de variables simples:

$\log \left( \frac{x^3 \times y^2}{\sqrt{z}} \right)$

Agrupa la siguiente expresión en un solo logaritmo utilizando las propiedades de los logaritmos:

$2 \log a + \log b - 3 \log c$

Utiliza la calculadora y la fórmula del cambio de base para hallar el valor de $\log_4 15$. Redondea el resultado a tres cifras decimales.

Sabiendo que $\log 2 = 0.301$ y $\log 3 = 0.477$, calcula el valor de $\log 12$ y de $\log 5$ utilizando las propiedades de los logaritmos, sin usar directamente la tecla log de la calculadora para esos números. (Pista: recuerda que $5 = \frac{10}{2}$).

Determina el dominio de definición de las siguientes funciones logarítmicas:

a) $f(x) = \log(x - 5)$

b) $g(x) = \ln(2x + 8)$

Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \ln(x^2 - 4x - 5)$. Expresa el resultado en forma de intervalos.

Indica, razonando tu respuesta y sin necesidad de dibujarlas, cuáles de las siguientes funciones son crecientes y cuáles son decrecientes:

a) $f(x) = \log_3 x$

b) $g(x) = \log_{0,5} x$

c) $h(x) = \ln x$

Observa las gráficas de las funciones logarítmicas representadas en la imagen superior. Asocia, justificando tu respuesta, la Función A y la Función B con sus respectivas expresiones analíticas:

1) $y = \log_2 x$

2) $y = \log_{1/2} x$

La imagen muestra la gráfica de la función exponencial $f(x) = e^x$ y su función inversa $g(x)$.

a) Escribe la expresión analítica de $g(x)$.

b) Explica el significado geométrico de la recta punteada naranja $y = x$ en relación con ambas curvas.

c) Determina el dominio y el recorrido de ambas funciones, justificando cómo se intercambian entre una función y su inversa.

Dada la función $f(x) = \log_3(12 - 3x)$:

a) Determina su dominio analíticamente.

b) Indica cuál es la ecuación de su asíntota vertical.

c) ¿Hacia qué dirección (izquierda o derecha) se abre la gráfica de esta función respecto a su asíntota?

A partir de la gráfica de la función $f(x)$ mostrada arriba, que corresponde a un logaritmo desplazado de la forma $f(x) = \log_a (x + b)$:

a) Indica el valor de $b$ observando la asíntota vertical.

b) Utiliza el punto $B(1, 2)$ para calcular la base $a$ del logaritmo.

c) Escribe la expresión analítica completa de la función.

Se sabe que una función logarítmica de la forma $f(x) = \log_a(x + b)$ pasa por el origen de coordenadas $(0, 0)$ y por el punto $(6, 1)$.

Plantea un sistema de ecuaciones para encontrar los valores de los parámetros $a$ y $b$. Una vez hallados, escribe la expresión analítica final de la función e indica cuál es su asíntota vertical.

Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas sencillas:

a) $\log(3x - 1) = \log(x + 7)$

b) $\log_2(x - 4) = 3$

Resuelve la siguiente ecuación logarítmica comprobando la validez de las soluciones obtenidas:

$\log(x + 2) + \log(x - 1) = 1$

Encuentra los valores de $x$ e $y$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:

$\begin{cases} x - y = 9 \\ \log x - \log y = 1 \end{cases}$

Un capital se invierte en un fondo bancario que ofrece un interés compuesto anual. La fórmula que rige el capital acumulado $C$ a lo largo de los años $t$ es $C = C_0 \times 1.04^t$, donde $C_0$ es el capital inicial. Si se invierten $40\,000$ pesos, determina cuántos años completos deben transcurrir para que el capital supere los $60\,000$ pesos. Usa logaritmos para despejar la incógnita.

La intensidad del sonido se mide en decibelios (dB) mediante una función logarítmica. La fórmula es $d = 10 \times \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$, donde $d$ son los decibelios, $I$ es la intensidad del sonido e $I_0$ es la intensidad umbral de audición (una constante). Despeja la intensidad $I$ en función de los decibelios $d$ e $I_0$.

La escala de Richter para medir la magnitud de los terremotos es logarítmica y se define como $M = \log\left(\frac{A}{A_0}\right)$, donde $A$ es la amplitud de la onda sísmica y $A_0$ es una amplitud de referencia.

Un terremoto en la ciudad Alfa tuvo una magnitud de $6$ en la escala de Richter, y otro en la ciudad Beta tuvo una magnitud de $8$. ¿Cuántas veces mayor fue la amplitud de la onda sísmica del terremoto de Beta en comparación con el de Alfa? Demuestra tu razonamiento matemáticamente.

La prueba del Carbono-14 se utiliza para datar restos orgánicos antiguos. La proporción de C-14 disminuye exponencialmente con el tiempo según la función $P(t) = 100 \times 0.5^{\frac{t}{5730}}$, donde $P$ es el porcentaje de C-14 restante respecto al original y $t$ es el tiempo transcurrido en años.

Si se descubre un fósil que conserva únicamente el $15\%$ de su Carbono-14 original, ¿cuál es la antigüedad estimada del fósil? Expresa el resultado en años y redondea a la unidad.

En informática, el tiempo de ejecución $T$ de un determinado algoritmo de ordenamiento depende de la cantidad de datos $n$ a procesar, y sigue una función del tipo $T(n) = k \times n \times \log_2 n$, donde $k$ es una constante propia de la computadora.

Si al procesar $n = 8$ datos la computadora tarda $T = 24$ milisegundos:

a) Calcula el valor de la constante $k$.

b) ¿Cuánto tiempo tardará la misma computadora en procesar $n = 32$ datos?